第1章 §1.1 第1课时 数列的概念及通项公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类、通项公式及应用，以大自然中的数学规律（如树木分叉）和生活实例（如手机密码）导入，通过问题驱动引导学生观察实例共同点与不同点，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链贯穿教学，通过古埃及阶梯数字等实例分析项数与项的变化，培养抽象能力和推理意识，体现用数学眼光观察现实世界。通项公式推导中运用归纳法及符号调节（如(-1)^n），锻炼数学思维，结合生活实例的练习题增强应用意识。学生能提升探究能力，教师可高效落实概念教学。

第1课时 第1章 <<< 数列的概念及通项公式 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 学习目标 有人说，大自然是懂数学的，例如树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 导 语 一、数列的概念与分类 二、数列的通项公式 课时对点练 三、数列通项公式的简单应用 随堂演练 内容索引 数列的概念与分类 一 观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49, 343,2 401,16 807； 问题1 (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024,2 024，…，2 024； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 1.数列：按照_________排成的一列数叫作数列. 2.数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的___，排在_______的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项， …，排在第n位的数叫作数列的______. 3.一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为_____. 4.数列按项的个数分类 (1)有穷数列：只有______多项的数列称为有穷数列. (2)无穷数列：有______多项的数列称为无穷数列. 一定顺序 项 第一位 第n项 {an} 有限 无穷 知识梳理 5.数列{an}可以看成以____________(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，….与函数的表示方法一样，数列还可以用_______和_______来表示. 列表法 图象法 正整数集N＋ (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列. (2)同一个数可以在数列中重复出现. (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项. 注 意 点 <<< 10 　　　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由. (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； 例 1 错误.{0,1,2,3,4}是集合，不是数列. (2)所有自然数能构成数列； 正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. 11 (3)－3，－1,1，x，5,7，y，11是一个项数为8的数列. 错误.当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成. 12 (1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别. 反 思 感 悟 13 　指出下列数列是有穷数列，还是无穷数列？ (1)2 011,2 015,2 019,2 023； 跟踪训练 1 是有穷数列. 是无穷数列. 14 是无穷数列. 是无穷数列. 15 二 数列的通项公式 提示　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 问题2 对于(3)，an＝2 024，n∈{x|x是本班学生的学号}； 如果数列{an}的________可以用关于____的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式. 第n项an n 知识梳理 18 (1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)有些数列的通项公式表达形式不唯一. 注 意 点 <<< 19 　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 例 2 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 20 21 (3)0,1,0,1； 22 (4)9,99,999,9 999. 各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋. 23 　　　　　根据本例中的第(4)题，试解决以下2个问题： 1.试写出前4项为1,11,111,1 111的一个通项公式. 延伸探究 2.试写出前4项为7,77,777,7 777的一个通项公式. 24 反 思 感 悟 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.有时也可用分段形式. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 　　　　　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是： (1)1,3,7,15,31，…； 跟踪训练 2 由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…，可得an＝2n－1. 26 (4)2×3,3×4,4×5,5×6，…. 27 数列通项公式的简单应用 三 　　　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N＋. (1)写出数列的前3项； 例 3 在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. 29 (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0， 故3不是数列{an}中的项. 30 反 思 感 悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 　　　　　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N＋，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； 跟踪训练 3 由题意知q4－q2＝72， 则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3. (2)判断－81是否为此数列中的项. 当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项； 当q＝－3时，an＝(－3)n. 令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项. 32 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列通项公式的简单应用. 2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面. (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列说法正确的是 A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 √ 1 2 3 4 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 方法一　将n＝1,2,3,4代入各选项验证易得答案. 3.下列各式是数列的是________；是有穷数列的是______；是无穷数列的是____. ①{1,3,5,7,9}；②4,3,2,1,0；③所有无理数；④1,2,3,4，…；⑤2,2,2,2,2. 1 2 3 4 ②④⑤ ②⑤ ④ ①是集合，不是数列； ③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来； ②④⑤是数列，其中④是无穷数列，②⑤是有穷数列. 1 2 3 4 8 a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8. 课时对点练 五 1.(多选)下列说法正确的是 A.数列可以用图象来表示 B.有些数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 数列中的项可以相等，故选项C中说法不正确. √ 2.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于 A.35 B.－11 C.－35 D.11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a等于 A.1 B.3 C.－1 D.－3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an＝(－1)n·2n＋a，a3＝－5， 所以－23＋a＝－5，解得a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式可以是an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋. 4.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是 A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 代入验证，可知A，B，D均符合题意. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (15,26) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得n＝12或n＝－14(舍去). 12 9.写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 各项是从4开始的偶数， 所以an＝2n＋2，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)0.3,0.33,0.333,0.333 3，…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 023； 设an＝kn＋b(k≠0)， ∴an＝2n＋1(n∈N＋)，∴a2 023＝4 047. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试写出{bn}的一个通项公式. ∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…， ∴bn＝4n＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 12.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为 A.6 B.7 C.64 D.65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由按规律排列的数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个， 因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21,1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以该数列的第22项为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴0<an<1，∴数列{an}中的项都在区间(0,1)内. (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内. (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； (5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…. (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)1，－，，…，，…. 对于(2)，an＝n－1，n∈N＋； 对于(5)，an＝n，n∈N＋. 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (1)－1，，－，； 数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， (2)，2，，8； 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝由第(1)题也可以写成an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋). 由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an＝(10n－1)，n∈N＋. 由本例的第(4)题可知，每一项乘即可， 即an＝(10n－1)，n∈N＋. (2)，，，，，…； 由＝，＝，＝，＝，＝，…，可得an＝. 由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×，…，可得an＝(n＋1)(n＋2). (3)－，，－，，－，…； 由－，，－，，－，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an＝(－1)n×. 令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项. 解得n＝－1(舍去)或n＝(舍去)， 2.数列，－，，－，…的通项公式可能是 A.an＝(－1)n B.an＝(－1)n－1 C.an＝(－1)n D.an＝(－1)n－1 方法二　将数列，－，，－，…变为，－，，－，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n＋2，再结合正负的调节，可知其通项公式可以为an＝(－1)n－1. 4.数列{an}的通项公式为an＝则a3＋a6＝____. 5.数列，，，，…的第10项是 A. B. C. D. 由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N＋)，所以a10＝＝. 6.(多选)下列通项公式中，可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是 A.an＝[1－(－1)n] B.an＝ C.an＝[1－(－1)n] D.an＝ 由已知，各项可写为，，，，，…，可得a＝3×5＝15，b＝24＋2＝26，故有序数对(a，b)为(15,26). 7.在数列，，，，，…中，有序数对(a，b)可以是_______. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝_____，若an＝，则n＝_____. ∵an＝，∴a10＝＝. 由an＝＝，得n2＋2n－168＝0， (2)，，，，，…； 每一项分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋. 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33, 0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an＝，n∈N＋. 则解得 11.设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于 A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ ∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，∴a2＝＋＋. 13.数列－1，，－，，…的一个通项公式是 A.an＝(－1)n· B.an＝(－1)n· C.an＝(－1)n· D.an＝(－1)n· 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母可调整为3,5,7,9，可表示为2n＋1，分子可调整为1×3,2×4,3×5,4×6，…，故通项公式可以为an＝(－1)n·(n∈N＋). 14.若数列{an}的通项公式为an＝cos，则a5＝_______，a2n＝ _________________. － 因为an＝cos， 所以a5＝cos＝－sin ＝－， a2n＝cos＝cos ＝ 16.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项； ∵an＝＝ ＝，∴由an＝＝，解得n＝， ∵不是正整数，∴不是数列{an}中的项. ∵an＝＝＝1－，n∈N＋，0<<1， $