精品解析：甘肃省平凉市静宁县文萃中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

文萃中学2025～2026学年度第一学期第一次月考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第1章—第2章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 2. 在等比数列中，如果，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由，， 所以，则， 所以. 故选：. 3. “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”中0～9的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、δ、〦、〧、〨、攵．某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发车站的里程为31公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“刂〧”，在B点处里程碑上刻着“〧δ”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为（   ） A. 720 B. 792 C. 867 D. 945 【答案】C 【解析】 【分析】根据规定确定A点和B点处的里程碑的数值，依题意知里程碑上的数字成等差数列，再求出从A到B的所有里程碑个数，进而利用等差数列前n项和公式计算即可． 【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字27，B点处里程碑刻着数字75， 又里程碑上的数字成等差数列，公差为3， 则从A到B的所有里程碑个数为， 所以从A到B的所有里程碑上的数字之和为． 故选：C． 4. 无论m为何值，直线所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化，当时，，与m为何值无关，即得解 【详解】由题意， 当时，，与m为何值无关 故直线所过定点的坐标为 故选：C 5. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推关系通过逐项求解，即可求出结果. 【详解】由题意可知，，， ，，． 所以解下个环所需的最少移动次数为． 故选：A． 7. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得的值，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是. 故选：D. 8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由时得，根据得数列是首项为1，公差为2的等差数列，表示出，得到，令，利用可得最小值. 【详解】∵，∴当时，， 整理得，即， ∵的各项均为正数，∴， 由得， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴. 令，则， 当时，，当时，， ∴． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】因为数列为递增的等比数列，由题干中的两个条件即可求得首项和公比，进而求出，判断A错误；再利用等差数列的判定方法即可求出即是等差数列，最后利用等比数列的前n项和公式即可求得结果. 【详解】因为，，又数列是递增的， 所以，所以公比，，所以，所以， 得，，，，故A错误； 由于，所以数列是等差数列，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则 C. 若，则是公差为的等差数列 D. 若，则的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推数列、等差数列的性质即可逐一判断各个选项，从而得解. 【详解】当时，，所以为等差数列，A选项正确； ，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误； 当时，，所以，B选项正确； 由可知，，所以，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为.若，则_____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 13. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 14. 已知数列满足，，则__________；对任意实数，总存在正整数，使得，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由可得，则，即可得数列为等差数列，利用等差数列性质即可得空一；代入的通项公式可得，即可得空二. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以， 又，所以数列是首项为8，公差为的等差数列， 所以； 由，则， 即，则． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线经过点. （1）若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. （2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得. 【小问1详解】 由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线的方程为或. 16. 若数列的前n项和满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求得数列的通项公式，结合等差数列的定义证明即可； （2）首先，其次根据等比数列求和公式以及错位相减法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得， 时，符合此式， ， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， 于是， 两式相减得， 所以． 17. 已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程. （1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍； （2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为. 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线l过坐标原点和直线不过坐标原点，两种情况分类讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解； （2）设直线l的方程为，求得围成的三角形的面积为，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）当直线l过坐标原点，可得直线l的斜率为， 可得直线l的方程为，即； 当直线不过坐标原点，设直线l的方程为， 代入点的坐标，可得，解得， 可得直线的方程为，即， 所以所求直线l的一般方程为或. （2）直线显然不过坐标原点，设直线l的方程为，即. 直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 与坐标轴围成的三角形的面积为，解得或， 故直线的方程为或， 即直线的一般方程为或. 18. （1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】根据递推关系，用累乘法求通项公式；借助构造法构造等差数列求通项公式；结合分组求和求通项公式； 【详解】（1）因为，所以，所以当时， ， 又，符合上式，所以； （2）由，得，又， 所以数列以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以； （3）因为，所以，又，所以； 因为，所以 ， 又，所以， 则． 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 因为，所以， 所以，， 两式相减得， 所以， 由，得，所以， 令，所以， 所以数列是递增数列， 又，， 所以不存在正整数，使得， 即不存在正整数，使得成立． 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算即可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得； （2）结合（1）中所得后分组求和，并利用等差数列与等比数列求和公式计算即可得； （3）借助错位相减法计算可得，再令，结合数列增减性计算可得该方程不存在正整数解. 【小问1详解】 因为，所以，又，所以； 当时，， 所以，所以， 又，所以，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文萃中学2025～2026学年度第一学期第一次月考 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第1章—第2章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，如果，，那么（ ） A. B. C. D. 3. “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”中0～9的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、δ、〦、〧、〨、攵．某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发车站的里程为31公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“刂〧”，在B点处里程碑上刻着“〧δ”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为（   ） A. 720 B. 792 C. 867 D. 945 4. 无论m为何值，直线所过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为（   ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 10. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 11. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则 C. 若，则是公差为的等差数列 D. 若，则的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为.若，则_____________. 13. 已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为_______，直线l的斜率的取值范围为_______． 14. 已知数列满足，，则__________；对任意实数，总存在正整数，使得，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知直线经过点. （1）若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 若数列的前n项和满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程. （1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍； （2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为. 18. （1）已知数列满足，且，求的通项公式； （2）已知数列满足，且，求的通项公式； （3）已知数列满足，且，，求的通项公式． 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $