第五章 习题课 二项式定理的综合应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦二项式定理的综合应用，前承二项式定理基本展开式与通项公式，通过“双通法”解决多项式乘积特定项问题，列不等式组确定系数最值项，转化底数分析整除余数问题，构建从基础到综合应用的学习支架。 以《射雕英雄传》比武日期星期几问题引入，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过“双通法”归纳、不等式组推理系数最值等环节发展数学思维，课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

习题课　二项式定理的综合应用 [学习目标]　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 导语 在江南醉仙楼，丘处机和被焦木邀约出头的江南七怪大打出手，最后发现是一场误会．丘处机道：“过得一十八年，孩子们都十八岁了，咱们再在嘉兴府醉仙楼头相会，大邀江湖上的英雄好汉，欢宴一场．酒酣耳热之余，让两个孩子比试武艺，瞧是贫道的徒弟高明呢，还是七侠的徒弟了得？”以上是金庸武侠剧《射雕英雄传》的一个情节． 旧时日、月和火、水、木、金、土五星合称七曜，分别用来称一个星期的七天，日曜日是星期天，月曜日是星期一，其余依此类推．火曜日是星期二，水曜日是星期三，木曜日是星期四，金曜日是星期五，土曜日是星期六．假如丘处机立约之日是月曜日(星期一)，18年(约6 570天)后比武之日是什么曜日(星期几)？82 022天后是什么曜日(星期几)？今天我们一起探讨怎样快速准确地得到答案． 一、两个多项式乘积的特定项 例1　(1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为(　　) A．10 B．－10 C．2 D．－2 答案　C 解析　(1＋2x)3(1－x)4展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案　D 解析　由二项式定理得(1＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1. 反思感悟　求多项式积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况． 跟踪训练1　(1)(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 答案　A 解析　方法一　(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为1×C＋2×C＝12. 方法二　∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12. (2)(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答) 答案　－20 解析　由二项式通项可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 二、系数的最值问题 例2　已知n展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． 解　由已知得C＋C＋C＝79， 即n2＋n－156＝0. 解得n＝－13(舍去)或n＝12. 设Tk＋1项的系数最大， ∵12＝12(1＋4x)12， 由 解得9.4≤k≤10.4. 又∵1≤k≤11，k∈N，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11＝12·C·410·x10＝16 896x10. 反思感悟　求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k的范围来确定k的值，即可求出最大项． 跟踪训练2　求10的展开式中系数最大的项． 解　设Tk＋1项的系数最大， 则即 解得≤k≤. ∵1≤k≤9，k∈N，∴k＝7， ∴展开式中系数最大的项为 三、整除和余数问题 例3　(1)试求2 02410除以5的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除． (1)解　2 02410＝(404×5＋4)10. ∵其展开式中除末项为410外，其余的各项均含有5这个因数， ∴2 02410除以5的余数与410除以5的余数相同． 又∵410＝(5－1)10， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有5这个因数， ∴410除以5的余数为1，即2 02410除以5的余数也为1. (2)证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 跟踪训练3　求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除． 证明　原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C)＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋4C·51＋4C＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n. 以上各项均为25的整数倍， 故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除． 1．知识清单： (1)两个多项式乘积的特定项． (2)系数的最值问题． (3)整除与余数问题． 2．方法归纳： 双通法． 3．常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析． 1．(x2＋2)6展开式中的常数项为(　　) A．25 B．－25 C．5 D．－5 答案　B 解析　6展开式的通项为 Tk＋1＝Cx6－kk＝C(－1)kx6－2k. 令6－2k＝－2或6－2k＝0， 分别解得k＝4或k＝3. 所以(x2＋2)6展开式的常数项为 1×C4＋2×C(－1)3＝15－40＝－25. 2．(1－2x)5的展开式中系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 答案　C 解析　由题意得，二项式通项为Tk＋1＝C·(－2)kxk，要使系数最大，k必须取偶数，即k＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80， 故当k＝4时，展开式中的第5项系数最大． 3．(x＋1)4(x－1)展开式中x3的系数是________． 答案　2 解析　(x＋1)4(x－1)展开式中含x3的项由以下两部分相加得到： ①(x＋1)4中的二次项乘以(x－1)中的一次项x，即Cx2·x＝6x3； ②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1， 即Cx3×(－1)＝－4x3. 所以(x＋1)4(x－1)展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2. 4．230－3除以7的余数为_________． 答案　5 解析　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3 ＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)， ∴230－3除以7的余数为5. [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．(x2＋2)5展开式中的常数项是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案　D 解析　5展开式的通项为 Tk＋1＝C5－k(－1)k＝(－1)kC. 令10－2k＝2或10－2k＝0， 解得k＝4或k＝5. 故(x2＋2)5展开式中的常数项是 (－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3. 2．(1－x)4(1－)3展开式中x2的系数是(　　) A．－6 B．－3 C．0 D．3 答案　A 解析　(1－x)4展开式的通项为 Tk＋1＝C(－1)kxk， (1－)3展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)r， 当k＝0时，＝2，即r＝4>3，不符合题意； 当k＝1时，＝1，即r＝2，此时x2的系数为 C(－1)·C(－1)2＝－12； 当k＝2时，＝0，即r＝0，此时x2的系数为 C·(－1)2·1＝6，所以x2的系数是－12＋6＝－6. 3．1.026的近似值为(精确到0.01)(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20 答案　B 解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006 ≈1.13. 4．(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 答案　D 解析　在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. 5．设n∈N＋，则C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n除以9的余数为(　　) A．0 B．8 C．7 D．2 答案　A 解析　因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 6．(多选)已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，则(　　) A．n＝9 B．二项式系数最大的项为第6项 C．系数最大的项为第6项 D．含x3的项是第6项 答案　BC 解析　n的二项式通项为 Tk＋1＝Cn－k·()k＝， 所以倒数第三项的系数为C，故C＝45，即C＝45，所以＝45， 所以(n－10)(n＋9)＝0，得n＝10或n＝－9(舍)．故A不正确； 因为n＝10，所以展开式共有11项，所以二项式系数最大的项为第6项，故B正确； 因为展开式中各项的系数与该项的二项式系数相等，所以系数最大的项为第6项，故C正确； 因为n＝10，所以展开式的通项为Tk＋1＝， 令＝3，得k＝6，所以含x3的项是第k＋1＝6＋1＝7项，故D不正确． 7．(5分)已知(1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为－2，则a＝________. 答案　2 解析　(1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2. 8．(5分)(x2＋x＋y)5展开式中x5y2的系数为______． 答案　30 解析　方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 方法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y相乘． ∴x5y2可从这5个因式中，其中两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 9．(10分)用二项式定理证明1110－1能被100整除． 证明　1110－1＝(10＋1)10－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋102 ＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除． 10．(12分)求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项． 解　设展开式中第(k＋1)项的系数最大， 又Tk＋1＝C()5－k(3x2)k＝， 则 ⇒⇒≤k≤. 又因为1≤k≤4，k∈N，所以k＝4， 所以展开式中第5项系数最大， 11．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　) A．0 B．2 C．7 D．8 答案　C 解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数， 所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7， 所以余数为7. 12．若(x2－a)10展开式中x6的系数为30，则a等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　10展开式的通项是 Tk＋1＝C·x10－k·k＝C·x10－2k， 10展开式中x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)的系数分别为C，C. 因为(x2－a)10展开式中的x6由x2与10展开式中的x4的乘积以及－a与10展开式中的x6的乘积两部分构成， 因此，由题意得C－aC＝120－45a＝30， 解得a＝2. 13．设a∈N，且0≤a＜13，若512 024＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　D 解析　512 024＝(13×4－1)2 024，被13整除余1，结合题意及选项可得当a＝12时，512 024＋a能被13整除． 14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 答案　A 解析　由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10， 由二项式定理可得a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1， 即a除以10的余数为1， 因为a≡b(mod 10)， 所以b的值除以10的余数也为1， 观察选项，只有2 021除以10的余数为1， 则b的值可以是2 021. 15．(5分)已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值为____________． 答案　272 解析　(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x， ∴2C＋4C＝36， 即m＋2n＝18， (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n， ∵m＋2n＝18， ∴m＝18－2n， ∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n ＝16n2－148n＋612＝16， ∴当n＝时，t取最小值，但n∈N＋， ∴当n＝5时，此时也满足m∈N＋， t即x2项的系数最小，最小值为272. 16．(12分)求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数． 解　方法一　(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8， 所以Tr＋1＝C(x＋x2)r,0≤r≤8，r∈N， 则x5的系数由(x＋x2)r来决定， T′k＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k,0≤k≤r，k∈N， 令r＋k＝5， 解得或或 所以展开式中x5的系数为CC＋CC＋CC＝504. 方法二　(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C(1＋x)7x2＋C(1＋x)6(x2)2＋C(1＋x)5·(x2)3＋…＋C(1＋x)(x2)7＋C(x2)8， 则展开式中x5的系数为CC＋CC＋CC＝504. 方法三　(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…·(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个： (1)有2个括号各出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有CC种； (2)有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有CC种； (3)没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C种． 所以x5的系数是CC＋CC＋C＝504. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、两个计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　) A．484 B．472 C．252 D．232 答案　B 解析　根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种)． (2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________． 答案　86 解析　由题意，可分三类考虑： 第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31； 第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34； 第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C＋CC＋C＝21. 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86. 反思感悟　应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么． (2)思考如何完成这件事． (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类． (4)选择计数原理进行计算． 跟踪训练1　(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答) 答案　60 解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．分三类： ①没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2A个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有CC个． 所以满足条件的三位数共有 A＋2A＋CC＝60(个)． (2)某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,1,2,5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，若甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　) A．4 B．12 C．16 D．24 答案　B 解析　15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有2个奇数和2个偶数． 第一步，安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4(种)． 第二步，安排偶数日出行，分两类： 第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2种选择；第二类，不安排甲的车，只有1种选择，共计1＋2＝3(种)． 根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为4×3＝12. 二、排列与组合的综合应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养． 例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解　(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A＝24(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序． (2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种)安排顺序． (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的顺序有＝A＝132(种)． 反思感悟　解决排列、组合的综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题． (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接． (3)对于含有“至多”、“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净． 跟踪训练2　6人坐在排成一排的10个座位上，问： (1)空位不相邻的坐法有多少种？ (2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ (3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？ 解　6人全排列有A种排法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安排在上述7个“间隔”中，有C种排法， 故空位不相邻的坐法有A×C＝25 200(种)． (2)将相邻的3个空位看成一个元素，另一个空位看成另一个元素，安排在7个“间隔”中，有A种排法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A×A＝30 240(种)． (3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻，有C种坐法； ②4个空位2个相邻，另2个不相邻，有C×C种坐法； ③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C种坐法． 综上，有A×(C＋C×C＋C)＝115 920(种)坐法． 三、二项式定理及其应用 1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解． 2．二项式原理所体现的是一种数学运算素养． 例3　(1)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　在(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4； 令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. 两式相乘，得 (2＋)4·(－2＋)4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)． 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1. (2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求： ①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2； ②－a2＋a4－a6＋a8－a10. 解　①令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125. ②令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i. 整理得(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i， 故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128. 令x＝0， 则a0＝1， 所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127. 反思感悟　“赋值法”在二项展开式中的应用 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征． (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定． (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可． 跟踪训练3　若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________． 答案　5 解析　令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 例4　已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； (3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值． 解　(1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3， 解得n＝10(负值舍去)， 故通项为Tk＋1＝C()10－kk ＝(－2)kCx5－， 当5－为整数时，k可取0,6， 于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440. (2)设第(k＋1)项系数的绝对值最大，则 解得≤k≤， 又因为k∈N，所以k＝7， 当k＝7时，T8＝－15 360x－， 所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360x－. (3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C ＝ ＝ ＝＝. 反思感悟　二项式特定项的求解策略 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素． (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项． (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数． (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质． 跟踪训练4　已知n(n≥2且n∈N＋)的展开式中前三项的系数成等差数列． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中所有的有理项． 解　(1)n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cn－kk＝Ckx， 因为前三项的系数C，C·1，C·2成等差数列， 所以2C·1＝C＋C·2，即n＝1＋·， 因为n≥2，所以n＝8， 所以通项公式为Tk＋1＝Ckx(k＝0,1,2，…，8)， 所以当k＝4时，二项式系数最大，即二项式系数最大的项为T5＝C4x－＝x－. (2)由∈Z，得k＝0或3或6， 所以有理项为T1＝C0x＝x－8，T4＝C3x＝7x－4，T7＝C6x0＝. 学科网（北京）股份有限公司 $