第三章 1.1 点在空间直角坐标系中的坐标（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦空间直角坐标系的概念、点的坐标表示及对称问题，通过类比平面直角坐标系引入空间坐标系，梳理坐标系建立的注意点，用表格归纳特殊位置点的坐标形式，结合例题与跟踪训练构建从概念到应用的学习支架。 资料以吴文俊先生的论述开篇渗透数学文化，培养用数学眼光观察空间形式的意识，通过正方体、正四棱锥等几何体实例，引导学生用数学思维推理坐标确定方法，课中辅助教师引导探究，课后练习题覆盖不同层次，助力学生查漏补缺。

1．1　点在空间直角坐标系中的坐标 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标． 导语 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算． 一、空间直角坐标系 问题1　在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数？ 提示　在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点的位置． 知识梳理 空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面． 注意点： (1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分． (2)将x轴和y轴放在水平面上． (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合． (4)建立的坐标系一般为右手系． 二、点在空间直角坐标系中的坐标 问题2　如果点P是空间直角坐标系O－xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？ 提示　类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可． 知识梳理 空间中点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z)． 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． 注意点： 点的位置对应坐标的形式 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 例1　(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为________________； ②棱C1C中点的坐标为________； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________． 答案　①(0,0,0)，(0,1,1)　②　③ (2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解　∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心O为原点，平行于BC，AB的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2，2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0，2)． 答案不唯一． 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． (2)某点坐标与建系的方式有关，建系不同，坐标不同． 跟踪训练1　建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标． 解　以BC的中点O为原点，BC所在直线为y轴，射线OA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，|AO|＝， 从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)， B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)， B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)． (答案不唯一) 三、空间点的对称问题 例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标． 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12)． 反思感悟　空间点的对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 跟踪训练2　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 答案　(2，－3,1) 解析　点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)． 1．知识清单： (1)空间直角坐标系的概念． (2)点在空间直角坐标系中的坐标． (3)空间点的对称问题． 2．方法归纳：数形结合、类比联想． 3．常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求． 1．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOy平面对称的点的坐标是(　　) A．(－1,3，－5) B．(1,3,5) C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5) 答案　B 2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到yOz平面的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D. 答案　A 解析　点到yOz平面的距离就是点的横坐标的绝对值． 3．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为(　　) A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C．λ＝2，μ＝10，v＝8 D．λ＝2，μ＝10，v＝7 答案　D 解析　由两个点关于x轴对称，得这两个点的横坐标相同，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7. 4.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的空间直角坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为________________． 答案　(2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4) [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．(多选)下列命题中正确的是 (　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D．在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a,0，c) 答案　BCD 解析　在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故A错误，B，C，D正确． 2．在空间直角坐标系O－xyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为(　　) A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2,4) C．(1,2，－4) D．(1,2,4) 答案　A 解析　关于y轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)． 3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝3，|OC|＝5，|OO1|＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3,5,4) B. C. D. 答案　C 解析　设点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，由题图知，它们在坐标轴上的坐标分别是，5,4，故点P的坐标是. 4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)(　　) A．关于xOy平面对称 B．关于zOx平面对称 C．关于yOz平面对称 D．关于x轴对称 答案　C 解析　空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于yOz平面对称． 5．在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为(　　) A. B．3 C. D. 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝. 6．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在zOx平面上的投影的坐标为(　　) A．(4,0,6) B．(－4,7，－6) C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0) 答案　C 解析　点M的坐标是(4,7,6)， 点M关于y轴对称的点为M′(－4,7，－6)， 点M′在zOx平面上的投影的坐标为(－4,0，－6)． 7．(5分)已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________． 答案　(1,1,1)或(－1，－1，－1) 解析　分别过点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(1,1,1)．或过点(－1,0,0)，(0，－1,0)，(0,0，－1)作与yOz平面，zOx平面，xOy平面平行的平面，三个平面的交点即为M点，其坐标为(－1，－1，－1)． 8．(5分)点P(－3,2，－1)关于zOx平面的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于点M(1,2,1)的对称点是________． 答案　(－3，－2，－1)　(－3，－2,1)　(5,2,3) 解析　点P关于zOx平面对称后，纵坐标变为相反数，其他不变，故对称点坐标为(－3，－2，－1)； 点P关于x轴对称后，横坐标不变，纵、竖坐标变为相反数，故对称点坐标为(－3，－2,1)； 设点P关于M(1,2,1)的对称点坐标为(x，y，z)， 则＝1，＝2，＝1， 所以x＝5，y＝2，z＝3，即点P关于点M(1,2,1)的对称点是(5,2,3)． 9.(10分)建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 解　由题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D′(0,0，a)，A′(a,0，a)，B′(a，a，a)，C′(0，a，a)，∵E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标分别为E，F，G，H，I，J. 10．(11分)在空间直角坐标系O－xyz中，作出点M(6，－2,4)． 解　方法一　如图所示，从原点O出发沿x轴正方向平移6个单位长度得到点M1， 再将点M1沿y轴负方向平移2个单位长度得到点M2，然后将点M2沿z轴正方向平移4个单位长度即得点M. 方法二　如图，先在xOy平面内确定点M′(6，－2,0)的位置，因为点M在z轴上的坐标为4， 所以|MM′|＝4，且MM′平行于z轴，点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点M的位置． 方法三　如图，以原点O为一个顶点，构造三条棱长分别为6,2,4的长方体，使此长方体交于点O的棱长分别为6,2,4的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴和z轴正半轴上， 则长方体上与顶点O相对的顶点为所求的点M. 11.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝|BD′|，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接BD(图略)，点P在xDy平面内的投影落在BD上，∵|BP|＝|BD′|， ∴Px＝Py＝，Pz＝，故P. 12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4,5,3) B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 答案　ACD 解析　根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确； B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)， 故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误； 在长方体中，|AD1|＝|BC1|＝＝5＝|AB|， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确． 13．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则点D的坐标为(　　) A. B．(2,3,1) C．(－3,1,5) D．(5,13，－3) 答案　D 解析　连接AC，BD交于点P(图略)， 则P为AC与BD的中点， 由A，C两点坐标求得中点P， 再由B(2，－5,1)，求得点D的坐标为(5,13，－3)． 14.(5分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，CD′与DC′交于点M，则点M关于y轴对称的点的坐标为________． 答案　(－1，－2，－1) 解析　由题意知，点M为DC′的中点，D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，则点M的坐标为(1，－2,1)， 所以点M关于y轴对称的点的坐标为(－1，－2，－1)． 15.(5分)如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B的坐标为________，点A的坐标为________． 答案　　 解析　由题意可知，|BG|＝|BE|＝×＝， |AG|＝＝，则B，A. 16.(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标． 解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)， 设点E的坐标为(x，y,0)， 在xDy平面内，直线AC的方程为＋＝1， 即2x＋y－4＝0， ∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0. 由得 ∴E. 学科网（北京）股份有限公司 $