第二章 1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质核心知识点，系统梳理焦点在x轴、y轴上椭圆的标准方程、范围、对称性、顶点、轴长、焦点、焦距及离心率等内容，通过问题引导与表格对比搭建从概念理解到方程求解、离心率计算的学习支架。 资料以问题驱动培养数学眼光，如通过观察椭圆形状探究范围等性质，借助分类讨论和方程法求离心率发展数学思维，表格梳理规范数学语言。课中助力教师分层教学，课后跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 [学习目标]　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何性质解决相关问题． 导语 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 短半轴长等于b，长半轴长等于a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点． (5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大． (6)通径长为. (7)设P为椭圆上不与焦点共线的任意一点，则焦点三角形面积为b2tan (∠F1PF2＝θ)． 问题2　扁平程度是椭圆的重要形状特征，如图，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度．请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示　如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，由e＝，知0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．当a＝b时，图形为圆． 知识梳理 椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e＝. 解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝3， 因为e＝，所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋＝1或＋＝1. 反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程． 跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________． 答案　＋＝1 解析　由题意，得 解得 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________． 答案　＋＝1或＋＝1 解析　因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝， 所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)． 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 三、求椭圆的离心率 例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c， 将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±， 所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去)． 延伸探究 1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 解　在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， ∴＝， ∴e＝＝＝＝. 2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 解　椭圆上存在点P，使∠F1PF2为钝角，只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角，则c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2， ∴c2>a2－c2，即2c2>a2. ∴e2＝>， ∴e>，又0<e<1， ∴C的离心率的取值范围为. 反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 跟踪训练3　已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　椭圆的方程可化为＋＝1， e＝＝＝＝. 1．知识清单： (1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率． 2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)． 3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系． 1．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 　 B．焦距为 C．焦点坐标为 　 D．离心率为 答案　CD 解析　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝， 所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝. 2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意知c＝3，＝， 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆的方程为＋＝1. 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝， 即椭圆的离心率e＝. 4．若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________． 答案　2 解析　∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1， 由于＋＝1表示的是椭圆， 则m>1，∴m＝2， 则椭圆方程为＋＝1，∴a＝，2a＝2. 　　　　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1．焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　依题意得c＝2，a＋b＝10， 又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4. ∴椭圆的方程为＋＝1. 2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　) A. B．2 C. D．4 答案　C 解析　椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以＝2，所以m＝. 3．曲线＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系是(　　) A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 答案　B 解析　曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同． 4．(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是(　　) A．1 B. C. D. 答案　CD 解析　当0<m<2时，焦点在x轴上， 此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝＝＝， 解得m＝，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝＝＝， 解得m＝，符合题意． 故正数m的值可以是或. 5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝|F2F1|⇒2＝2c⇒e＝＝. 6．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ 答案　ABD 解析　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得 ∴(*)．故A，B正确； 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2. ∵a2－c2＝b2， ∴b2＝(m＋R)(n＋R)， ∴b＝，故D正确． 7．(5分)已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为________． 答案　(2,4] 解析　∵e＝，b＝1,0<e≤， ∴0< ≤， 则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2,4]． 8．(5分)在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________． 答案　＋＝1 解析　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由e＝， 知＝，故＝. ∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16， ∴a＝4，∴b2＝8， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 9．(10分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0. ∵m－＝>0， ∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝，得＝， ∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为，，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，. 10.(10分)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(5分) (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．(5分) 解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＋＝1， 得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＋＝1. 11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　AD 解析　由题意可知， 又a2＝b2＋c2， 解得a＝3，b＝2，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 12．椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|， 则|PF1|＝，|PF2|＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 13.(多选)如图所示，两个椭圆＋＝1，＋＝1，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列说法正确的是(　　) A．曲线C关于直线y＝x，y＝－x对称 B．两个椭圆的离心率不相等 C．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值 D．曲线所围区域的面积必小于36 答案　AD 解析　两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故A正确； 椭圆＋＝1的离心率e1＝＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝＝，所以e1＝e2，故B错误； 易知F1(－4,0)，F2(4,0)分别为椭圆＋＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0,4)分别为椭圆＋＝1的两个焦点，若P不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故C错误； 易得椭圆＋＝1的上、下顶点分别为(0,3)，(0，－3)，椭圆＋＝1的左、右顶点分别为(－3,0)，(3,0)，所以曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36. 14．(5分)在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________. 答案　 解析　如图，切线PA，PB互相垂直， 又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，＝a.解得＝，则离心率e＝. 15.(5分)如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________． 答案　8 cm　12 cm　 解析　由题图知短轴长为底面直径12 cm， 长轴长为＝8(cm)， 则c2＝(4)2－62＝12，∴c＝2， ∴离心率e＝＝. 16．(11分)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(4分) (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．(7分) 解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k， 则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)． 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0， 故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $