第一章 1.4 第1课时 两条直线平行（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦两条直线平行的条件这一核心知识点，从平面几何中平行直线被x轴截得的同位角相等引入，梳理倾斜角相等是两直线平行的充要条件，明确斜率存在时需斜率相等且不重合、斜率不存在时平行的判定方法，构建从概念到判定再到应用（求平行直线方程）的学习支架。 资料以情境创设和问题驱动为特色，导语用平行线故事激发兴趣体现数学眼光，通过问题链引导学生推理倾斜角与斜率关系培养推理意识，例题分层设计结合分类讨论提升运算能力，课中辅助教师引导探究，课后练习帮助学生巩固查漏补缺。

1．4　两条直线的平行与垂直 第1课时　两条直线平行 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两条直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的几何问题． 导语 你我有笔直的路，却没有终点；你我有相同的方向，却没有交点；你我可以长久相望，距离却不会缩短．追寻的路漫漫，你我却不知疲倦，愿我不再执着，你变得婉转，共同期待你我相逢的一天．纵使地老天荒，海枯石烂．这便是平行线凄美的故事，今天我们一起来到直线这个大家庭，更加深入地探讨平行线吧！ 一、两条直线平行的判定 问题1　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示　两直线平行，倾斜角相等． 问题2　对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，倾斜角相等(α1＝α2)是l1∥l2的充要条件吗？若l1∥l2，则一定能推出两直线的斜率相等吗？ 提示　是充要条件；不一定，两直线的斜率可能均不存在． 知识梳理 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2. 2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． 例1　判断下列各对直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0； (2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0； (3)l1：x＝3，l2：x＝10； (4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0. 解　设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. (1)k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2， 所以l1∥l2. (2)k1＝2，k2＝，k1≠k2. 所以l1与l2不平行． (3)由两直线的方程可知，l1∥y轴， l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等， 所以l1∥l2. (4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1， 所以l1与l2重合． 反思感悟　判定两直线平行的常用方法 (1)用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)． (2)用一般方程的系数 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．l1∥l2⇔或 (3)还可用直线的倾斜角，方向向量等． 跟踪训练1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)， N(－2，－3)． 解　(1)由题意知k1＝＝－， k2＝＝－， ∴l1与l2平行或重合． 需进一步研究A，B，C，D四点是否共线， ∵kBC＝＝－≠－， ∴A，B，C，D四点不共线， ∴l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝＝， ∵k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合． 二、求与已知直线平行的直线 例2　已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1,3)，且与l平行的直线l′的方程． 解　方法一　l的方程可化为y＝x－4， ∴l的斜率为， ∵l′∥l，∴l′的斜率为， 又l′过点(－1,3)， ∴由点斜式得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 方法二　∵l′∥l， 可设l′的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)， 将(－1,3)代入得m＝13， ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 反思感悟　一般地，直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中的系数A，B确定直线的斜率，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． 跟踪训练2　与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为________________． 答案　3x＋4y－4＝0 解析　方法一　由题意，设所求直线的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠1)．令x＝0，得y＝－； 令y＝0，得x＝－，所以－＋＝，解得m＝－4，所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 方法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0.故可设所求直线的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则有 解得故所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 三、两直线平行的综合问题 例3　(1)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．6 D．0或6 答案　C 解析　由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)， 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. (2)已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________． 答案　0或1 解析　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 反思感悟　已知两直线平行求方程中的参数值的方法 (1)根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1进行求解． (2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况． 跟踪训练3　(1)(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是(　　) A．－1 B．1 C．2 D．5 答案　CD 解析　直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. (2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________. 答案　－1 解析　由题意得解得a＝－1. 1．知识清单：两直线平行的条件． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况． 1．过点(1,2)和点(－3,2)的直线与x轴的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 答案　B 解析　过点(1,2)和(－3,2)的直线的斜率k＝＝0，∴直线的方程为y＝2，故直线与x轴平行． 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－8 答案　D 解析　由题意知＝－2，解得m＝－8. 3．过点(0,5)与直线y＝2x平行的直线方程为__________________． 答案　2x－y＋5＝0 4．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是______． 答案　平行或重合 解析　直线l1的倾斜角为135°， 故斜率＝tan 135°＝－1. 由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 得＝＝－1，所以， 所以直线l1与l2平行或重合． 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 答案　B 解析　斜率都为0且不重合，所以平行． 2．(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 答案　BCD 解析　直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，所以C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，所以D正确． 3．直线3x＋y－a＝0与3x＋y－1＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 答案　D 解析　当a＝1时，两直线重合， 当a≠1时，两直线平行． 4．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．0或－1 答案　D 解析　两直线无公共点，即两直线平行， ∴1×3a－a2(a－2)＝0， ∴a＝0或a＝－1或a＝3， 经检验知，当a＝3时两直线重合，舍去， ∴a的值为0或－1. 5．过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y＋5＝0 答案　C 解析　由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2)，因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，解得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0. 6．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1 答案　D 解析　由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0， 解得a＝2或a＝－1. 经过验证，可得当a＝2时，两条直线重合，舍去． ∴a＝－1. 7．(5分)已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 答案　－6 解析　直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)， ∴＝＝3， ∵直线l1经过点A(0，－1)和点B， ∴＝＝－， ∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2， ∴－＝3，解得a＝－6. 8．(5分)已知点A(－1,2)，B(3,4)，线段AB的中点为M，则过点M且平行于直线－＝1的直线方程为___________． 答案　x－2y＋5＝0 解析　由题意得M(1,3)，直线－＝1的方程化为斜截式为y＝x－2，其斜率为， ∴所求直线的斜率为， ∴所求直线的方程是y－3＝(x－1)， 即x－2y＋5＝0. 9．(10分)已知直线l：2x－y＋4＝0在x轴上的截距为a，求过点(a,3a)且与直线l平行的直线方程． 解　因为2x－y＋4＝0，令y＝0，得x＝－2， 所以a＝－2，所以点(a,3a)为(－2，－6)． 设所求直线方程为2x－y＋C＝0(C≠4)， 代入(－2，－6)得－4＋6＋C＝0，则C＝－2， 所以所求直线的方程为2x－y－2＝0. 10．(10分)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．求点D的坐标． 解　设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以 解得 所以D(－1,6)． 11．设a∈R，则“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，可得a(a－1)＝2×3，解得a＝3或a＝－2.当a＝3时，两直线分别为3x＋2y＋9＝0和3x＋2y＋4＝0，满足平行；当a＝－2时，两直线分别为x－y＋3＝0和x－y＋3＝0，两直线重合，所以“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的充要条件． 12．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　BC 解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD； 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝， 解得m＝1，∴m＝0或1. 13.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3,1) B．(4,1) C．(－2,1) D．(2，－1) 答案　A 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A. 14．(5分)已知直线l平行于直线2x＋y＋3＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则直线l的方程为________． 答案　2x＋y±6＝0 解析　因为直线l与直线2x＋y＋3＝0平行，所以设直线l的方程为2x＋y＋b＝0(b≠3)， 则其与x轴交于点，与y轴交于点.依题意可得，××|b|＝9， 解得b＝±6，所以直线l的方程为2x＋y±6＝0. 15．(多选)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝，其中a，b，c均为实数．则下列结论正确的是(　　) A．存在实数δ，使点N在直线l上 B．若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合 C．若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点 D．若δ>1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交 答案　CD 解析　若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0， ∴不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误； 若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，当b≠0时， 即＝－， ∴kMN＝kl；当b＝0，a≠0时，x1＝x2， 又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合， 则过M，N两点的直线与直线l平行， 故B错误； 若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0， 即a＋b＋c＝0， ∴直线l经过线段MN的中点， 故C正确； 若δ>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0， 或ax1＋by1＋c<ax2＋by2＋c<0， 即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行，故D正确． 16．(12分)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax－y－2＝0}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解　由＝2可得2x－y－1＝0(x≠2)， 故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}， 故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2,3)外的点构成的集合． ①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝∅，此时a＝2； ②当直线ax－y－2＝0过点(2,3)时，满足A∩B＝∅，则2a－5＝0，解得a＝. 综上所述，a＝2或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $