第一章 1.3 第3课时 直线方程的一般式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦直线方程的一般式，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式的联系及转化，通过表格对比五种形式的已知条件、方程及适用范围，结合系数条件分类讨论直线位置特征，构建从特殊到一般的学习支架。 通过导语问题引导学生用数学眼光观察直线与方程关系，分类讨论系数条件培养推理能力，例题从不同已知条件转化为一般式及参数问题，提升用数学语言表达直线关系的模型意识。课中助力教师对比教学，课后学生可通过训练巩固转化方法，弥补知识盲点。

第3课时　直线方程的一般式 [学习目标]　1.掌握直线方程的一般式.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 导语 前面我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式，可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 一、直线方程的一般式 问题　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 知识梳理 1．关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． 2．直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零 注意点： (1)直线方程的一般式的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 反思感悟　求直线方程的一般式的策略 在求直线方程时，通常不设直线方程的一般式，而是根据给定条件，选择四种特殊形式之一求出方程，然后转化为一般式． 跟踪训练1　根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________． 答案　(1)x＋2y＋4＝0　(2)2x－y－3＝0　(3)x＋y－1＝0 二、由截距、斜率的值求参数 例2　设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值． (1)l在x轴上的截距是－4； (2)斜率为. 解　(1)令y＝0，得x＝， 由＝－4，解得m＝. (2)直线l的斜率k＝－＝－. 由－＝，解得m＝. 延伸探究　 1．若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值． 解　当x＝0时，y＝＝， 当y＝0时，x＝， 则＝，即m＝－1. 2．当直线l垂直于y轴时，试求m的值． 解　由直线l的斜率k＝－＝0， 得m＝3. 反思感悟　求一般式表示的直线的斜率与在x轴上的截距，可以将一般式化为斜截式，求在x轴上的截距，令方程中y＝0解出x即为所求． 跟踪训练2　若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m＋2表示直线．当m＝________时，直线的倾斜角为45°；当m＝________时，直线在y轴上的截距为－1. 答案　－1　－1或－2 解析　因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 所以－＝1， 所以 解得 所以m＝－1. 因为已知直线在y轴上的截距为－1， 令x＝0，得y＝， 所以＝－1， 所以 解得 所以m＝－1或m＝－2. 三、直线方程的一般式的应用 例3　已知直线l：kx－2y－3＋k＝0. (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围； (2)设直线l与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程． 解　(1)因为kx－2y－3＋k＝0， 所以y＝x＋. 若直线l不经过第二象限，则 解得0≤k≤3. (2)由题意得，A，B，k<0， 则△AOB的面积为··＝－. 因为△AOB的面积为4， 所以－＝4，即k2＋10k＋9＝0， 解得k＝－9或k＝－1. 当k＝－1时，直线方程是x＋2y＋4＝0； 当k＝－9时，直线方程是9x＋2y＋12＝0， 综上，所求直线方程是x＋2y＋4＝0或9x＋2y＋12＝0. 反思感悟　求直线方程的一般式的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定，的值；当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个独立条件，就可以求出直线方程． 跟踪训练3　(1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足的条件是________． (2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________． 答案　(1)a≠－2　(2)15x－3y－7＝0 解析　(1)根据题意，由 解得a＝－2. 要使方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线， 则a2＋5a＋6和a2＋2a不能同时为零， 所以a≠－2. (2)直线的斜截式为y＝－x－，所以－＝5， 即A＝－5B，代入A－2B＋3C＝0，可得C＝B.将直线方程中的参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋B＝0.消去B，化简可得15x－3y－7＝0. 四、直线方程的点法式 知识梳理 1．直线的法向量：与方向向量垂直的向量称为直线的法向量． 2．直线方程的点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0为直线方程的点法式． 注意点： 直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向． 例4　已知点A(3,2)和点B(－1，－4)，求线段AB的垂直平分线方程． 解　线段AB的中点C，即C(1，－1)． ＝(－1－3，－4－2)＝(－4，－6)， 表示线段AB垂直平分线的一个法向量， 代入直线方程的点法式得， －4(x－1)－6(y＋1)＝0，即2x＋3y＋1＝0. 反思感悟　利用直线方程的点法式求直线的方程的关键是确定所求直线的法向量n＝(A，B)，通常利用向量的数量积为0来求解． 跟踪训练4　直线l在y轴上的截距为2且方向向量为(2，－1)，求直线l的方程． 解　由直线l的方向向量为(2，－1)，得直线l的法向量为(1,2)，又直线l过点(0,2)， 代入直线方程的点法式为x＋2(y－2)＝0， 即x＋2y－4＝0. 1．知识清单： (1)直线方程的一般式． (2)直线方程五种形式的互化． 2．方法归纳：分类讨论法、化归转化． 3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况． 1．直线＋＝1化成一般式为(　　) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案　C 2．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________． 答案　(－2,1) 解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0， 即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0， ∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时， ∴x＝－2，y＝1， ∴该直线过定点(－2,1)． 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 答案　3 解析　由已知得 ∴m＝3. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是(　　) A．y＝3x－1 B．x＋2＝0 C.＋＝1 D．2x－y＋1＝0 答案　C 解析　因为直线y＝3x－1的斜率为3，且3>0，所以此直线的倾斜角为锐角；因为直线x＋2＝0与x轴垂直，所以此直线的倾斜角为直角；因为直线＋＝1可化为y＝－x＋3，则此直线的斜率为－，且－<0，所以此直线的倾斜角为钝角；因为直线2x－y＋1＝0可化为y＝2x＋1，则此直线的斜率为2，且2>0，所以此直线的倾斜角为锐角． 2．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0 答案　D 解析　根据直线方程的点斜式， 可得y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 3．直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为(　　) A．3x－y＋2＝0 B．3x＋y－2＝0 C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y－2＝0 答案　B 解析　∵直线的方向向量为a＝(1，－3)， ∴k＝－3， ∴直线的方程为y＝－3x＋2， 即3x＋y－2＝0. 4．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)，则下列各图中，正确的是(　　) 答案　A 解析　由直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)， 可得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－x＋. 对于A，l1中的a＞0，b＞0，l2中的a＞0，b＞0，A正确； 对于B，l1中的a＞0，b＞0，l2中的a＞0，b＜0，矛盾，B错误； 对于C，l1中的a＜0，b＞0，l2中的a＞0，b＞0，矛盾，C错误； 对于D，l1中的a＜0，b＞0，l2中的a＜0，b＜0，矛盾，D错误． 5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A．－，－1 B.，－1 C．－，1 D.，1 答案　A 解析　原方程化为＋＝1， ∴＝－1，∴b＝－1. 又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a， 且x－y－＝0的倾斜角为60°， ∴k＝tan 120°＝－， ∴a＝－. 6．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化 答案　ABC 解析　A说法正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的；B说法正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0,0)；C说法正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，D说法显然错误． 7．(5分)已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________． 答案　－ 解析　把(3,0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 令x＝0，得y＝－. 8．(5分)已知直线(sin θ)x＋y－2＝0的倾斜角为θ(θ≠0)，则θ＝________. 答案　(或135°) 解析　直线(sin θ)x＋y－2＝0的倾斜角为θ(θ≠0)，则tan θ＝－，即cos θ＝－， θ＝. 9．(10分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m需满足的条件；(5分) (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．(5分) 解　(1)由解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1，解得m＝0. 10．(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x,1)． 又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为. 又∵点D在中线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴B点坐标为(5,1)． 同理可求出C点的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 11．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(　　) A．15x－10y－6＝0 B．15x－10y＋6＝0 C．6x－4y－3＝0 D．6x－4y＋3＝0 答案　A 解析　∵直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，可设直线l的方程为3x－2y＋c＝0.再根据直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，可得－－＝1，解得c＝－，故直线l的方程为3x－2y－＝0，即15x－10y－6＝0. 12．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　D 解析　∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 13．(5分)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________． 答案　x＋y－5＝0 解析　由x－y＋1＝0， 得A(－1,0)，又P的横坐标为2， 且|PA|＝|PB|， ∴P为线段AB中垂线上的点， 则B(5,0)．直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数， 故PB的斜率kPB＝－1， 则方程为y＝－(x－5)， 即直线PB的方程为x＋y－5＝0. 14．(5分)瑞士著名数学家欧拉在1765年首次提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，则其“欧拉线”的方程为____________．(结果写成直线的一般式方程) 答案　3x－4y＝0 解析　由题设知，△ABC是直角三角形，则其垂心为直角顶点A(0,0)，其外心为斜边BC的中点M(4,3)，故其重心在直线AM上，故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程，为y＝x，即3x－4y＝0. 15．(5分)已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________． 答案　2x＋3y＋4＝0 解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 16．(12分)已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，当实数a的值在区间(0,2)内变化时，求直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 解　将直线ax－2y－2a＋4＝0化为y－2＝(x－2)，得直线l1恒过定点(2,2)， 将直线2x－(1－a2)y－2－2a2＝0化为 2x－y－2＋a2(y－2)＝0， 由得 即直线l2恒过定点(2,2)． 如图，在平面直角坐标系中取点B(2,2)，连接OB，过点B作出直线l1，l2的大致图象，l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A.则在△OAB中OA边上的高为2，在△OBC中OC边上的高为2， 点A的坐标为(1＋a2,0)，点C的坐标为(0,2－a)． 所以S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC ＝×2×(1＋a2)＋×2×(2－a)＝a2－a＋3 ＝2＋， 因为0<a<2，所以当a＝时，所求四边形OABC的面积最小，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $