专题19 碰撞模型及拓展-【精讲】高考母题一题三练

专题19 碰撞模型及拓展 核心考点 考点梳理1 碰撞模型 1 母题考点一 碰撞模型 2 考点梳理2 “滑块—弹簧” 2 母题考点二 “滑块—弹簧” 3 考点梳理3 “滑块—曲面(斜面)”模型 3 母题考点三 “滑块—曲面(斜面)”模型 4 考点梳理4 “子弹打木块”模型 4 母题考点四 “子弹打木块”模型 5 考点梳理5 “滑块—滑板”模型 5 母题考点五 “滑块—滑板”模型 6 考点梳理1 碰撞模型 1．碰撞现象遵循的三条原则 (1)动量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2。 (2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥E′k1＋E′k2 或。 (3)速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v′前≥v′后。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 2．弹性碰撞的重要结论 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2、速度为v2的小球发生弹性碰撞为例，则有 动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2 机械能守恒：＝ 联立解得v′1＝ v′2＝ 结论1：当m1＝m2时：v′1＝v2，v′2＝v1，即m1、m2碰撞后交换速度。 结论2：若v2＝0，即简化为“一动一静”模型，v′1＝v1，v′2＝v1。 3．完全非弹性碰撞的特征 (1)撞后共速。 (2)有动能损失，且损失最多，|ΔEk|＝。 母题考点一 碰撞模型 【母题1】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 举一反三 【练1】（2025·陕西西安·一模）最近“一颗编号为2024YR4直径在40米至90米之间的小行星可能在8年后撞击地球”的消息引起热议。我国已掌握动能撞击术来规避这个风险，如图所示，若用与小行星质量m、速率v相同的自主导航航天器去横向与小行星发生弹性碰撞，小行星被撞后瞬间速度变为，速度偏离原来的方向θ角度，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小行星被质量完全相同的航天器横向弹性撞击后，原方向动量不变，被撞方向交换速度，获得横向速度v，合速度变为，速度偏转角度为 故选A。 【练2】（2025·陕西渭南·模拟预测）如图甲所示，一可看作质点的物块位于底面光滑的木板的最左端，和以相同的速度在水平地面上向左运动。时刻，与静止的长木板发生弹性碰撞，且碰撞时间极短，厚度相同，平滑地滑到的右端，此后的图像如图乙所示，时刻，与左侧的墙壁发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后的速度大小不变，方向相反；运动过程中，始终未离开。已知与的质量，重力加速度大小。求： (1)与间的动摩擦因数以及与地面间的动摩擦因数。 (2)和第一次碰撞后的速度大小。 【答案】(1)0.4， (2) 【详解】（1）由图乙有过程中在上滑动的加速度大小为 由受力分析和牛顿第二定律有 解得与间的动摩擦因数为 在过程中，和一起运动的加速度大小为 对整体受力分析和牛顿第二定律有 解得与地面间的动摩擦因数为 （2）在过程中，设的加速度为，对进行受力分析和牛顿第二定律有 解得 设时刻的速度为，经匀加速到 由运动学公式有 和弹性碰撞，动量守恒 能量守恒 解得 所以和碰撞后的速度大小为 【练3】（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，两个完全相同的弹性小球A和B（均可看作质点），分别挂在长和L的细线上，重心在同一水平面上、且小球恰好互相接触，把小球A向左拉开一个较小角度（小于5°）后由静止释放，经过多长时间两球发生第2次碰撞（碰撞均为弹性碰撞）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个质量相等的弹性小球做弹性正碰时，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得， 由，解得， 可知两球碰撞后速度交换，由单摆周期公式得， 从释放小球A到第1次相碰经历时间 从小球B摆起到第2次相碰经历时间 故选A。 考点梳理2 “滑块—弹簧” 1．模型图示 2．两个规律 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 3．两个状态 (1)弹簧最短(或最长)时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大 ①系统动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v共； ②系统机械能守恒：m1v＝(m1＋m2)v＋Epm。 (2)弹簧处于原长时弹性势能为零 ①系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2； ②系统机械能守恒：m1v＝m1v＋m2v。 母题考点二 “滑块—弹簧” 【母题2】（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 举一反三 【练1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图甲所示。物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在t＝0时刻以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块C的质量为2kg B．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为72J C．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为24N·s D．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为18J 【答案】C 【详解】A．由图知，C与A碰撞前的速度为，碰后的速度为，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得，故A错误； B．当C与A速度为0时，根据能量守恒，可得最大弹性势能，故B错误； C．由图知，12s末A和C的速度，4s到12s过程中墙壁对物体B的冲量大小等于弹簧对物体B的冲量大小，也等于弹簧对A和C整体的冲量大小，墙对B的冲量为 解得I＝-24N·s 即冲量大小为24N·s，方向向左，故C正确； D．物块B刚离开墙壁时，根据机械能守恒定律有 解得AC向左运动的速度大小为 物块B离开墙壁后，当A、B、C三者共速时弹性势能最大，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得，故D错误。 故选C。 【练2】（2025·江苏苏州·三模）如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图乙所示，物体A以的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则（　　） A．此过程中，A物体均做加速度越来越大的减速运动，直至速度为零 B．物体A的质量为2m C．弹簧压缩量最大时，两种情况下弹簧对A物体的冲量大小之比为3∶2 D．弹簧压缩量最大时的弹性势能为 【答案】D 【详解】BD．图（甲）中，弹簧最大弹性势能为 图（乙）中，AB共速时弹簧弹性势能最大，设最大速度为v，两次弹簧压缩量相同，所以两次最大弹性势能相同，根据动量守恒有 能量守恒有 联立解得，， 故B错误，D正确。 A． 开始时A物体的速度大于B的速度，弹簧被压缩，A物体受到的弹力逐渐增大，加速度也越来越大，所以该过程中A物体均做加速度越来越大的减速运动，直至共速，故A错误； C．以向左为正方向，根据动量定理可得弹簧压缩量最大时，在图甲的情况下弹簧对A物体的冲量大小为 在图乙的情况下弹簧对A物体的冲量大小为 可得两种情况下弹簧对A物体的冲量大小之比为 I1: I2=2:1 故C错误。 故选D。 【练3】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，在光滑的水平桌面上，原长为、劲度系数为的轻弹簧两端各连接一个物块，按住物块，向左拉物块，在弹簧长度为时由静止释放物块，当弹簧恢复原长时释放物块。已知两物块的质量均为，弹簧的形变量为时的弹性势能为。下列说法正确的是（　　） A．刚释放物块时，物块的速度为 B．最终两物块以相同的速度匀速运动 C．两物块之间的最小距离为 D．物块的最大速度为 【答案】D 【详解】A．刚释放物块B时，弹簧的弹性势能转化为A的动能 物块A的速度为，故A错误； C．释放物块B后，A向右减速，B向右加速，当A、B速度相等时弹簧长度最短，由动量守恒定律得 由能量守恒得 解得此时A、B的速度为 弹簧的压缩量为 两物块之间的最小距离为，故C错误； D．随后物块A继续减速，物块B继续加速，当弹簧再次恢复原长时，设A、B的速度分别为、 由动量守恒可得 由能量守恒得 解得， 此时B的速度最大，故D正确； B．随后物块A开始加速，B开始减速，弹簧先伸长再缩短，再次恢复原长时物块A的速度仍为，物块B的速度为0，以此重复，故B错误。 故选D。 考点梳理3 “滑块—曲面(斜面)”模型 1．模型图示 2．模型特点 (1)上升到最大高度(未离开弧面或从弧面上端离开弧面)：滑块m与斜(曲)面M具有共同水平速度v共，此时滑块m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒＝＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m的重力势能)。 (2)返回最低点：滑块m与斜(曲)面M分离点。系统水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒＝(相当于弹性碰撞)。 母题考点三 “滑块—曲面(斜面)”模型 【母题3】（2023·湖南·高考真题）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直．质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用及表示）。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正 小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒 联立解得 因水平方向在任何时候都动量守恒即 两边同时乘t可得 且由几何关系可知 联立得 （2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为 整理得 （） （3）将代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以为圆心，b为半径的圆，则当小球下降的高度为时有如图       此时可知速度和水平方向的夹角为，小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立得 举一反三 【练1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图所示，竖直平面内有一质量为M＝0.3kg，半径为R＝1.5m，圆心为O的四分之一圆弧轨道静止放置在光滑水平地面上，轨道最高点A与圆心O等高，最低点B在O点正下方且刚好和地面相切。将质量为m＝0.1kg的滑块从轨道最高点A由静止释放，测得滑块从B点离开轨道时，滑块的速度大小为3m/s，取，则滑块沿轨道从A滑到B的过程中，摩擦产生的热量为（　　） A．0.9J B．0.45J C．0.6J D．1.05J 【答案】A 【详解】滑块沿轨道下滑的过程中，滑块与轨道组成的系统水平方向动量守恒，有 解得滑块滑到B点时，圆弧轨道的速度大小为 滑块从A滑到B的过程中，根据能量守恒有 联立解得 故选A。 【练2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，水平面上放置着半径为、圆心角为的圆弧轨道，一个可视为质点的小球以初速度冲上圆弧轨道。已知圆弧轨道质量，小球质量，重力加速度大小为，不计一切摩擦和空气阻力，小球从圆弧轨道飞出时，速度方向恰好跟水平方向成角，求： (1)圆弧的半径； (2)小球飞出圆弧轨道时，小球和圆弧轨道的速度； (3)若小球从圆弧轨道飞出时，圆弧向右运动的距离为，小球在轨道上运动时间。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）小球以初速度v0滑上圆弧轨道，小球与圆弧轨道产生相互作用，因此小球从滑上圆弧到飞离圆弧的运动中，小球与圆弧轨道组成的系统在水平方向动量守恒，机械能守恒，因此小球有两个分速度，其中v1是相对轨道的速度，与圆弧相切，v2是随轨道运动的速度，方向水平，如图所示 由几何关系，可知与v2成60°角，v与v2成30°角，则与v成30°角，所以四边形是菱形，则有， 由水平方向动量守恒可得 由系统机械能守恒可得 联立解得圆弧半径为 （2）由水平方向动量守恒可得 可得小球飞出时圆弧轨道的速度为 根据矢量三角形可得小球飞出圆弧轨道时速度大小为 （3）根据题意可知，小球与圆弧轨道水平方向动量守恒，则有 设小球在轨道上运动时间为t，则有 整理可得 解得 【练3】（2025·广西百色·模拟预测）如图甲所示，一质量为M的小车静止在光滑水平地面上，其左端P点与平台平滑连接。小车上表面PQ是以O为圆心、半径为R的四分之一圆弧轨道。质量为m的光滑小球，以某一水平速度冲上小车的圆弧面。若测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为v1、v2，画出图像如图乙所示。已知OP竖直，OQ水平，水平台面高，小球可视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦。求： (1)小球运动过程中离平台的最大高度为多少？ (2)小球在Q点速度方向与水平方向夹角的正切值为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，小球和小车组成的系统在水平方向动量守恒，由图乙可知，当时，当时，根据系统在水平方向动量守恒有 解得 设小球在Q点的速度为vQ，小球在Q点时，在水平方向与小车共速，根据动量守恒定律有 解得 小球由P点运动到最高点时，由机械能守恒定律可得 联立解得 （2）小球由P点运动到Q点时，由机械能守恒定律可得     联立解得 则小球此时的竖直分速度为 小球在Q点速度方向与水平方向夹角的正切值为 考点梳理4 “子弹打木块”模型 1．模型图示 2．模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3．两种情境 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(m＋M)v； 能量守恒：Q＝Ff·s＝－(M＋m)v2。 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 能量守恒：Q＝Ff·d＝。 母题考点四 “子弹打木块”模型 【母题4】（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 【答案】AD 【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为，则有 子弹和木块相互作用过程中合力都为，因此子弹和物块的加速度分别为 由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为 联立上式可得 因此木块的速度最大即取极值即可，该函数在到无穷单调递减，因此当木块的速度最大，A正确； B．则子弹穿过木块时木块的速度为 由运动学公式 可得 故B错误； C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即 故C错误； D．木块加速过程运动的距离为 故D正确。 故选AD。 举一反三 【练1】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图所示，在光滑水平面上静止放置一木块，一子弹水平射入木块并穿出。已知子弹在木块内运动过程中受到的阻力大小不变，子弹的质量小于木块的质量，则子弹从木块穿出后（　　） A．系统产生的热量一定等于木块的动能 B．系统产生的热量一定小于木块的动能 C．系统产生的热量一定等于木块动能的2倍 D．系统产生的热量一定大于木块动能的2倍 【答案】D 【详解】由于子弹的质量小于木块的质量，由牛顿第二定律可知，子弹的加速度大小大于木块的加速度大小，子弹和木块的v−t图像如图所示，在子弹穿过木块的过程中，设子弹和木块的位移分别为x1、x2，设子弹在木块内运动受到恒定阻力f的作用，木块的长度为L，由功能关系知系统产生的热量Q=fL 木块的动能Ek=fx2，由图可知L=x1−x2>2x2 则 故选D。 【练2】（2025·河北·一模）如图所示，水平传送带AB长L=2.9m，质量为M=1kg的木块随传送带一起以v=2m/s的速度向右匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数当木块运动至最右端A点时，一颗子弹以水平向左的速度正对射入木块并穿出，穿出速度木块被子弹击穿时的速度大小v'=3.0m/s，设子弹射穿木块的时间极短，且不计木块质量变化，重力加速度大小求： (1)子弹的质量； (2)木块在被子弹击穿后向左运动距B点的最小距离； (3)从子弹射中木块到木块相对传送带静止的过程中，子弹、木块和传送带这一系统由于摩擦产生的内能。 【答案】(1) (2) (3)885J 【详解】（1）取水平向左为正方向，根据动量守恒定律 代入数据解得 （2）木块在被子弹击穿后，运动的加速度 减速到零过程运动位移 向左运动距B点的最小距离 （3）子弹击穿木块过程中产生的热能为 木块向左减速运动过程中相对传送带的位移为 产生的热能为10.5J 减速到零后，木块再向右加速运动，时间为 向右移动的位移为 木块向右加速运动过程中相对传送带的位移为 产生的热能为=2J 从子弹射中木块到木块相对传送带静止的过程中，子弹、木块和传送带这一系统产生的热能是Q=Q1＋Q2＋Q3=872.5J+10.5J+2J=885J 【练3】（2025·山西·三模）如图1所示，甲、乙两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接放置在光滑的水平面上，乙的质量为3m，现让质量为m的子弹以水平向右的速度射向甲并最终停留在甲中（时间极短），此过程子弹与甲间的摩擦生热为，从以上过程结束瞬间开始计时，此后甲、乙运动的速度与时间的关系图像如图2所示，已知图中阴影部分的面积为，已知弹簧的弹性势能与弹簧的形变量x以及劲度系数k之间的关系为，规定水平向右为正方向，求： (1)甲的质量以及在开始计时前的过程中甲对子弹的摩擦力对子弹做的功； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)弹簧的劲度系数。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设甲的质量为M，子弹与甲发生完全非弹性碰撞，则 由能量守恒定律可得 综合解得、 对子弹由动能定理可得 综合解得 （2）甲、乙通过弹簧发生相互作用，分析其运动过程以及图2可知时刻弹簧的伸长量最大、时刻弹簧的压缩量最大，且、时刻甲、乙达到共同速度v，由系统的动量守恒定律可得 类比完全非弹性碰撞规律，、时刻弹簧的弹性势能最大，系统的动能减小最多，由能量守恒可得弹簧的弹性势能的最大值为 综合可得、 （3）由于弹簧的压缩量最大与伸长量最大时，弹性势能达最大值且相等，由可得最大伸长量与最大压缩量相等，设为，从时刻到时刻，弹簧由伸长量最大变为压缩量最大，则甲相对乙的位移即图2阴影部分的面积，即 结合， 解得 考点梳理5 “滑块—滑板”模型 1．模型图示 2．模型特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 (2)若滑块未从滑板上滑下，当两者速度相同时，滑板速度最大，相对位移最大。 3．求解方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。 (2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。 (3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律求解，Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统。 母题考点五 “滑块—滑板”模型 【母题5】（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m 【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有 第一次经过C点的向心加速度大小为 ②小物块a在DE上时，因为 所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有 解得 ③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为 将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有 解得 （2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有 解得 设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 举一反三 【练1】（2025·浙江杭州·一模）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，质量分别为。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。A、B间动摩擦因数为0.5，则下列判断错误的是（　　） A．A与C碰撞后的瞬间A的速度大小是2m/s B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15J C．碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.6m D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4s 【答案】B 【详解】A．因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A的速度大小为vA，C的速度大小为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0=mAvA+mCvC A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA+mBv0=（mA+mB） vAB A、B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB=vC 联立解得vA=2m/s，vAB=3m/s，A正确； B．运动过程中因摩擦而产生的热量等于A、B相互作用的过程中损失的机械能，即 代入数据解得Q=3J，B错误； C．根据 解得x=0.6m 即碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.6m，C正确； D．对B由动量定理 解得∆t=0.4s，D正确。 此题选择错误选项，故选B。 【练2】（2025·四川巴中·模拟预测）如图甲所示，质量为的轨道静止在光滑水平面上，轨道左侧部分水平且上表面粗糙，右侧部分为光滑圆弧，两部分在点平滑连接，为轨道的最高点。质量为的小物块静置在轨道左端，与水平轨道间的动摩擦因数为，给物块施加水平向右的推力，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度与对应关系如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道水平部分长度，圆弧部分的半径，重力加速度大小取，则（　　） A．动摩擦因数为 B．小物块质量 C．若对物块施加水平向右的推力，当小物块到点时撤去，则物块不能从Q点冲出轨道 D．若对物块施加水平向右的推力，当小物块到点时撤去，则物块最终能从轨道左端离开 【答案】BC 【详解】AB．由图乙可知，当时，物块与轨道一起加速，根据牛顿第二定律有 可得 根据图像可得 时，二者发生相对滑动，对轨道根据牛顿第二定律有 可得 根据图像可得 联立求得 由时，，可求得，故A错误，B正确； CD．若对物块施加水平向右的推力，则物块与轨道发生相对滑动，对物块根据牛顿第二定律有 对轨道 求得， 当小物块到点时，有 求得 此时轨道速度为 物块速度为 撤去后，物块与轨道水平方向动量守恒，物块沿圆弧轨道上升到最高点时，则有 ， 代入数据求得，显然物块不能从Q点冲出轨道，物块将滑回轨道水平部分，根据水平方向动量守恒可知，最终二者将到达共速，速度为 该过程，根据功能关系可知 求得，显然物块不能从轨道左端离开，故C正确，D错误。 故选BC。 【练3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图所示，倾角为θ的光滑斜面体固定在水平面上，斜面底端固定一挡板。三个相同的小物块A、B、C质量均为m，小物块A紧靠挡板放置，小物块A和小物块B通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，开始时A、B均静止。现让小物块C从斜面上由静止释放，小物块B、C碰后一起向下运动，当B、C再次分离后撤去小物块C。当小物块B沿斜面向上运动到最高点时，小物块A与挡板之间的作用力恰好为零。已知弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度为g，碰撞时间极短。则（　　） A．小物块B、C碰后一起向下运动过程中，二者组成的系统机械能守恒 B．小物块B运动到最高点时，弹簧的弹性势能为 C．小物块B、C分离时，B的速度大小为 D．小物块C开始下落时与小物块B之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．小物块B、C碰后一起向下运动过程中，弹簧弹力做功，二者组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．设弹簧开始时的压缩量为x0，则 当小物块A与挡板之间的作用力恰好为零时，有 解得 则小物块B运动到最高点时弹簧的弹性势能，故B正确； CD．设小物块C开始下落时与小物块B之间的距离为d，下落过程与碰撞过程有、 小物块B、C在弹簧原长处分离，设分离时的速度大小为v3，由能量守恒得 小物块B、C分离后，小物块B向上运动到最高点的过程中，由能量守恒得 联立解得、，故C错误，D正确。 故选BD。 模拟演练 1．（2025·辽宁大连·三模）如图所示，倾角为θ的光滑斜面，沿斜面放置的轻弹簧一端固定在斜面底端，另一端连接物体A，静止时，弹簧被压缩了l，质量与A相同的物体B从弹簧原长位置由静止释放，A与B发生完全非弹性碰撞（粘连），碰撞时间极短，A、B视为质点，重力加速度为g，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），则下列说法正确的是（　　） A．碰后瞬间两物体的速度大小为 B．碰后两物体运动过程中一定机械能守恒 C．碰后两物体一起向下运动的最大位移为3l D．两物体反弹向上运动，最大高度能到达B的释放点上方 【答案】A 【详解】A．碰撞前物体B的速度大小为 解得 碰后瞬间两物体的速度大小为 解得，A正确； B．碰后两物体运动过程中机械能不守恒，两个物体和弹簧组成的系统机械能守恒，B错误； C．碰后两物体一起向下运动的最大位移x为 碰撞前对物体A根据平衡条件得 解得，C错误； D．以最低点为零势能面，两物体在B的释放点处的重力势能为 在最低点处，弹簧的弹性势能为 因为，所以两物体反弹向上运动，最大高度不能到达B的释放点，更不能到达B的释放点的上方，D错误。 故选A。 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图甲，竖直挡板固定在光滑水平面上，质量为M的光滑半圆形弯槽静止在水平面上并紧靠挡板，质量为m的小球从半圆形弯槽左端静止释放，小球速度的水平分量和弯槽的速度与时间的关系如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球释放后，小球与弯槽系统动量守恒 B．t2时小球到达位置等于释放时的高度 C．由图可知m大于M D．图中阴影面积S2<2S1 【答案】D 【详解】A．小球从弯槽左侧边缘静止下滑的过程中，弯槽对球的支持力沿半径方向指向圆心，而小球对弯槽的压力方向相反指向左下方，因为有竖直挡板挡住，所以弯槽不会向左运动，则小球与弯槽在水平方向受到外力作用，系统动量不守恒；小球从弯槽最低点向右侧运动过程，由于存在小球的重力作用，系统动量不守恒，但水平方向所受合外力为零，故水平方向动量守恒，故A错误； B．t1时小球与弯槽在水平方向第一次共速，即小球到达弯槽右侧，t2时再次共速则到达弯槽左侧，根据能量守恒 可知h>h′，故小球此时不可能到达释放时的高度，故B错误； C．小球通过弯槽最低点后，系统水平动量守恒，则有 移项得 若m大于M，则v1+v2<v3，图中明显获知v1>v3，故C错误； D．小球第一次到达弯槽最低点时，其具有最大速度，而在t1~t2时间内，即小球从弯槽右侧共速点到左侧共速点，共速点的高度均低于弯槽左右两端，根据vx−t图像围成面积等于水平位移，得S1=R 而S2为t1∼t2内两者的相对位移，有S2<2R，故D正确。 故选D。 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）光滑水平桌面上放置两个质量均为的小球、，用轻弹簧连接，小球紧靠挡板，如图所示，初始时弹簧处于原长。小球以水平向左运动并压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，在小球开始向左运动到弹簧第二次恢复原长的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、及弹簧组成的系统机械能和动量均守恒 B．挡板对小球做的功为 C．挡板对小球的冲量大小为 D．小球离开挡板后，系统弹性势能最大值为 【答案】D 【详解】A．小球运动过程中系统中只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒；由于挡板P的弹力对小球A有向右的冲量，因此系统动量不守恒，故A错误； B．从初始到小球A将要离开挡板，小球A一直静止，则挡板P对小球A不做功，小球A离开挡板后，挡板对小球A的弹力为零，也不做功，所以整个过程中，挡板P对小球A不做功，故B错误； C．小球B的动能 小球A将要离开挡板P时弹簧处于原长，由机械能守恒定律知此时小球B的动能Ek=Ek0 此时小球B的速度大小为v0，方向向右，由动量定理知挡板P对小球A的冲量等于系统动量的改变量，规定向左为正方向，则 故C错误； D．小球A离开挡板后，弹簧压缩至最短或拉伸到最长时系统弹性势能最大，此时A、B速度相等，规定向右为正方向，根据动量守恒定律有mv0=2mv 解得 对系统，由机械能守恒定律得 代入数据联立解得弹性势能的最大值为 故D正确。 故选D。 4．（2025·河南·模拟预测）如图所示，物体与光滑半圆弧槽静止在光滑水平面上，槽底端放有小球。现给一个水平向右的初速度，与发生弹性碰撞（碰撞时间极短），小球能脱离圆弧槽向上运动，已知、、质量相等，不计空气阻力，则（　　） A．与碰撞后，的速度向左 B．球脱离圆弧槽后，将不会再掉落在槽内 C．球第一次回到槽内最低点时，槽的速度为零 D．圆弧槽在水平地面上做往复运动 【答案】C 【详解】A．、质量相等碰撞后速度交换，的速度为0，故A错误； B．球脱离圆弧槽后，水平方向的运动完全相同，所以还会掉落在圆弧槽中，故B错误； C． 与相当于质量相等的两个物体相互作用，球第一次回到槽内最低点时，速度互换，所以槽的速度为零，故C正确； D．根据动量守恒，会一直向右运动，故D错误。 故选C。 5．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，足够长的竖直光滑管内有一劲度系数为的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为的小球接触但不相连，小球静止时所在位置为O。另一质量为的小球从距离O点的点由静止开始下落，与发生瞬间碰撞后粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，已知，弹簧形变量为时弹性势能为，弹簧振子做简谐运动的周期为，重力加速度为。求（    ）    A．B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小为 B．与碰撞后瞬间一起向下运动的加速度大小为 C．小球A被碰后向下运动，离点的最大距离为 D．小球从开始向下运动到第一次运动到最高点所用的时间为 【答案】A 【详解】A．从距离O点的点由静止开始下落，有 解得 与发生瞬间碰撞后粘在一起，有 解得，故A正确； B．静止时弹簧压缩量 与碰撞后瞬间，对整体有 与碰撞后瞬间一起向下运动的加速度大小为，故B错误； C．一起做简谐运动的平衡位置弹簧的形变量 可知，设一起做简谐运动的振幅为 从初位置到最低点，有 解得 小球A被碰后向下运动，离点的最大距离为，故C错误； D．碰后AB整体做简谐运动，其周期 从碰后到平衡位置，位移大小为，由简谐运动规律 从平衡位置向下到平衡位置向上 从平衡位置向上到AB与弹簧分离（弹簧处于原长），位移大小为，由简谐运动规律 从最低点到向上与弹簧分离，有 弹簧分离后竖直上抛至最高点 小球从开始向下运动到第一次运动到最高点所用的时间，故D错误。 故选A。 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图长为、与水平方向成夹角的倾斜传送带以速度沿顺时针方向匀速转动。质量的小物块A在沿传送带向上的恒定拉力作用下沿传送带由静止开始向上运动。已知A与传送带间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，重力加速度，A沿传送带上滑到顶点之后从传送带冲出，当小物块A到达最高点后与水平面上的质量的B发生完全非弹性碰撞，A、B与水平面的动摩擦因数相同且都为，下列说法中正确的是（　　） A．A在传送带上滑动时可以一直加速上滑 B．A在传送带上运动的时间为s C．A开始运动到A、B发生完全非弹性碰撞后A的整个运动时间为4.1s D．整个过程中A的位移18.8m 【答案】C 【详解】A B．在传送带上共速之前，根据牛顿第二定律可得 得 位移为 在传送带上共速之后若匀速上滑，根据牛顿第二定律可得 可得 大小为1N（小于最大静摩擦力，可以相对传送带静止匀速上滑）、方向沿传送带向下，在这过程中 可得 总时间为 故AB错误； C．A从传送带冲出后，斜向上抛 水平位移为 竖直位移 之后AB发生完全非弹性碰撞 可得 一起运动，根据牛顿第二定律可得 得 运动时间为 位移为 故A运动的总时间为 故C正确； D．A的水平位移 竖直方向位移为 故而A的位移为 故D错误。 故选C。 7．（2025·福建·模拟预测）如图（a）所示，一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连。已知有一质量为m0的子弹B以水平速度v0射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动。在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t变化关系如图（b）所示，已知子弹射入的时间极短，且图（b）中t=0为A、B开始以相同的速度运动的时刻。下列说法正确的是（　　） A．A、B一起在竖直面内做周期T=t0的周期性运动 B．A的质量大小为 C．子弹射入木块过程中所受冲量大小为 D．轻绳的长度为 【答案】BD 【详解】A．根据图（b）可以知道A、B一起在竖直面内做周期性运动的周期为，故A错误； BCD．设子弹打入物块A后一起运动的速度大小为v1，AB一起运动到最高点的速度大小为v2，细绳的长度为l，子弹打入物块的瞬间，根据动量守恒定律有 子弹和物块在最低点绳子有最大拉力Fm，根据牛顿第二定律有 子弹和物块在最高点绳子有 从最高点到最低点，根据机械能守恒定律有 物块A受到子弹的冲量 联立解得，，，故BD正确，C错误。 故选BD。 8．（2025·河北·三模）如图，弹簧左端固定，将圆管弯成圆弧轨道分别与水平轨道相切于M、N点，质量为M=4kg的小球B静止在水平轨道上，将质量为m=2kg的小球A压缩弹簧后由静止释放，小球能从M点进入圆弧轨道，通过轨道的最高点P时恰好与圆管无弹力作用，之后从N点返回水平轨道，水平轨道足够长，两球间的碰撞为弹性碰撞，已知两球的大小相同且半径很小，圆弧轨道半径R=0.1m，不计一切摩擦和空气阻力，g取10m/s²。则（　　） A．释放小球 A 时弹簧内储存的弹性势能为10J B．两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2 C．A小球再次返回轨道运动时与内轨道无弹力 D．两小球至多能发生2次碰撞 【答案】BC 【详解】A．小球在最高点P时恰好与圆管无弹力作用，有 代入数据解得 释放小球A时弹簧内储存的弹性势能为 A错误； B．小球A与B碰前的速度 以水平向右为正方向，则AB碰撞过程根据动量守恒有mv0=mv1+Mv2 机械能守恒有 代入数据联立解得 即两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2，B正确； C．A小球再次返回轨道运动时能上升的高度为h，则 解得，可知小球不能越过与圆心等高的位置，则与内轨道无弹力，C正确； D．小球A返回到水平面时的速度大小仍为，因小于小球B的速度，则两球不可能再发生第二次碰撞，D错误。 故选BC。 9．（2025·安徽·模拟预测）在未来的智能物流运输系统中，有一个在光滑轨道上可自由滑动的大型运输平板，其长度为，初始时处于静止状态。工作人员将包裹和包裹放置在运输平板上，包裹位于平板的左端，包裹则在平板的正中间。为了使包裹移动起来，智能推送装置瞬间给包裹一个向右的初速度，之后与包裹发生了弹性正碰，碰撞时间极短，最终包裹刚好到达运输平板的右端，已知包裹、的质量均为，运输平板的质量为，且包裹、与运输平板c表面之间动摩擦因数均为，重力加速度为。下列关于包裹和运输平板运动情况的说法，正确的是（　　） A．与碰撞前，与保持相对静止 B．与碰撞后，与都相对滑动 C．的初速度 D．若物块初始位置离木板右端近一些，重复上述过程，将滑离木板 【答案】AC 【详解】A．包裹滑上后相对滑动过程中，假设相对静止，由牛顿第二定律，对、整体有 对有 解得 即与间的静摩擦力小于最大静摩擦力，则相对保持静止，、一起加速运动，故A正确； B．设、碰撞前瞬间的速度分别为、，、发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得， 即碰撞后、两者交换速度，相对滑动，由A可知，、相对静止一起运动，故B错误； C．刚好滑到的右端与相对静止，、、共速，设共同速度为 、、组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 其中 解得，故C正确； D．若包裹初始位置离平板右端近一些，重复上述过程，全程动量守恒的表达式和能量守恒的表达式不变，故仍刚好到的右端，故D错误。 故选AC。 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该系统静置于光滑的水平地面上。已知滑块B的质量、滑块C的质量。现有一质量的滑块A从光滑曲面上离地面h处由静止开始滑下，光滑曲面与水平地面相切，滑块A与B发生正撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动。经一段时间，滑块C脱离弹簧。已知滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小为v1=3m/s，重力加速度取，求： (1)滑块A的初始高度h； (2)弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能； (3)滑块C最终的速度大小。 【答案】(1)0.8m (2)6J (3)4m/s 【详解】（1）滑块A从光滑曲面上h高处由静止开始滑下的过程，机械能守恒，设其滑到底面的速度为，由机械能守恒定律有 滑块A与B碰撞的过程，A、B系统的动量守恒，碰撞结束瞬间具有共同速度设为，由动量守恒定律有 联立解得 （2）滑块A、B、C速度相等（设速度为）时，被压缩的弹簧弹性势能最大，系统动量守恒定律，有 解得，方向水平向右 弹簧被压缩的过程中，系统机械能守恒，有 解得 （3）被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离弹簧，此时滑块C速度达到最大，不再改变，设此时滑块A、B的速度为，滑块C的速度为，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律，有 联立以上方程解得、或、（初始值，舍去），故滑块C能获得的最终速度大小为4m/s。 11．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图所示，光滑水平轨道OA的右端拴连一轻质弹簧，左端与等高的长的水平传送带AB相接，传送带B端与竖直固定的半径的光滑半圆形轨道最高点相近，半圆轨道最低点C与放置于光滑水平面上质量、长度为l的薄木板等高。弹簧压缩后被锁定，弹性势能为。质量的小滑块置于弹簧左端（不连接），它与传送带和长木板间的动摩擦因数分别为和，传送带能以不同的速率逆时针匀速转动（如图所示）。传送带静止时，解除弹簧上的约束，物块获得速度滑上传送带，到达B端时速度为，从B端滑入半圆形轨道且恰能沿轨道内表面运动到C点。重力加速度大小取，求： (1)到达B端速度的大小及弹簧势能； (2)传送带静止时解除弹簧上的约束，物块最终与M相对静止的速度大小； (3)保持弹簧势能不变，调节传送带速率v，要使物块始终不会滑出木板，木板的最小长度。 【答案】(1)； (2) (3)4.5m 【详解】（1）物体在光滑半圆轨道恰好做圆周运动，则 解得 物块被弹簧弹出，机械能守恒，即 物体在传送带上运动，由动能定理得 解得 （2）物块从B到C，根据动能定理有 物块与木板共同速度为，根据动量守恒定律有 解得 （3）调节传送带速率v，当物块从A到B一直加速到B点速度最大，则 解得 设物块运动到C点速度为，物块从B到C，根据动能定理有 物块最后与木板一起运动的速度为，根据动量守恒定律有 解得 要使物块不滑出木板，木板的最小长度满足 解得 12．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，质量为1kg的木板静置于光滑水平地面上，半径为0.9m的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端切线水平与木板上表面平齐，轨道上端点P和圆心连线与水平面成已知角θ，。质量为2kg的可视为质点的小物块A以8m/s的初速度从木板上某一位置Q（图上未画出，Q点左侧板足够长）开始水平向右滑行，A与木板间的动摩擦因数为0.2。当A到达木板右端时，木板恰好与轨道底端发生第一次碰撞，同时A沿圆弧切线方向滑上轨道，并恰好沿轨道运动到上端点P抛出。已知g取，木板与轨道底端碰撞时无能量损失。 (1)求物块A离开轨道后距P点的最大高度； (2)求Q点到木板右端的距离； (3)改变Q点在木板上的位置，移动木板使Q点到轨道底端的距离不变，使A以8m/s的初速度从Q点开始水平向右滑行，仍能在A到达木板右端时，木板恰好与轨道底端碰撞，且A沿圆弧切线方向滑上轨道，并恰好沿轨道运动到上端点P，求Q点到木板右端的距离满足的条件和对应的整个过程中A与木板之间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3…），（n=1，2，3…） 【详解】（1）物块A恰好到达圆弧轨道P点时，根据牛顿第二定律有 根据速度分解有 物块A距离P点最大高度 （2）设木板与轨道底端碰撞前，物块和木板的速度分别为和，Q点到木板右端的距离为。物块A从轨道最低点到点过程有 根据动量守恒定律有 根据功能关系有 联立解得，， （3）对A进行分析有 对木板进行分析有 木板位置改变前，右端到轨道底端的距离 解得 Q点到轨道底端的距离 位置改变后，使A仍能沿轨道恰好运动到上端点，则A运动过程不变，仍一直匀减速运动，历时 解得 木板与轨道底端发生次碰撞。木板从开始运动到第一次与轨道底端碰撞的时间（n=1，2，3…） 木板B经历的位移 木板B的速度 令Q点到木板右端的距离，则有 解得（n=1，2，3…） 根据能量守恒定律得 解得（n=1，2，3…） 13．（2025·陕西西安·一模）小华和同学玩如图所示的闯关游戏。轻绳上端固定于O处，装有沙的甲车静止于光滑水平面上的C处，质量的小华腰系轻绳从A处由静止开始摆下，长，摆到最低点B时绳子恰好断裂，B在水平面上方处，小华正好落入甲车中，小华瞬间和甲车获得共同速度，而且之后小华和甲车始终速度相同，然后甲车碰撞D处的乙车滑上粗糙水平面，将乙车撞离平台，而甲车恰停在E处。已知间距离，两车与平面间动摩擦因数均为，小华与甲车总质量等于乙车质量，且均可看成质点，碰撞中系统损失的动能等于碰前瞬间总动能的，重力加速度g取，求： (1)甲乙两车碰后瞬间，甲车的速度，小华落入甲车后与甲车的共同速度； (2)的水平距离，小华落入甲车前的速度大小； (3)绳子能承受的最大拉力F的大小，由静止开始摆下前，绳子与竖直方向的夹角θ。 【答案】(1)0.8m/s，3.2m/s (2)1.2m，5m/s (3)800N，60° 【详解】（1）设甲车及人总质量为M，甲车从D恰好滑至E过程有①   得② 甲与乙碰撞过程系统动量守恒，动能损失为碰前动能的，有③ ④ 联立②③④解得（此解求出，依题意，排除此解），或（取此解） （2）设小华在B点的速度为，小华与甲车相互作用瞬间系统水平方向动量守恒，则   得 小华从B至C做平抛运动因此 ， 此过程机械能守恒有    解得， （3）在B点由牛顿第二定律 从A到B，由动能定理有 联立两式解得  ， 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示，有一斜面与圆弧面组成的轨道固定在光滑水平面上．在竖直平面内，粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧面BCD相切于B点，C为最低点，D为圆心等高点．一小物块从A处静止释放，已知小物块质量m=3kg，轨道质量M=4kg，斜面长L=5m，倾角，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧轨道半径R=5m，重力加速度g=10m/s2． (1)求小物块在AB面上的加速度大小a； (2)求小物块第一次到达B点的速度大小vB和在斜面AB上运动的总路程s； (3)若轨道不固定且斜面AB也光滑，求小物块从A处由静止释放到第一次滑到C处的位移大小d和小物块第一次滑到C处时受到的支持力大小F． 【答案】(1)a=2m/s2 (2)vB=m/s；7.5m (3)m；F=114N 【详解】（1）小物块在AB面上下滑时由牛顿第二定律                解得a=2m/s2 （2）小物块第一次运动到B时，由 得vB=m/s 由于，小物块在圆弧面上往复运动，最终到达B点时速度为零，即，则全程A→B由能量守恒可得 解得 （3）A→C，小物块与轨道组成“人船模型”，水平动量守恒，设小物块水平位移大小x1，轨道水平位移大小为x2，则mx1=Mx2     AC间水平距离     则=4m 小物块竖直位移大小 小物块位移大小 设小物块运动到C处，小物块的速率v1，轨道的速率v2，A→C 水平动量守恒，则有mv1=Mv2 A→C 能量守恒，则 C处，对小物块 其中 联立解得F=114N 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，长度的水平传送带静止。质量的小木箱静止在传送带的左端A点，传送带的右端B与光滑水平面BO平滑连接。水平面自O点向右粗糙。以O为坐标原点，向右为正方向建立x轴，在、2m、3m……的位置依次静止放置质量均为M的小物块（可视为质点），自左至右物块编号为1，2，3，…。传送带启动后以加速度匀加速顺时针转动，小木箱与传送带间的动摩擦因数，小木箱、物块与水平面粗糙部分之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块之间碰撞时间极短，且均为完全非弹性碰撞，重力加速度g取10m/s2。 (1)当m/s2时，求木箱在传送带上运动的时间及离开传送带时的速度大小； (2)当m/s2时，求木箱与传送带间因摩擦产生的热量及木箱与第1个物块碰后的速度大小； (3)改变传送带的加速度，求木箱停止运动时距离坐标原点的最大距离。 【答案】(1)2s；2m/s (2)4J； (3)4.4m 【详解】（1）木箱所受滑动摩擦力 对木箱，根据牛顿第二定律有 解得木箱的最大加速度 当传送带加速度时 故木箱始终相对传送带静止，在传送带上以加速度做匀加速运动 根据位移时间公式有 解得 离开传送带时速度大小 （2）当传送带加速度大小时 故木箱相对传送带滑动对木箱，根据位移时间公式有 解得 木箱离开传送带时的速度大小 木箱离开传送带时传送带位移 传送带相对木箱的位移 木箱在传送带上运动过程中，摩擦产生的热量 木箱离开传送带后沿光滑水平面匀速运动至O点，进入粗糙面后滑行1m，滑行过程加速度大小 根据速度位移公式有 解得 小木箱与第一个木块碰撞过程，根据动量守恒有 解得 （3）设木箱与第k个物块碰撞后一起运动，不再与个物块发生碰撞，设木箱与k个物块碰撞后速度为，则应满足 解得 当传送带加速度大于2m/s2时，木箱离开传送带时的速度最大，为 设与物块1碰前速度为，根据运动学公式，则有 木箱与物块碰撞动量守恒，设碰后速度为，根据动量守恒有 解得 可得 设与物块2碰前速度为，根据运动学公式，则有 木箱与物块碰撞动量守恒，设碰后速度为，根据动量守恒有 解得， 设与物块3碰前速度为，根据运动学公式，则有 木箱与物块碰撞动量守恒，设碰后速度为，根据动量守恒有 解得， 同理 因为k为整数，所以 当时， 与第4个小物块碰撞后，继续滑行距离 综上木箱静止时距离坐标原点的最大距离 16．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图所示，固定点O处悬挂长为L的轻质细绳，细绳的末端拴接一个质量为2m的小球。光滑水平地面上有n个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、n.现将细线水平拉直，静止释放小球，当小球摆到最低点时刚好与小滑块1发生弹性碰撞。已知滑块间的每次碰撞时间极短，重力加速度大小为g。 (1)求小球与1号小滑块碰前瞬间细绳的拉力大小； (2)若所有滑块间的碰撞是弹性碰撞，求小滑块n被碰后速度大小； (3)若所有滑块间的碰撞是完全非弹性碰撞，求因碰撞损失的机械能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球下摆过程：由机械能守恒得 碰前瞬间小球所需向心力由拉力和重力的合力提供 联立解得 （2）小球与滑块1发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒，得， 联立解得， 滑块1、2发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒，得， 联立解得， 质量相等的滑块发生弹性碰撞后，二者交换速度，可知小滑块n被碰后速度大小为 （3）所有滑块都发生完全非弹性碰撞，整个碰撞过程中动量守恒，有 整个过程中损失的机械能为 联立解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 碰撞模型及拓展 核心考点 考点梳理1 碰撞模型 1 母题考点一 碰撞模型 2 考点梳理2 “滑块—弹簧” 2 母题考点二 “滑块—弹簧” 3 考点梳理3 “滑块—曲面(斜面)”模型 3 母题考点三 “滑块—曲面(斜面)”模型 4 考点梳理4 “子弹打木块”模型 4 母题考点四 “子弹打木块”模型 5 考点梳理5 “滑块—滑板”模型 5 母题考点五 “滑块—滑板”模型 6 考点梳理1 碰撞模型 1．碰撞现象遵循的三条原则 (1)动量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2。 (2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥E′k1＋E′k2 或。 (3)速度要合理 ①若碰前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v′前≥v′后。 ②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 2．弹性碰撞的重要结论 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2、速度为v2的小球发生弹性碰撞为例，则有 动量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2 机械能守恒：＝ 联立解得v′1＝ v′2＝ 结论1：当m1＝m2时：v′1＝v2，v′2＝v1，即m1、m2碰撞后交换速度。 结论2：若v2＝0，即简化为“一动一静”模型，v′1＝v1，v′2＝v1。 3．完全非弹性碰撞的特征 (1)撞后共速。 (2)有动能损失，且损失最多，|ΔEk|＝。 母题考点一 碰撞模型 【母题1】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 举一反三 【练1】（2025·陕西西安·一模）最近“一颗编号为2024YR4直径在40米至90米之间的小行星可能在8年后撞击地球”的消息引起热议。我国已掌握动能撞击术来规避这个风险，如图所示，若用与小行星质量m、速率v相同的自主导航航天器去横向与小行星发生弹性碰撞，小行星被撞后瞬间速度变为，速度偏离原来的方向θ角度，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【练2】（2025·陕西渭南·模拟预测）如图甲所示，一可看作质点的物块位于底面光滑的木板的最左端，和以相同的速度在水平地面上向左运动。时刻，与静止的长木板发生弹性碰撞，且碰撞时间极短，厚度相同，平滑地滑到的右端，此后的图像如图乙所示，时刻，与左侧的墙壁发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后的速度大小不变，方向相反；运动过程中，始终未离开。已知与的质量，重力加速度大小。求： (1)与间的动摩擦因数以及与地面间的动摩擦因数。 (2)和第一次碰撞后的速度大小。 【练3】（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，两个完全相同的弹性小球A和B（均可看作质点），分别挂在长和L的细线上，重心在同一水平面上、且小球恰好互相接触，把小球A向左拉开一个较小角度（小于5°）后由静止释放，经过多长时间两球发生第2次碰撞（碰撞均为弹性碰撞）（　　） A． B． C． D． 考点梳理2 “滑块—弹簧” 1．模型图示 2．两个规律 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 3．两个状态 (1)弹簧最短(或最长)时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大 ①系统动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v共； ②系统机械能守恒：m1v＝(m1＋m2)v＋Epm。 (2)弹簧处于原长时弹性势能为零 ①系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2； ②系统机械能守恒：m1v＝m1v＋m2v。 母题考点二 “滑块—弹簧” 【母题2】（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 举一反三 【练1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图甲所示。物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在t＝0时刻以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块C的质量为2kg B．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为72J C．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为24N·s D．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为18J 【练2】（2025·江苏苏州·三模）如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图乙所示，物体A以的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则（　　） A．此过程中，A物体均做加速度越来越大的减速运动，直至速度为零 B．物体A的质量为2m C．弹簧压缩量最大时，两种情况下弹簧对A物体的冲量大小之比为3∶2 D．弹簧压缩量最大时的弹性势能为 【练3】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，在光滑的水平桌面上，原长为、劲度系数为的轻弹簧两端各连接一个物块，按住物块，向左拉物块，在弹簧长度为时由静止释放物块，当弹簧恢复原长时释放物块。已知两物块的质量均为，弹簧的形变量为时的弹性势能为。下列说法正确的是（　　） A．刚释放物块时，物块的速度为 B．最终两物块以相同的速度匀速运动 C．两物块之间的最小距离为 D．物块的最大速度为 考点梳理3 “滑块—曲面(斜面)”模型 1．模型图示 2．模型特点 (1)上升到最大高度(未离开弧面或从弧面上端离开弧面)：滑块m与斜(曲)面M具有共同水平速度v共，此时滑块m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒＝＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m的重力势能)。 (2)返回最低点：滑块m与斜(曲)面M分离点。系统水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒＝(相当于弹性碰撞)。 母题考点三 “滑块—曲面(斜面)”模型 【母题3】（2023·湖南·高考真题）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直．质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用及表示）。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正 小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒 联立解得 因水平方向在任何时候都动量守恒即 两边同时乘t可得 且由几何关系可知 联立得 （2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为 整理得 （） （3）将代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以为圆心，b为半径的圆，则当小球下降的高度为时有如图       此时可知速度和水平方向的夹角为，小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立得 举一反三 【练1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图所示，竖直平面内有一质量为M＝0.3kg，半径为R＝1.5m，圆心为O的四分之一圆弧轨道静止放置在光滑水平地面上，轨道最高点A与圆心O等高，最低点B在O点正下方且刚好和地面相切。将质量为m＝0.1kg的滑块从轨道最高点A由静止释放，测得滑块从B点离开轨道时，滑块的速度大小为3m/s，取，则滑块沿轨道从A滑到B的过程中，摩擦产生的热量为（　　） A．0.9J B．0.45J C．0.6J D．1.05J 【练2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，水平面上放置着半径为、圆心角为的圆弧轨道，一个可视为质点的小球以初速度冲上圆弧轨道。已知圆弧轨道质量，小球质量，重力加速度大小为，不计一切摩擦和空气阻力，小球从圆弧轨道飞出时，速度方向恰好跟水平方向成角，求： (1)圆弧的半径； (2)小球飞出圆弧轨道时，小球和圆弧轨道的速度； (3)若小球从圆弧轨道飞出时，圆弧向右运动的距离为，小球在轨道上运动时间。 【练3】（2025·广西百色·模拟预测）如图甲所示，一质量为M的小车静止在光滑水平地面上，其左端P点与平台平滑连接。小车上表面PQ是以O为圆心、半径为R的四分之一圆弧轨道。质量为m的光滑小球，以某一水平速度冲上小车的圆弧面。若测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为v1、v2，画出图像如图乙所示。已知OP竖直，OQ水平，水平台面高，小球可视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦。求： (1)小球运动过程中离平台的最大高度为多少？ (2)小球在Q点速度方向与水平方向夹角的正切值为多少？ 考点梳理4 “子弹打木块”模型 1．模型图示 2．模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3．两种情境 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(m＋M)v； 能量守恒：Q＝Ff·s＝－(M＋m)v2。 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 能量守恒：Q＝Ff·d＝。 母题考点四 “子弹打木块”模型 【母题4】（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 【答案】AD 【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为，则有 子弹和木块相互作用过程中合力都为，因此子弹和物块的加速度分别为 由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为 联立上式可得 因此木块的速度最大即取极值即可，该函数在到无穷单调递减，因此当木块的速度最大，A正确； B．则子弹穿过木块时木块的速度为 由运动学公式 可得 故B错误； C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即 故C错误； D．木块加速过程运动的距离为 故D正确。 故选AD。 举一反三 【练1】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图所示，在光滑水平面上静止放置一木块，一子弹水平射入木块并穿出。已知子弹在木块内运动过程中受到的阻力大小不变，子弹的质量小于木块的质量，则子弹从木块穿出后（　　） A．系统产生的热量一定等于木块的动能 B．系统产生的热量一定小于木块的动能 C．系统产生的热量一定等于木块动能的2倍 D．系统产生的热量一定大于木块动能的2倍 【练2】（2025·河北·一模）如图所示，水平传送带AB长L=2.9m，质量为M=1kg的木块随传送带一起以v=2m/s的速度向右匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数当木块运动至最右端A点时，一颗子弹以水平向左的速度正对射入木块并穿出，穿出速度木块被子弹击穿时的速度大小v'=3.0m/s，设子弹射穿木块的时间极短，且不计木块质量变化，重力加速度大小求： (1)子弹的质量； (2)木块在被子弹击穿后向左运动距B点的最小距离； (3)从子弹射中木块到木块相对传送带静止的过程中，子弹、木块和传送带这一系统由于摩擦产生的内能。 【练3】（2025·山西·三模）如图1所示，甲、乙两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接放置在光滑的水平面上，乙的质量为3m，现让质量为m的子弹以水平向右的速度射向甲并最终停留在甲中（时间极短），此过程子弹与甲间的摩擦生热为，从以上过程结束瞬间开始计时，此后甲、乙运动的速度与时间的关系图像如图2所示，已知图中阴影部分的面积为，已知弹簧的弹性势能与弹簧的形变量x以及劲度系数k之间的关系为，规定水平向右为正方向，求： (1)甲的质量以及在开始计时前的过程中甲对子弹的摩擦力对子弹做的功； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)弹簧的劲度系数。 考点梳理5 “滑块—滑板”模型 1．模型图示 2．模型特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 (2)若滑块未从滑板上滑下，当两者速度相同时，滑板速度最大，相对位移最大。 3．求解方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。 (2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。 (3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律求解，Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统。 母题考点五 “滑块—滑板”模型 【母题5】（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m 【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有 第一次经过C点的向心加速度大小为 ②小物块a在DE上时，因为 所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有 解得 ③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为 将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有 解得 （2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有 解得 设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 举一反三 【练1】（2025·浙江杭州·一模）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，质量分别为。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。A、B间动摩擦因数为0.5，则下列判断错误的是（　　） A．A与C碰撞后的瞬间A的速度大小是2m/s B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15J C．碰撞后到三者相对静止，B相对长板滑动的距离为0.6m D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4s 【练2】（2025·四川巴中·模拟预测）如图甲所示，质量为的轨道静止在光滑水平面上，轨道左侧部分水平且上表面粗糙，右侧部分为光滑圆弧，两部分在点平滑连接，为轨道的最高点。质量为的小物块静置在轨道左端，与水平轨道间的动摩擦因数为，给物块施加水平向右的推力，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度与对应关系如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道水平部分长度，圆弧部分的半径，重力加速度大小取，则（　　） A．动摩擦因数为 B．小物块质量 C．若对物块施加水平向右的推力，当小物块到点时撤去，则物块不能从Q点冲出轨道 D．若对物块施加水平向右的推力，当小物块到点时撤去，则物块最终能从轨道左端离开 【练3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图所示，倾角为θ的光滑斜面体固定在水平面上，斜面底端固定一挡板。三个相同的小物块A、B、C质量均为m，小物块A紧靠挡板放置，小物块A和小物块B通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，开始时A、B均静止。现让小物块C从斜面上由静止释放，小物块B、C碰后一起向下运动，当B、C再次分离后撤去小物块C。当小物块B沿斜面向上运动到最高点时，小物块A与挡板之间的作用力恰好为零。已知弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度为g，碰撞时间极短。则（　　） A．小物块B、C碰后一起向下运动过程中，二者组成的系统机械能守恒 B．小物块B运动到最高点时，弹簧的弹性势能为 C．小物块B、C分离时，B的速度大小为 D．小物块C开始下落时与小物块B之间的距离为 模拟演练 1．（2025·辽宁大连·三模）如图所示，倾角为θ的光滑斜面，沿斜面放置的轻弹簧一端固定在斜面底端，另一端连接物体A，静止时，弹簧被压缩了l，质量与A相同的物体B从弹簧原长位置由静止释放，A与B发生完全非弹性碰撞（粘连），碰撞时间极短，A、B视为质点，重力加速度为g，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），则下列说法正确的是（　　） A．碰后瞬间两物体的速度大小为 B．碰后两物体运动过程中一定机械能守恒 C．碰后两物体一起向下运动的最大位移为3l D．两物体反弹向上运动，最大高度能到达B的释放点上方 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图甲，竖直挡板固定在光滑水平面上，质量为M的光滑半圆形弯槽静止在水平面上并紧靠挡板，质量为m的小球从半圆形弯槽左端静止释放，小球速度的水平分量和弯槽的速度与时间的关系如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球释放后，小球与弯槽系统动量守恒 B．t2时小球到达位置等于释放时的高度 C．由图可知m大于M D．图中阴影面积S2<2S1 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）光滑水平桌面上放置两个质量均为的小球、，用轻弹簧连接，小球紧靠挡板，如图所示，初始时弹簧处于原长。小球以水平向左运动并压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，在小球开始向左运动到弹簧第二次恢复原长的过程中，下列说法正确的是（　　） A．、及弹簧组成的系统机械能和动量均守恒 B．挡板对小球做的功为 C．挡板对小球的冲量大小为 D．小球离开挡板后，系统弹性势能最大值为 4．（2025·河南·模拟预测）如图所示，物体与光滑半圆弧槽静止在光滑水平面上，槽底端放有小球。现给一个水平向右的初速度，与发生弹性碰撞（碰撞时间极短），小球能脱离圆弧槽向上运动，已知、、质量相等，不计空气阻力，则（　　） A．与碰撞后，的速度向左 B．球脱离圆弧槽后，将不会再掉落在槽内 C．球第一次回到槽内最低点时，槽的速度为零 D．圆弧槽在水平地面上做往复运动 5．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，足够长的竖直光滑管内有一劲度系数为的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为的小球接触但不相连，小球静止时所在位置为O。另一质量为的小球从距离O点的点由静止开始下落，与发生瞬间碰撞后粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，已知，弹簧形变量为时弹性势能为，弹簧振子做简谐运动的周期为，重力加速度为。求（    ）    A．B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小为 B．与碰撞后瞬间一起向下运动的加速度大小为 C．小球A被碰后向下运动，离点的最大距离为 D．小球从开始向下运动到第一次运动到最高点所用的时间为 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图长为、与水平方向成夹角的倾斜传送带以速度沿顺时针方向匀速转动。质量的小物块A在沿传送带向上的恒定拉力作用下沿传送带由静止开始向上运动。已知A与传送带间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，重力加速度，A沿传送带上滑到顶点之后从传送带冲出，当小物块A到达最高点后与水平面上的质量的B发生完全非弹性碰撞，A、B与水平面的动摩擦因数相同且都为，下列说法中正确的是（　　） A．A在传送带上滑动时可以一直加速上滑 B．A在传送带上运动的时间为s C．A开始运动到A、B发生完全非弹性碰撞后A的整个运动时间为4.1s D．整个过程中A的位移18.8m 7．（2025·福建·模拟预测）如图（a）所示，一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连。已知有一质量为m0的子弹B以水平速度v0射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动。在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t变化关系如图（b）所示，已知子弹射入的时间极短，且图（b）中t=0为A、B开始以相同的速度运动的时刻。下列说法正确的是（　　） A．A、B一起在竖直面内做周期T=t0的周期性运动 B．A的质量大小为 C．子弹射入木块过程中所受冲量大小为 D．轻绳的长度为 8．（2025·河北·三模）如图，弹簧左端固定，将圆管弯成圆弧轨道分别与水平轨道相切于M、N点，质量为M=4kg的小球B静止在水平轨道上，将质量为m=2kg的小球A压缩弹簧后由静止释放，小球能从M点进入圆弧轨道，通过轨道的最高点P时恰好与圆管无弹力作用，之后从N点返回水平轨道，水平轨道足够长，两球间的碰撞为弹性碰撞，已知两球的大小相同且半径很小，圆弧轨道半径R=0.1m，不计一切摩擦和空气阻力，g取10m/s²。则（　　） A．释放小球 A 时弹簧内储存的弹性势能为10J B．两小球第一次碰撞后速度大小之比为1：2 C．A小球再次返回轨道运动时与内轨道无弹力 D．两小球至多能发生2次碰撞 9．（2025·安徽·模拟预测）在未来的智能物流运输系统中，有一个在光滑轨道上可自由滑动的大型运输平板，其长度为，初始时处于静止状态。工作人员将包裹和包裹放置在运输平板上，包裹位于平板的左端，包裹则在平板的正中间。为了使包裹移动起来，智能推送装置瞬间给包裹一个向右的初速度，之后与包裹发生了弹性正碰，碰撞时间极短，最终包裹刚好到达运输平板的右端，已知包裹、的质量均为，运输平板的质量为，且包裹、与运输平板c表面之间动摩擦因数均为，重力加速度为。下列关于包裹和运输平板运动情况的说法，正确的是（　　） A．与碰撞前，与保持相对静止 B．与碰撞后，与都相对滑动 C．的初速度 D．若物块初始位置离木板右端近一些，重复上述过程，将滑离木板 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该系统静置于光滑的水平地面上。已知滑块B的质量、滑块C的质量。现有一质量的滑块A从光滑曲面上离地面h处由静止开始滑下，光滑曲面与水平地面相切，滑块A与B发生正撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动。经一段时间，滑块C脱离弹簧。已知滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小为v1=3m/s，重力加速度取，求： (1)滑块A的初始高度h； (2)弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能； (3)滑块C最终的速度大小。 11．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图所示，光滑水平轨道OA的右端拴连一轻质弹簧，左端与等高的长的水平传送带AB相接，传送带B端与竖直固定的半径的光滑半圆形轨道最高点相近，半圆轨道最低点C与放置于光滑水平面上质量、长度为l的薄木板等高。弹簧压缩后被锁定，弹性势能为。质量的小滑块置于弹簧左端（不连接），它与传送带和长木板间的动摩擦因数分别为和，传送带能以不同的速率逆时针匀速转动（如图所示）。传送带静止时，解除弹簧上的约束，物块获得速度滑上传送带，到达B端时速度为，从B端滑入半圆形轨道且恰能沿轨道内表面运动到C点。重力加速度大小取，求： (1)到达B端速度的大小及弹簧势能； (2)传送带静止时解除弹簧上的约束，物块最终与M相对静止的速度大小； (3)保持弹簧势能不变，调节传送带速率v，要使物块始终不会滑出木板，木板的最小长度。 12．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，质量为1kg的木板静置于光滑水平地面上，半径为0.9m的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端切线水平与木板上表面平齐，轨道上端点P和圆心连线与水平面成已知角θ，。质量为2kg的可视为质点的小物块A以8m/s的初速度从木板上某一位置Q（图上未画出，Q点左侧板足够长）开始水平向右滑行，A与木板间的动摩擦因数为0.2。当A到达木板右端时，木板恰好与轨道底端发生第一次碰撞，同时A沿圆弧切线方向滑上轨道，并恰好沿轨道运动到上端点P抛出。已知g取，木板与轨道底端碰撞时无能量损失。 (1)求物块A离开轨道后距P点的最大高度； (2)求Q点到木板右端的距离； (3)改变Q点在木板上的位置，移动木板使Q点到轨道底端的距离不变，使A以8m/s的初速度从Q点开始水平向右滑行，仍能在A到达木板右端时，木板恰好与轨道底端碰撞，且A沿圆弧切线方向滑上轨道，并恰好沿轨道运动到上端点P，求Q点到木板右端的距离满足的条件和对应的整个过程中A与木板之间因摩擦产生的热量。 13．（2025·陕西西安·一模）小华和同学玩如图所示的闯关游戏。轻绳上端固定于O处，装有沙的甲车静止于光滑水平面上的C处，质量的小华腰系轻绳从A处由静止开始摆下，长，摆到最低点B时绳子恰好断裂，B在水平面上方处，小华正好落入甲车中，小华瞬间和甲车获得共同速度，而且之后小华和甲车始终速度相同，然后甲车碰撞D处的乙车滑上粗糙水平面，将乙车撞离平台，而甲车恰停在E处。已知间距离，两车与平面间动摩擦因数均为，小华与甲车总质量等于乙车质量，且均可看成质点，碰撞中系统损失的动能等于碰前瞬间总动能的，重力加速度g取，求： (1)甲乙两车碰后瞬间，甲车的速度，小华落入甲车后与甲车的共同速度； (2)的水平距离，小华落入甲车前的速度大小； (3)绳子能承受的最大拉力F的大小，由静止开始摆下前，绳子与竖直方向的夹角θ。 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图所示，有一斜面与圆弧面组成的轨道固定在光滑水平面上．在竖直平面内，粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧面BCD相切于B点，C为最低点，D为圆心等高点．一小物块从A处静止释放，已知小物块质量m=3kg，轨道质量M=4kg，斜面长L=5m，倾角，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧轨道半径R=5m，重力加速度g=10m/s2． (1)求小物块在AB面上的加速度大小a； (2)求小物块第一次到达B点的速度大小vB和在斜面AB上运动的总路程s； (3)若轨道不固定且斜面AB也光滑，求小物块从A处由静止释放到第一次滑到C处的位移大小d和小物块第一次滑到C处时受到的支持力大小F． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，长度的水平传送带静止。质量的小木箱静止在传送带的左端A点，传送带的右端B与光滑水平面BO平滑连接。水平面自O点向右粗糙。以O为坐标原点，向右为正方向建立x轴，在、2m、3m……的位置依次静止放置质量均为M的小物块（可视为质点），自左至右物块编号为1，2，3，…。传送带启动后以加速度匀加速顺时针转动，小木箱与传送带间的动摩擦因数，小木箱、物块与水平面粗糙部分之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块之间碰撞时间极短，且均为完全非弹性碰撞，重力加速度g取10m/s2。 (1)当m/s2时，求木箱在传送带上运动的时间及离开传送带时的速度大小； (2)当m/s2时，求木箱与传送带间因摩擦产生的热量及木箱与第1个物块碰后的速度大小； (3)改变传送带的加速度，求木箱停止运动时距离坐标原点的最大距离。 16．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图所示，固定点O处悬挂长为L的轻质细绳，细绳的末端拴接一个质量为2m的小球。光滑水平地面上有n个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、n.现将细线水平拉直，静止释放小球，当小球摆到最低点时刚好与小滑块1发生弹性碰撞。已知滑块间的每次碰撞时间极短，重力加速度大小为g。 (1)求小球与1号小滑块碰前瞬间细绳的拉力大小； (2)若所有滑块间的碰撞是弹性碰撞，求小滑块n被碰后速度大小； (3)若所有滑块间的碰撞是完全非弹性碰撞，求因碰撞损失的机械能。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $