第二章 2.1 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程、定义应用及实际应用，通过《悲伤的双曲线》歌曲导入结合拉链实验，类比椭圆定义引导学生发现轨迹，构建前后知识脉络的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光（实验观察轨迹形成）、数学思维（类比椭圆推导标准方程）、数学语言（如神舟救援等实际问题建模），采用实验探究与类比迁移法，小结清晰，助学生提升探究与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第二章 <<< 2.1　双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题. 学习目标 同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生. 导 语 一、双曲线的定义 二、求双曲线的标准方程 课时对点练 三、双曲线定义的应用 随堂演练 内容索引 四、双曲线在生活中的应用 双曲线的定义 一 提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是 椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应 用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一 个常数”这个条件. 把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？ 问题1 提示　不是，是以F1，F2为端点的两条射线. 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？ 问题2 平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 .这两个定点F1，F2叫作双曲线的 ，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 知识梳理 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 注 意 点 <<< 9 已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为 A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线的一支或一条直线 D.双曲线的一支或一条射线 例 1 √ 10 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 11 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 反 思 感 悟 12 由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得 ||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4， 所以0<a<4. 在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是 A.(0,4) B.(0,4] C.(4，＋∞) D.(0,4)∪(4，＋∞) 跟踪训练 1 √ 13 二 求双曲线的标准方程 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)， 焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 问题3 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①， 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2， 设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 问题4 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     双曲线的标准方程 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ___________________ ____________________ 焦点 _________________ ___________________ a，b，c的关系 b2＝______ F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2－a2 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上. 记忆口决：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 注 意 点 <<< 20 求分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)已知双曲线的焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2； 例 2 由题意知c＝4，a＝1，故b2＝15， 21 由题意得，双曲线的焦点在x轴上， 解得a2＝3，b2＝5. 22 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. 因为点P，Q在双曲线上， 23 反 思 感 悟 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解. (2)当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线.设此种形式求双曲线方程可避免讨论焦点位置. 求双曲线的标准方程 解得a2＝1或a2＝16(舍)， 从而b2＝4－a2＝3， (1)焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方 程为____________. 跟踪训练 2 25 将点(4，－2)和(2，2)代入方程得 (2)焦点在x轴上，且经过点P(4，－2)和点 的双曲线的标准 方程为___________. 26 双曲线定义的应用 三 (1)已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线 ＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为 A.9 B.2 ＋6 C.10 D.12 例 3 √ 28 设圆(x－1)2＋(y－4)2＝1的圆心为点C(1,4)，半径r＝1，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A′为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a ＝|PA′|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋ |PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10. 29 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， (2)已知双曲线 ＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 30 反 思 感 悟 双曲线中的焦点三角形 双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 设F1，F2分别是双曲线 ＝1的上、下焦点，P是该双曲 线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于 跟踪训练 3 √ 32 又3|PF1|＝5|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝6， 所以|PF1|2－|PF2|2＝64＝(2c)2＝|F1F2|2， 即△PF1F2为直角三角形， 33 双曲线在生活中的应用 四 神舟飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角. 例 4 35 设A，B，C分别表示三个救援中心，P表示航天员着陆点，如图所示， 以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， ∵|PB|＝|PC|， ∴点P在线段BC的垂直平分线上， 36 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 且a＝2，c＝3， 37 反 思 感 悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的 距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是_______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km. 跟踪训练 4 39 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. 则|DA|－|DB|＝2， 根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 当A，M，C三点共线时等号成立. 40 1.知识清单： (1)双曲线定义. (2)双曲线方程的求法. (3)双曲线在实际生活中的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错. 课堂小结 随堂演练 五 1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是 A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 √ 由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|， 根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线. 1 2 3 4 ∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)＞0. ∴－2＜m＜2. 1 2 3 4 2.方程 ＝1表示双曲线，则m的取值范围是 A.－2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2 √ 3.双曲线 ＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 A.1或21 B.14或36 C.2 D.21 √ 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11， 根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10， ∴|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1<c－a＝7－5＝2， ∴舍去|PF2|＝1， ∴点P到另一个焦点的距离为21. 1 2 3 4 1 2 3 4 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11， 根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10， ∴|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1<c－a＝7－5＝2， ∴舍去|PF2|＝1， ∴点P到另一个焦点的距离为21. 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 六 1.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4 C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线. √ 3.双曲线2x2－y2＝8的焦距是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点P可能在左支，也可能在右支， 4.(多选)双曲线 ＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦 点的距离为 A.17 B.7 C.22 D.2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由||PF1|－|PF2||＝2a＝10， 得|12－|PF2||＝10， ∴|PF2|为22或2. ∴点P到另一个焦点的距离是22或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1 的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为 A.4a B.4a－m C.4a＋2m D.4a－2m √ 不妨设|AF2|>|AF1|， 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a， 于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为 A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设震中为P，依题意有|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支， 因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号， 所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B站的距离至少为8 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)， 则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1， 7.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4 ，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线 互相垂直，则此双曲线的标准方程为__________. 又∵c2＝a2＋b2＝25， ∴a2＝16，b2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为 设点P(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝ ，求以M， N为焦点，且过点P的双曲线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示. 由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，若F1，F2是双曲线 ＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a＝3，b＝4，c＝5， 设点M到另一个焦点的距离为m， 由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6， 解得m＝10或m＝22， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6， 则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36， 代入|PF1|·|PF2|＝32， 可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100， 即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100， 所以△F1PF2为直角三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知点P在曲线C1： ＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝ 1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 综合运用 双曲线 ＝1的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，且|PF1|－|PF2|＝8， 而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心， 且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1， 所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1， 所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是双曲线 ＝1(a>0，b>0)的一部分绕其虚轴所在直 线旋转所形成的曲面，其中 若该颈部 中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米， 则颈部高为 A.10厘米 B.20厘米 C.30厘米 D.40厘米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 图1 图2 因为双曲线焦点在x轴上， 由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长， 所以2a＝16，可得a＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1 图2 因为瓶口直径为20厘米，根据对称性可知 颈部最右点横坐标为10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 图1 图2 解得y＝±10， 所以颈部高为20厘米. 13.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于 A.1 B.4 C.7 D.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P在右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， ∵∠F1PF2＝60°， 在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1|·|PF2|， 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|， 即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件， 得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 14.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 √ 所以|yP|＝4，所以选项A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以选项B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以△PF1F2为钝角三角形，所以选项C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形. 设顶点A的坐标为(x，y)， 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)， 其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上； 当m<－1时，椭圆焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0). 所以－＝±2a， ① 提示　－＝1(a>0，b>0).  －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)以椭圆＋＝1的长轴的端点为焦点，且经过点(3，). 且c＝2. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上. 则解得 故双曲线的标准方程为－＝1. 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 由题意得c2＝4，可设双曲线的标准方程为－＝1， 将点(2,3)代入方程可得－＝1，  x2－＝1  －＝1 所以双曲线的标准方程为－＝1. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 解得a2＝8，b2＝4，  Q(2，2)  －  － 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5. 所以 ＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16. A.12 B.24 C.12 D.24  － 由双曲线－＝1， 所以 ＝|PF2||F1F2|＝×6×8＝24. 得a＝2，b＝2，c＝4， ∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)， ① 则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5，2). 又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)， ∴双曲线方程为－＝1(x≥2)， ② 联立①②，得P点坐标为(8,5)， ∴kPA＝＝，因此P在A的北偏东30°.  x2－＝1(x≥1) 2－2 故轨迹方程为x2－＝1(x≥1). 根据题意知C(3，)，A(－2,0)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2. －  － 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). 4.以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程为 ____________.  －＝1 根据题意得解得或(舍去)， 所以双曲线的方程为－＝1. A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6， 所以双曲线的标准方程为－＝1. A.2 B.2 C.4 D.4 因为双曲线方程可化为－＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.  － 设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2， 设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋)， 则a＝5，b＝3，c＝，  － ∴·＝－1，∴c＝5.  －＝1 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点P(4，－3)， ∴－＝1，  F1(－，0)，F2(，0). 2 则＝(－－x，－y)， 8.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点.若P在双曲线上，且  ·＝0，则|＋|的值为________. ＝(－x，－y). ∴|＋|＝＝＝2. ∵·＝0， 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). 故所求方程为－＝1(x>2).  －  F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点， 所以 ＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.  －  －  － ＝， 所以b2＝c2－a2＝2－82＝， 所以双曲线的方程为－＝1， 因为＝，可得c＝a＝， 将x＝10代入双曲线可得－＝1， 在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝， 15.(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有 A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|＋|PF2|＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝ 又因为 ＝·2c|yP|＝×10×|yP|＝20， 因为双曲线C：－＝1， 所以c＝＝5. 可知|PF2|＝＝. 由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝， 所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝， 由对称性，不妨取P的坐标为， 将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1， 即|xP|＝. ∠F1PF2≠，所以选项D错误. 由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝. 且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠， 由题意，得·＝m， 则kAB＝，kAC＝. 由题意，得·＝m， $