第一章 1.4 第2课时 两条直线垂直（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦“两条直线垂直”，系统讲解垂直判定条件，包括斜率存在时k₁k₂=-1及斜率不存在与斜率为0的特殊情况。导语通过“斜率与垂直关系”问题，衔接倾斜角知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是运用分类讨论与多法解题，如例1用斜率乘积、法向量判断垂直，培养数学思维中的推理与运算能力。课堂小结点明常见误区，反思感悟提炼方程模型，助力教师高效教学，学生提升问题解决能力。

第2课时 第一章 <<< 两条直线垂直 1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.会用条件判定两条直线是否垂直. 3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应的几何问题. 学习目标 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直的位置关系呢？ 导 语 一、两条直线垂直的判定 二、求与已知直线垂直的直线 课时对点练 三、两直线垂直的综合问题 随堂演练 内容索引 两条直线垂直的判定 一 提示　k1·k2＝－1. 平面中，两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 问题 1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔ . 2.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. k1k2＝－1 知识梳理 判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 例 1 8 (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 方法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4). 因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2. 9 (3)l1：y＝2 023，l2：x＝2 024. ∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在， ∴l1⊥l2. 10 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. (2)若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直. 判断两条直线是否垂直的方法 反 思 感 悟 11 (多选)下列各对直线互相垂直的是 A.l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5) 跟踪训练 1 √ √ √ 12 A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； 13 二 求与已知直线垂直的直线 已知三角形的三个顶点A(－2,0)，B(4，－4)，C(0,2). (1)求线段BC的垂直平分线的方程； 例 2 15 (2)求AB边上的高所在直线的方程. ∵边AB所在直线的斜率 即3x－2y＋4＝0. 16 反 思 感 悟 与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 跟踪训练 2 又∵直线l经过点A(2,1)， 即x－2y＝0. 18 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 19 两直线垂直的综合问题 三 ∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， (1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为_______. 例 3 9 当且仅当m＝n＝3时取等号. 21 (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为_________. 由题意，可知两直线平行或垂直， 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 22 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系. (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 反 思 感 悟 23 (1)过点A ，B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直 线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于 A.－3 B.3 C.－6 D.6 由题意知l1⊥l2， 跟踪训练 3 √ 24 (2)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是 A.－4 B.2 C.－2 D.4 ∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0，∴a＝－1， ∴直线l1：2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2. √ 25 1.知识清单：两直线垂直的条件. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 2.过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是 A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 √ 过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线的斜率为－2，则根据点斜式可得直线的方程为y－0＝－2×(x－1)，整理得2x＋y－2＝0. 因为l1⊥l2，所以m×1＋3(m＋2)＝0， 3.已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝______. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为______. 课时对点练 五 1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点 则直线l1，l2的位置关系是 A.平行或重合 B.平行 C.垂直 D.重合 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.(多选)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在. 3.过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程是 A.2x＋y－10＝0 B.x＋2y－11＝0 C.x－2y＋5＝0 D.x－2y－5＝0 √ 设经过点A(3,4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，所求直线方程为2x＋y－10＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴kAB·kBC＝－1，∴∠ABC＝90°，故选B. 4.已知平面内有A(7,0)，B(3,2)，C(4,4)三点，则 A.△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90° B.△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90° C.△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90° D.△ABC不是直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是 A.24 B.20 C.0 D.－4 √ ∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1， 又∵垂足为(1，p)， ∴代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2， 将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0， 得n＝－12，∴m－n＋p＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.A，B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3)，则线段AB的垂直平分线的方程为 A.x－y＝0 B.x＋y－4＝0 C.x＋y＝0 D.x－y＋4＝0 √ 由题意得直线AB的两点式为 ，即x＋y－4＝0，设直线AB的垂线为x－y＋D＝0，线段AB的中点坐标为(2,2)，将中点坐标代入方程可得2－2＋D＝0， 则D＝0，∴x－y＝0， ∴线段AB的垂直平分线的方程为x－y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，所以k1·k2＝ ，若l1⊥l2，则k1k2＝ ＝－1，得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2. 7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________. －2 2 8.若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于_____. 由题意得l1⊥l2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行； 由两直线平行的充要条件， 故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当l1⊥l2时，求实数a的值. 由两直线垂直的充要条件，得a＋2(a－1)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD， 设直线CD的方程为2x－y＋m＝0(m≠－2)， 将点C(2,0)代入上式得m＝－4， 所以直线CD的方程为2x－y－4＝0. 10.如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0). (1)求直线CD的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0， 将点C(2,0)代入上式得n＝－2. 所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0. 方法二　设直线CE的方程为y＝k(x－2)， 即kx－y－2k＝0， 其法向量为n1＝(k，－1). 又直线AB的方程为2x－y－2＝0， 其法向量为n2＝(2，－1). (2)求AB边上的高CE所在的直线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为CE⊥AB，所以n1·n2＝0， 即x＋2y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知直线l1：xsin α＋2y－1＝0，直线l2：x－ycos α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α等于 √ 因为l1⊥l2，所以sin α－2cos α＝0， 所以tan α＝2， 综合运用 12.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，则△ABC一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当cos A＝0，cos B＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cos A与cos B不可能同时为0，故排除这种情况； 因为直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，所以acos B－bcos A＝0， 即sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0，A＝B， 故△ABC一定是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是____________. (1,0)或(2,0) 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC. 所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0). 14.与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程为_____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，与x轴交于点B，与y轴交于点A， 3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0 又∵△AOB的周长为10， 即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10， 解得b＝±10. 故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 由l1∥l2知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； 由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； ∵k1＝－3，k2＝， 方法一　∵k1＝－，k2＝， B.l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2) D.l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3) B中，l2过点P(1,1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直； C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1,0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6,0)， Q(－1,3)，kPQ＝，故两条直线垂直. ∵BC的中点为(2，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝－， ∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝，其方程为y＋1＝(x－2)， 即2x－3y－7＝0. kAB＝＝－， ∴AB边上的高所在直线的斜率k′＝， ∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝x， ∴k＝， ∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， ∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n)＝5＋＋≥5＋2＝9， －或－1 则 解得m＝－或－1. ＝×＝－1，得k＝3. ∴a＝－. 1.直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是 A.－ B.－ C. D. ∵l1⊥l2，∴－×＝－1， － 解得m＝－. BC边上的高所在的直线与BC边所在的直线垂直，又kBC＝＝ －2，所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－＝. 因为k1＝tan 60°＝，k2＝＝－，所以k1k2＝－1，即直线l1，l2的位置关系是垂直.  A(1，)，B(－2,2)， A. B.a C.－ D.不存在 当a≠0时，由l1⊥l2，得 ＝－， ∵kAB＝＝－，kBC＝＝2， ∴－·＝－1，解得m＝10.  ＝ ∴2a－3＝0，解得a＝. 得 即解得a＝－1， 即a＝.故当l1⊥l2时，实数a的值为. 即2k＋1＝0，故k＝－. 所以直线CE的方程为－x－y＋1＝0， A.－ B.－ C. D. 所以tan 2α＝＝＝－. 设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1，解得x＝1或x＝2， 令x＝0，可得y＝－，即A， 令y＝0，可得x＝－，即B， ∴＋＋＝10， 4＋ 解得m＝4＋. 直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 即＝－2. ② 即×3＝－1. ① 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0). $