25.3用频率估计概率（题型专练）数学人教版九年级上册

25.3用频率估计概率 题型一、频率与概率的认识 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 题型二、求频率 3．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．80 B．90 C．100 D．110 题型三、用频率估计概率 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 10．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为 个． 11．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 12．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 13．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 题型四、频率与概率的计算 14．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 16．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．芳芳从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率约为____________________；（精确到0.1） (2)估计袋子中黑球的个数． 17．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 18．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 19．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 20．（24-25九年级·河南郑州·期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 21．（2025·贵州贵阳·一模）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 22．（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 23．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 24．（24-25九年级上·广东广州·期末）数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 ． 25．（24-25九年级·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 26．（21-22九年级上·河北衡水·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 27．（22-23九年级上·北京丰台·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：    试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）． 28．（九年级下·福建漳州·阶段练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 29．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3用频率估计概率 题型一、频率与概率的认识 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 题型二、求频率 3．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 4．（22-23九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 【答案】 140 【分析】根据频率的定义和计算公式，即可求出摸出白色围棋子的频率，再根据频率与概率的关系，得出摸出白色围棋子的概率，即可求解． 【详解】解：摸出白色围棋子的频率． ∵经过大量重复实验，摸出白色围棋子的频率摸出白色围棋子的概率， ∴袋中围棋子总量（枚）， ∴黑色围棋子的数量（枚）． 故答案为：，140． 【点睛】本题主要考查了频率的计算，以及用频率估计概率，解题的关键是掌握：经过大量重复实验，事件发生的频率在一个常数附近摆动，这个常数接近事件发生的概率． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有200个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出黄球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴盒子中黄球的个数为（个）， ∴盒子中红球的个数为（个）， 故选：D． 题型三、用频率估计概率 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，所以可以认为摸到红球的概率是0.4，用小球的总数乘以摸到红球的概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故选：C． 10．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为 个． 【答案】8 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据摸到黑球的频率得出球的总数，然后减去黑球个数即可． 【详解】解：根据题意得：， 则纸箱中白球个数很可能是8个． 故答案为：8． 11．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴的近似值为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1） 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 【答案】0.4 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002， ∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近， ∴钉尖朝上的概率约为0.4， 故答案为：0.4． 13．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴， ∴的近似值为， 故答案为：． 题型四、频率与概率的计算 14．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白球的个数； (3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.25 (2)3 (3) 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）首先求出球的总数，进一步求解即可得出答案； （3）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 ∴球的总数为 ∴袋中白球的个数为； （3）解：画树状图得：     共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 15．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 16．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．芳芳从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率约为____________________；（精确到0.1） (2)估计袋子中黑球的个数． 【答案】(1)0.5 (2)20个 【分析】本题考查了概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键． （1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率； （2）用总数乘以摸到黑球的频率即可得到黑球的个数． 【详解】（1）解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率约为0.5， 故答案为：0.5． （2）解：（个）， 估计袋子中黑球的个数为20个． 17．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； （1）用每次落在圆内（含圆上）次数除以总实验次数即可； （2）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， ∴石子落在圆内的概率约为； （2）解：设封闭图形的面积为． 根据题意得，解得． 则估计封闭图形的面积为． 18．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 19．（24-25九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被3整除的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意； 故选C 20．（24-25九年级·河南郑州·期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 21．（2025·贵州贵阳·一模）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ， 抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选：C． 22．（23-24九年级上·天津和平·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 23．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，有一张平整的银杏叶平铺在的地面上，小惠同学为了了解该银杏叶的面积，进行了以下试验操作：先用一个边长为的正方形，将银杏叶围在其中；然后在正方形区域内随机投掷小针，记录小针投中银杏叶的次数（小针投在正方形区域外或投在边界上，则不计试验结果，重新投掷），随着试验次数增加，发现小针投中银杏叶的频率稳定在左右，根据以上试验结果，估计该银杏叶的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解一元一次方程，先计算正方形的面积，再建立方程求解即可，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中银杏叶的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 【详解】解：正方形面积为：， 设该银杏叶的面积为，依题意得： ， 解得：， ∴估计该银杏叶的面积为， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·广东广州·期末）数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（24-25九年级·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 (3) 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 26．（21-22九年级上·河北衡水·期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是___________．（精确到），由此估出红球有___________个． (2)现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】本题考查了求频率，求概率． （1）根据表格作答即可； （2）列出树状图求概率即可． 【详解】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，由此估出红球有2个． 故答案为：，2； （2）解：将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种， 则P（1个白球，1个红球）； 所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为． 27．（22-23九年级上·北京丰台·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：    试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318， 相交的概率为0.318； ， ， ， 解得：， 故答案为：0.318；3.14 28．（九年级下·福建漳州·阶段练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【详解】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 29．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 30．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． (1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； (2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】(1)小丽取出的卡片恰好是的概率为 (2)这个游戏不公平，对小明有利，理由见解析 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【详解】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． （2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $