25.2列举法求概率（题型专练）数学人教版九年级上册

25.2列举法求概率 题型一、列举法求概率 1．（2024·四川德阳·模拟预测）小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南·期末）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）一个家庭有两个孩子，两个都是男孩的概率是 ． 5．（25-26九年级上·全国·单元测试）在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：．祖冲之；．李时珍；．张衡；．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，求抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率． 题型二、列表法求概率 7．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·全国·期中）小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 11．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 12．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）小芳和小明玩一个游戏，规则如下：有5张大小完全相同的纸牌，背面都是大雁塔图片，正面有2张是兵马俑图片，其余3张没有兵马俑．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有兵马俑就有奖，没有兵马俑就没有奖． (1)小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是_________． (2)在（1）中小芳翻牌之后又把五张牌背面朝上并洗匀，然后小明获得两次翻牌机会，小明不放回地先后翻开两张纸牌．请用树状图或列表法求小明获奖的概率． 13．（25-26九年级上·贵州·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． (1)若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率； (2)若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率． 题型三、用树形图求概率 15．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山西长治·二模）班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 18．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）现将背面完全一样，正面分别写有“我”、“爱”、“中”、“国”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的概率是 ． 19．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使两次掷出的点数之和为偶数的概率为 ． 20．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． (1)用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果； (2)求两人搭乘同一辆车的概率． 23．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 24．（24-25九年级上·河南周口·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 25．（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 27．（2024·广东·模拟预测）梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 29．（2025·吉林·模拟预测）如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 30．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 31．（24-25九年级上·浙江·周测）金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是 ． 32．（22-23九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 33．（2022·河南驻马店·一模）有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 34．（2024·福建·模拟预测）高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2列举法求概率 题型一、列举法求概率 1．（2024·四川德阳·模拟预测）小明有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，小明能拼成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率，三角形三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把所有可能的组合罗列出来，再结合三角形的三边关系进行判断，最后根据概率公式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵长度分别是2，3，4，5， ∴从中任意取三根木条，所有可能的组合为：共4种组合， ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条不能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； ∵， ∴这三根木条能拼成三角形； 即能拼成三角形的组合共3种， ∴能拼成三角形的概率是， 故选：A 2．（23-24九年级上·河南·期末）同时抛掷两枚1元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列举法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列举所有可能结果及符合条件的结果，再利用概率公式求解． 【详解】解：记菊花图案那面为正，另一面为反，同时抛掷两枚1元的硬币，有正正，正反，反正，反反四种结果， 菊花图案都朝上只有一种结果即：正正， 所以P（菊花图案都朝上）， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有可能发生的情况是解答本题的关键. 仔细审题,利用列举法得出所有可能的三位数组成情况；找出组成的数字是偶数的可能结果：132，312；根据概率计算公式P(A)=计算即可. 【详解】解：组成的数共有6个； 其中偶数有，一共2个； 因此组成的数是偶数的概率. 故选B 4．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）一个家庭有两个孩子，两个都是男孩的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用直接列举法求概率，用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．利用直接列举法列举出所有可能的结果，再找出两个孩子都是男孩的结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：所有可能的结果：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），共4种，符合两个孩子都是男孩条件的结果是：（男，男）共1种， 所以两个孩子都是男孩的概率是：. 故答案为：. 5．（25-26九年级上·全国·单元测试）在如图所示的电路中，随机闭合三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法进行求解概率即可． 【详解】解：由题意可知：随机闭合三个开关中的两个，可能性有共3种情况，其中能让灯泡发光的情况只有一种情况； 故概率为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：．祖冲之；．李时珍；．张衡；．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，求抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先用列举法得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：四张邮票分别记为A、B、C、D．从中一次性抽取两张，所有可能的抽取结果为： ，共6种等可能的情况． 其中，抽到A和B的情况仅有1种． 因此，所求概率为． 题型二、列表法求概率 7．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表 出口入口 由列表可知，共有种等可能的结果． 其中从口进入，从口离开的结果只有种，即． 所以． 故选：A． 8．（22-23九年级上·全国·期中）小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意画出图表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能结果，其中小华赢的结果有6种， ∴小华赢的概率为． 故选：D． 9．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） - （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） - （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） - 总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种． 所以恰好为一男一女的概率． 故选：C． 10．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲 乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）小芳和小明玩一个游戏，规则如下：有5张大小完全相同的纸牌，背面都是大雁塔图片，正面有2张是兵马俑图片，其余3张没有兵马俑．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，若翻到的纸牌中有兵马俑就有奖，没有兵马俑就没有奖． (1)小芳获得一次翻牌机会，她从中随机翻开一张纸牌．小芳得奖的概率是_________． (2)在（1）中小芳翻牌之后又把五张牌背面朝上并洗匀，然后小明获得两次翻牌机会，小明不放回地先后翻开两张纸牌．请用树状图或列表法求小明获奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）让有兵马俑图片的张数除以总张数即可； （2）列举出所有情况，看有兵马俑图片的情况占总情况的多少即可. 【详解】（1）解：由于所有等可能的结果有种，其中得奖的结果有种，于是可得小芳得奖的概率是， 故答案为：； （2）用分别代表是兵马俑图片，分别代表没有兵马俑的图片，根据题意列表如下： , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 由表格可以看出，列举组合情况可能的结果有种，其中得奖的结果有种， 因此小明得奖的概率， 所以小明得奖的概率为． 13．（25-26九年级上·贵州·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一种支付方式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是， 故答案为：； （2）解：令微信、支付宝、现金三种支付方式分别为，列表如下： 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）山下湖·世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为A，B，C，D，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研． (1)若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率； (2)若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的卡片中，一张是A，一张是B的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单地概率公式，画树状图法求概率，熟练掌握公式是解题的关键． （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）用列表的方法解答即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种， 故抽到卡片的概率为． （2）解：根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由图可知，共有16种等可能的结果，其中恰好选中A和B的有2种， ∴两次恰好选中和的概率． 题型三、用树形图求概率 15．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 16．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用列表法与树状图法求概率的方法，先列表或画图展示所有等可能的结果数，再找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率为，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为 ， 共有6种等可能的结果，它们是，其中点在第二象限的共2种结果，它们是， ∴点在第二象限的概率是 故选： ． 17．（2025·山西长治·二模）班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数，再依次求出各选项中的事件的概率，进行对比则可获解． 【详解】解：根据题意，可画树状图如下： ∴抽到数字和为2的概率为0，故A选项错误； 抽到数字和为5的概率为，故B选项正确； 抽到数字和为3的概率为，故C选项错误； 抽到数字和为4的概率为，与抽到和为3、5的概率相同，故D选项错误； 故选：B． 18．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）现将背面完全一样，正面分别写有“我”、“爱”、“中”、“国”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：分别记“我”、“爱”、“中”、“国”为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的结果有种， ∴抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“中国”的概率是， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使两次掷出的点数之和为偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率的计算，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．先画树状图，再利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有36个等可能的结果，使得为偶数的结果有18个， ∴使得为偶数的概率. 故答案为：． 20．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．用树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D，从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，作树状图如下： 由树状图可以看出，所有等可能的结果有12种， 其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有2种， ∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为． 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 【答案】该游戏不公平，理由和树状图见解析 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到牌面数字之和为奇数和牌面数字之和不为奇数的结果数，最后根据概率计算公式分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】解：该游戏不公平，理由如下： 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中牌面数字之和为奇数的结果数有8种，牌面数字之和不为奇数的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率比乙获胜的概率大， ∴这个游戏不公平． 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． (1)用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果； (2)求两人搭乘同一辆车的概率． 【答案】(1)小王与小叶搭乘车所有可能性有9种 (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）画出树状图即可得到所有等可能性的结果数； （2）找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：小王与小叶搭乘车所有可能的树状图如图所示： ∴小王与小叶搭乘车所有可能性有9种． （2）解：∵由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人搭乘同一辆车的结果数有3种， ∴两人搭乘同一辆车的概率是． 23．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 24．（24-25九年级上·河南周口·期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式、中心对称图形、轴对称图形等知识点，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键． （1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案； （2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：中心对称图形的卡片是C，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为． 故答案为：． （2）解：轴对称图形的卡片有B和C， 根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 25．（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意列出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花有：红黄、红白、红紫、黄白、黄紫、白紫，共6种情况， 当选中红黄、红白、黄紫、白紫时，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种情况， ∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率是． 故选：C． 26．（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 27．（2024·广东·模拟预测）梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D，用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出同时选择梅县松口和惠州博罗的情况，用概率公式求解即可． 【详解】将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D， 画树状图如下： ∴共有24种等可能结果，其中同时选择梅县松口和惠州博罗的情况有12种， ∴同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为． 故选：D． 28．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 29．（2025·吉林·模拟预测）如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，树状图法求概率，熟练掌握全等三角形的判定，画树状图法求概率，是解题的关键． （1）先判断能得到的结果，再利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）， 当时，． 当时，． 当时，无法得到． 概率是． 故答案为：． （2）如图： 共12种等可能的结果． 结合，其中 ①，②，∴； ②，①，∴； ②，④，∴； ④，②，∴， 满足要求的结果有4种． 30．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求解概率，常用方法有：树状图法、列表法和列举法，本题即为列举法．掌握求解概率的方法是解本题的关键． 列出所有的三位渐升数，然后找出能被9整除的数，从而得出概率． 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 31．（24-25九年级上·浙江·周测）金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是 ． 【答案】 【分析】画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24种等可能的结果，再找出把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；    共有24种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8种， 所以把三个袋子都放错位置的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 32．（22-23九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 【详解】解：由题意可知： 当个位数字为3时，则十位数字为2，百位数字为1；此时有1种情况； 当个位数字为4时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，所以有种情况； 当个位数字为5时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，所以有种情况； 当个位数字为6时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，当十位数字为5时，百位数字可以为1、2、3和4，所以有种情况； 由此可知：个位数字为7时，有种情况；个位数字为8时，有种情况；个位数字为9时，有种情况； ∴三位递增数共有个，其中被5整除的三位递增数个位数字一定为5，由上可知共有个， ∴随机抽取的三位递增数不被5整除的概率为； 故答案为． 33．（2022·河南驻马店·一模）有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率，根据一元二次方程有两个不相等实数根，可得：，列表表示出的所有情况，可知共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种，所以满足有两个不相等实数根的概率是. 【详解】解：有两个不相等实数根， ， ， 由表可知，共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种， 满足有两个不相等实数根的概率是． 故答案为：． 34．（2024·福建·模拟预测）高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 【答案】(1) (2)商品的定价最高为55元，理由见解析 【分析】本题考查了概率的计算与应用，解题的关键是通过树形图分析所有可能情况，结合概率公式进行计算，并根据获利情况建立不等式求解． （1）通过画树形图列出小球下落的所有可能情况，根据概率公式计算小球落入甲槽的概率． （2）分别计算方案一和方案二商家的获利，根据方案一获利不少于方案二列出不等式，求解得出方案二商品定价的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，画出如下树形图， 共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种， ∴从入口处投放一个小球落人甲槽内的概率； （2）解：方案二中的定价最高为55元． 理由如下：由（1）知方案一中，从入口处投放一个小球落人甲槽内， ∴（从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； 由题可知，方案二中，（从入口处投放一个小球落入甲槽内）， 从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； ∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则，解得， 故方案二中商品的定价最高为55元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $