24.4弧长与扇形面积（1）（题型专练）数学人教版九年级上册

24.4弧长与扇形面积（1） 题型一、求弧长 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和 物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留） 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． (1)求的度数； (2)的长度为__________． 题型二、求扇形的面积 6．（2025·广东珠海·三模）如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 7．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（24-25九年级上·吉林·期末）如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 9．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 题型三、已知弧长或扇形面积求半径 10．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 13．（22-23九年级上·全国·单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的 半径． 题型四、已知弧长或扇形面积求圆心角 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数． 题型五、求弓形的面积 18．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 21．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 题型一、求点所经过的路径的长 22．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 24．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 题型二、求旋转后图形的面积 25．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 题型三、有关圆中阴影部分面积的计算与证明 28．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、． (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 29．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，过点A的直线l与相切于点A，在直线l上取一点D，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 30．（24-25九年级下·四川内江·期中）已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 31．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 32．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A．2 B．0 C． D． 33．（2025·福建厦门·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 34．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 35．（2025九年级上·全国·专题练习）小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4弧长与扇形面积（1） 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：圆心角所对的弧长． 故选：C． 2．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，根据题意可知传送带上的物品平移的距离是圆心角为的扇形的弧长．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：根据弧长公式可知， 传送带上的物品被传送的距离为∶． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． (1)求的度数； (2)的长度为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 故答案为： 6．（2025·广东珠海·三模）如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　    　）． A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积，掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角为度，半径为的扇形面积为计算即可． 【详解】解：如果一个扇形的圆心角为，半径为， 则这个扇形的面积为， 故选：D． 7．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形面积的计算，利用扇形面积减去三角形面积即可求解． 【详解】解：阴影部分面积为：； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·吉林·期末）如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， (1)过点作，交于点，若，求的长； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：，， ， 在中，，， ∴， ； （2）解：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 10．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 12．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 【详解】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 13．（22-23九年级上·全国·单元测试）弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径． 【答案】18 【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案． 【详解】解：设弧所在的圆的半径为， 由弧长公式得：， 解得：， 弧所在的圆的半径为18． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用弧长公式即可求出的值，计算即可． 【详解】解：根据， 解得：， 故选：C. 【点睛】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键． 15．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 16．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式根据“点移动的弧长等于个的周长”列出关于的方程，解方程即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为：， ∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：， ∴， 解得：． 故选：A． 17．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数． 【答案】扇形的半径为，圆心角为 【分析】本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算．设这个扇形的半径为，圆心角是，根据扇形的面积公式求出，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为，圆心角是， 根据扇形面积公式， 可得， 解得． 再根据弧长公式， 可得， 解得． 答：扇形的半径为，圆心角为． 18．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 19．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 20．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F． (1)求证：是圆的切线． (2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和扇形的面积公式是解题关键． （1）连接，先证出，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，其中交于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据勾股定理求出，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的切线． （2）解：如图，连接，，其中交于点， ∵，， ∴， ∵圆的半径是， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 22．（21-22九年级上·山东德州·期末）如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、勾股定理及弧长公式是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：， 故选：D． 23．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 24．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 25．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 26．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 27．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 28．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、． (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，圆周角定理，得到, ,结合，证明即可； （2）根据已知，证明即可得证； （3）利用菱形的判定，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，结合解得即可． 本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线为的切线，为的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵是的直径， ∴， ∴, ∵， ∴． （2）证明∵为的中点，延长交于点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线为的切线，为的半径， ∴， ∴． （3）解：根据（2）证明，得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵为的中点，连接，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 29．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，过点A的直线l与相切于点A，在直线l上取一点D，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）连接，由得，结合依据题干有，又因为直线l与相切于点A，点C在上，是的半径则有所求结论． （2）利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径， （3）根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵直线l与相切于点A， ∴． ∴． ∵点C在上， ∴是的半径． ∴直线是的切线． （2）解：设半径， 则． 在中，， ∴． 解得． ∴． （3）∵， ∴． ∴． ∴． 故图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确做出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键． 30．（24-25九年级下·四川内江·期中）已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分． (1)求证：直线l与相切； (2)若，求的半径． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积： （1）连接，，由平分，可知，进而得到，可得，由，可证，进而结论得证； （2）连接，，，在中，，设，则，由勾股定理得，计算求解的值，进而可得半径长； （3）连接，，，作于点，先求得是等边三角形，利用阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是半径 ∴直线l与相切． （2）解：如图1，连接． ∵是的直径， ∴． ∵平分，， ∴． ∴在中，． 同理：在中，． 设，则． 由勾股定理得：，即． 解得或（不合题意，舍去）． ∴的半径， ∴的半径为． （3）解：如图，连接，，，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 阴影部分的面积 ． 31．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 32．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过圆心B作于点D，交于点E， 求出，，得到，推导出点E的纵坐标为，由图可知，每走两个弧为一个循环，根据，得到一个循环需要4秒，继而推导出第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：如图，过圆心B作于点D，交于点E，有 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点E的纵坐标为， ∵， ∴每4秒一个循环， ∵， ∴第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，为． 故选D． 33．（2025·福建厦门·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线性质，得，得，得，得，由切线长性质，得，得，可得，由，得． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 由轴对称知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线．熟练掌握圆的切线性质，切线长性质，四边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，是解题的关键． 34．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 封闭图形的周长的长 故答案为： 35．（2025九年级上·全国·专题练习）小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） 【答案】(1)； (2)； 【分析】（）如图，连接，，与交于点，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （）如图，连接，，延长交于点，可得四边形为矩形，得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为，再根据弧长公式即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：如图，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， ∴， 解得， ∴所对的圆心角度数为； 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $