培优03 整式乘法中新定义问题与规律探寻3大题型（大单元专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题03 新定义问题与规律探寻 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 新定义问题 1 题型二、 探寻规律问题 5 题型三、 阅读材料 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、新定义问题 1．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 3．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 4．现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 5．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ． 6．规定：，若，则x的值为 ． 7．对于实数，规定一种运算（二阶行列式又称二阶矩阵），那么当时， ． 8．若规定，则当时，的值为 ． 9．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 10．对于实数，规定一种运算，例如：．若，则 ． 11．定义新运算“”：，则 ，若，则 ． 12．规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以． (1)______， ______， ______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以． 所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法说明：． 13．规定，例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 15．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 16．定义一种新运算，规定，例如．已知，． (1)求； (2)求． 17．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 18． 规定一种新运算“”，对于任意实数，如． (1)则 (2)计算： 19．定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 20．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)计算①______；②______； (2)若，则______； (3)若，，，求、、满足的数量关系，写出计算过程． 21．规定：． (1)若，求的值； (2)判断与是否相等，并说明理由． 22．我们规定：，例如． (1)试求：和的值； (2)想一想：与相等吗？请验证你的结论． 23．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则_________； ②若，则_________； (2)若，求的值． 24．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 25．初中数学学习，运算法则是基础，我们要认真探究法则运算过程，准确掌握变形技巧和方法，目的是能正确应用，如果，则，例如：，则． (1)根据上述规定，若，求的值； (2)记，求的值． 26．阅读理解，定义：“如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：计算：．请你根据对以上内容的理解，计算：． 27．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 28．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 29．在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 题型二、探寻规律问题 30．请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 31．观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 32．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式： （2）计算 33．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 34．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题： 将上述等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出 ． 35．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 1 1          1  2  1          1    3   3  1          1    4    6    4    1           请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 36．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 37．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知， ______； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ______； (3)根据以上规律解决： ①计算： ______； ②； ③，则______． 38．观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；为正整数 (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求的值． 39．代数推理 观察下列式子： ， ， ， ， … (1)根据上述规律，的值为______． (2)计算：． 40．观察下列两位数的积的运算（这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字和等于），回答下列问题． ，，， (1)观察上面规律，填空． ； ． (2)写出你发现的规律 ． (3)证明你发现的规律． 41．（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 42．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36______“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，……按此规律拼接到正方形，其边长为100，求阴影部分的面积． 43．有下列等式： ； ； ； ； … (1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________； (2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明． 题型三、阅读材料 44．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 45．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以被整除． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子______，______； (2)请模仿材料中的方法计算多项式． 46．阅读材料并解决问题： 我们已经知道完全平方公式：可以用平面几何图形拼图来表示面积，实际上还有一 些多项式乘法也可以用这种拼图形式来表示结果，例如：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2就可以用图甲中的①、②、③表示图乙或图丙图形的面积． (1)画出一个新几何图形，使它的面积能表示：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（注意在图中标出①②③） (2)请你写出图丁所表示的整式乘法及其结果； (3)请仿照上述方法另写一个含有a、b的整式乘法及其结果为2a2+5ab+2b2，并画出与之相应几何图形． 47．【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 如：． ，，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法将多项式化成的形式为__________； (2)求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 48．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使他的面积表示：． 49．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________________； 【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，则的平方根是____________． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 50．我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 51．阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 52．阅读材料，回答下列问题： 若，求，的值． 解：∵， ∴， 即， 又，， ∴，， ∴， (1)若，求，的值； (2)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由 53．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 54．阅读与思考 阅读下列素材，完成相应的任务． 平衡多项式 素材一： 定义：对于一组多项式：，，（，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子． 素材二： 例如：对于多项式，，． 因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1． 任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． 任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 1．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，则再过天是星期几（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“十一优数”．例如： ，，143就是一个十一优数．若将十一优数从小到大排列，则第3个十一优数是 ；第251个十一优数是 ． 3．规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 4．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 5．初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 6．（1）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， 观察上式，并猜想： （ ① ）． ② （2）通过以上规律，请你进行下面的探索： ①． ②（ ③ ）． ③ ④ ． （3）根据你的猜想，计算： 7．观察下列各式： ；；…… 由上面的规律： (1)求的值； (2)求的个位数字； (3)你能用其它方法求出   的值吗？ 8．观察下列各式 ； ； ； …… (1)根据以上规律，计算：______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律请你求出：的值． 9．阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 新定义问题与规律探寻 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 新定义问题 1 题型二、 探寻规律问题 17 题型三、 阅读材料 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、新定义问题 1．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算以及多项式乘法，解决问题的关键是利用新定义把未知转化为已知． 首先利用多项式乘法法则进行乘法运算，然后把代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 3．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，理解新定义并熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据新运算的规则，可得：，再根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据新运算的规则，可得： ． 故答案为：． 4．现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为： 5．我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ． 【答案】81 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数． 设，则，根据最小的“方减数”可得m=10，n=18，即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得：， ∵， ∴要使“方减数”最小，需， ∴， ∴， 当时， 最小为81． 故答案为：81． 6．规定：，若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法， 由新定义得，进而由同底数幂的乘法可得，据此即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ， ， 故答案为：． 7．对于实数，规定一种运算（二阶行列式又称二阶矩阵），那么当时， ． 【答案】2026 【分析】本题考查的是定义新运算，多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项的法则，解一元一次方程，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据新定义列出方程，然后依据多项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则进行化简，最后解关于的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 8．若规定，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 9．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 10．对于实数，规定一种运算，例如：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算、整式的加减乘法运算等知识，理解新定义运算是解决问题的关键．根据题中新定义的，将化为，再由整式的乘法运算、加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， ， 解得， 故答案为：． 11．定义新运算“”：，则 ，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，单项式乘多项式，解一元一次方程，根据新定义计算即可得出的值，再根据新定义列出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 故答案为：，． 12．规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以． (1)______， ______， ______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以． 所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法说明：． 【答案】(1)；；； (2)见解析． 【分析】本题考查幂的运算性质，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据规定的运算即可求得答案； （2）设，，，然后利用同底数幂除法法则进行说明即可． 【详解】（1）解：，，， ，，， 故答案为：；；； （2）证明：设，，， 那么，，， 则， 即， 那么， 即． 13．规定，例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的运算法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算； （2）根据新定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】（1） （2）， ，即， ，解得． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，完全平方公式，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据二阶行列式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则建立方程，根据完全平方公式进行计算，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， 解得． 15．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 16．定义一种新运算，规定，例如．已知，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确理解题目中给出的新运算是解题关键． （1）根据题目中的新运算，利用平方差公式，单项式乘以多项式进行计算即可； （2）根据，将（1）的结果代入，即可求解． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 17．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 18． 规定一种新运算“”，对于任意实数，如． (1)则 (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的除法，定义新运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，运用单项式除以单项式进行计算即可； （2）根据新定义的运算，运用多项式除以单项式，再合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 19．定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂乘法的逆用，解题关键是理解已知条件中的新运算． （）根据已知条件中的新运算进行计算即可； （）按照已知条件中的方法，先设，，然后根据新运算进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． 20．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)计算①______；②______； (2)若，则______； (3)若，，，求、、满足的数量关系，写出计算过程． 【答案】(1)6，2 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算以及幂的运算，解题的关键是理解新定义的含义，结合寡的运算法则进行计算． （1）根据新定义，找出满足的值； （2）依据新定义列方程求解； （3）利用新定义将、、用幂的形式表示，再结合幂的运算找出数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，2； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， ，将代入可得： ， ， ． 21．规定：． (1)若，求的值； (2)判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了新定义的运算，幂的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，整理得，即可作答． （2）分别整理得，，再进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：当时，即时，则与相等， 当时，即时，则与不相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 当时，即时，则与相等， 当时，即时，则与不相等， 22．我们规定：，例如． (1)试求：和的值； (2)想一想：与相等吗？请验证你的结论． 【答案】(1)； (2)与不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，属于新定义题，解答本题的关键是读懂新定义，理解题中给出的符号所代表的运算法则，把新定义转化成常见的运算． （1）根据题中规定的运算法则进行运算即可求值； （2）分别计算出与的值，然后即可作出判断． 【详解】（1）解：； ． （2）解：与不相等，理由如下：，， 与不相等． 23．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则_________； ②若，则_________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴． 24．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘除法，解一元一次方程． （1）根据计算即可； （2）根据计算即可； （3）先根据、列出等式，进而得到关于x的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）； （2） （3），， ∵的值与的值相等， ∴， 即， 解得：． 25．初中数学学习，运算法则是基础，我们要认真探究法则运算过程，准确掌握变形技巧和方法，目的是能正确应用，如果，则，例如：，则． (1)根据上述规定，若，求的值； (2)记，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，正确理解新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给新定义进行求解即可； （2）先求出，，，再对变形，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：根据定义的公式， 由，得 ； （2）解：，，， ，，， ． 26．阅读理解，定义：“如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：计算：．请你根据对以上内容的理解，计算：． 【答案】 【分析】本题主要是考查新定义运算问题，平方差公式，完全平方公式，读懂定义及其运算法则是解题的关键，根据平方差公式和完全平方公式展开，并代入计算即可； 【详解】解： ． 27．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解：， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 28．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 29．在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算和整式的运算，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）根据新运算代入计算即可． （2）根据新运算代入计算即可． （3）先根据定义，化简，，再根据结果比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴； （3）∵，且，， ∴，， ∵， ∴． 题型二、探寻规律问题 30．请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得，再将所求式子进行变形，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故答案为：． 31．观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式乘法的运算规律，先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．解题的关键是能准确归纳出该运算规律． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， ∴． 故答案为：． 32．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式： （2）计算 【答案】 【分析】本题考查了整式的规律问题． （1）直接根据题干式子结合图表作答即可； （2）根据题干式子结合图表得到，将化为，根据计算即可． 【详解】解：由表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1； 即 故答案为：； （2）由表可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1； 即， ∴ 故答案为：． 33．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 34．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题： 将上述等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类和多项式乘法中的规律探究，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． 观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 35．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 1 1          1  2  1          1    3   3  1          1    4    6    4    1           请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知把看做常数，从左往右数，的第二项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解；把看做常数，从右往左数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第二项的系数为， ∴展开式中含项的系数是， 故答案为；． 36．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 37．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律可知， ______； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ______； (3)根据以上规律解决： ①计算： ______； ②； ③，则______． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③2或0 【分析】本题考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题． （1）由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案； （2）根据式子总结归纳出式子规律即可； （3）①把，代入所得的规律中即可得到答案；②把，代入所得的规律中即可得到答案；③根据规律可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：； （2）解：观察归纳规律可得， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，， 当，时， ， 即， 故答案为：； ②同①，当，时， ， 即； ③∵ ∴，即， ∴当时，， 当时，， 故答案为：2或0． 38．观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；为正整数 (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查代数式规律问题，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式总结规律即可； （2）将原式乘以后利用规律计算即可； （3）将方程左边乘以后利用规律计算即可． 【详解】（1）由已知等式可得，为正整数， 故答案为：； （2）由（1）可得，为正整数， 原式； （3）， ， ， ． 39．代数推理 观察下列式子： ， ， ， ， … (1)根据上述规律，的值为______． (2)计算：． 【答案】(1)44100 (2)81675 【分析】本题的关键是发现立方和的规律，通过观察前面的式子,总结出立方和与自然数和的平方之间的关系,然后利用这个规律来解决问题. 【详解】（1）由题意得，： . （2） ． 【点睛】本题的关键是发现立方和的规律,并能灵活运用这个规律以及等差数列求和公式来解决问题. 40．观察下列两位数的积的运算（这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字和等于），回答下列问题． ，，， (1)观察上面规律，填空． ； ． (2)写出你发现的规律 ． (3)证明你发现的规律． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据两数乘积的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据结果找出数字规律，利用找出的规律进行计算即可； （2）由题意得出如果两个两位数的十位数字相同，个位上的数字的和等于，那么它们的积是一个四位数，积的前两位是十位数字乘比它大的数字，积的后两位是个位数字的积； （3）设十位上的数字为，个位上的数字为，则上述规律可表示为：，利用整式的运算法则化简等式的左边，化简结果相等即可得出结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：如果两个两位数的十位数字相同，个位上的数字的和等于， 那么它们的积是一个四位数，积的前两位是十位数字乘比它大的数字，积的后两位是个位数字的积； （3）解：设十位上的数字为，个位上的数字为，则上述规律可表示为：， 证明：∵ ， ∴左边右边， ∴成立． 41．（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究，解题的关键是明确题意，利用规律解答问题． （1）根据题目中的例题可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 42．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”． (1)36______“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？ (3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数，……按此规律拼接到正方形，其边长为100，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数，理由见解析 (3)5100 【分析】本题考查了平方差公式进行因式分解的应用，掌握公式的特点是关键； （1）根据即可判断； （2）计算的结果，根据结果即可作出判断； （3）由图知，每部分阴影的面积等于相邻两个偶数的平方差，由此列出算式，再依据（2）的结论进行计算求解． 【详解】（1）解：∵， ∴36是“智慧数”； 故答案为：是； （2）解：由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数． 理由如下： ， 而是4的倍数， ∴由和（其中取正整数）这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数； （3）． ． 43．有下列等式： ； ； ； ； … (1)根据你发现的规律，写出第个等式：__________=__________； (2)根据你发现的规律，猜想分解因式的结果，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题是一个规律型题目，考查因式分解的应用，根据题干中的信息找出规律是解题的关键． （1）根据规律，写出等式即可； （2）将原式重新分组转化为，然后进行多项式乘法转化为，将看作一个整体，利用完全平方公式即可证明． 【详解】（1）解：根据规律可得， 故答案为：；； （2）解：猜想：． 证明如下： ， 即． 题型三、阅读材料 44．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（    ） A．32 B．64 C．88 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了贾宪三角． 根据题干找出展开式的系数和的规律作答即可． 【详解】解析：当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； 当时，展开式的系数和为； …… 当时，展开式的系数和为． 故选：D 45．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面(同类项对齐)，再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以被整除． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子______，______； (2)请模仿材料中的方法计算多项式． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了整式的除法、同类项，解决本题的关键是按照示例的竖式进行计算． (1)按照示例的除法竖式进行计算即可； (2)按照示例的除法竖式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图： 故答案为：2；． （2）． 46．阅读材料并解决问题： 我们已经知道完全平方公式：可以用平面几何图形拼图来表示面积，实际上还有一 些多项式乘法也可以用这种拼图形式来表示结果，例如：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2就可以用图甲中的①、②、③表示图乙或图丙图形的面积． (1)画出一个新几何图形，使它的面积能表示：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（注意在图中标出①②③） (2)请你写出图丁所表示的整式乘法及其结果； (3)请仿照上述方法另写一个含有a、b的整式乘法及其结果为2a2+5ab+2b2，并画出与之相应几何图形． 【答案】(1)画几何图形见解析； (2)； (3)，画几何图形见解析． 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景． （1）利用已知等式得出符合题意的图形即可； （2）利用图形边长之间的关系得出符合题意的等式即可； （3）利用多项式乘积与图形面积关系得出答案． 【详解】（1）解：根据阅读材料可知，为，为，为， （2）解：根据阅读材料可知，图丁的面积为， ∴图丁所表示的整式乘法及其结果为 （3）解： 47．【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 如：． ，，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法将多项式化成的形式为__________； (2)求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)等腰三角形 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据配方法变形即可； （2）先将代数式配方，根据非负性即可得证； （3）先将配方，进一步可得，，即可判定的形状． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴无论、取任何实数，代数式的值恒为正数； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 即， ∴，， 解得：， ∴是等腰三角形． 48．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． (1)请写出图②所代表的恒等式； (2)请你自己画出一个平面图形，使他的面积表示：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面积个 长与宽分别为的长方形的面积，即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：如图所示，即为所求； 49．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________________； 【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，则的平方根是____________． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）；（3）. 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以单项式，进而求得x、y、z的值，代入再求平方根，即可求解； （3）设，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：；         （2）∵， ∴， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：；         （3）设， ∴， 由得：； ∴， ∴. 50．我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，9，，9 (2) (3)存在，最大值为227 【分析】本题考查了完全平方公式和配方法． （1）根据材料中的方法，利用完全平方公式配方即可； （2）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得答案； （3）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得结论． 【详解】（1）解：， 故答案为：9，9，，9； （2）解：， ， ， 多项式的最小值是； （3）解：存在． ， ， ， ， 多项式存在最大值，最大值为227． 51．阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式中规律问题，从运算中发现总结出规律，以及应用规律是解题的关键． （1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的代数式化为，进而根据规律，即可求解； ②根据①的结论得出，，两式相减，即可求解． 【详解】（1）解：观察上式可得：； 故答案为：； （2）① ②由①同理可得：， ∴ 52．阅读材料，回答下列问题： 若，求，的值． 解：∵， ∴， 即， 又，， ∴，， ∴， (1)若，求，的值； (2)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由 【答案】(1)， (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式、等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式可得，再根据偶次方的非负性可得，，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，根据偶次方的非负性可得，则可得，再根据等边三角形的定义即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 53．阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位； 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为______； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为______（用含的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，列代数式，多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意可得另一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可表示出另一个两位数，再根据题意列式求解即可； （3）根据（2）所求，把等式左右两边分别去括号和合并同类项即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得，另一个两位数的十位数字为，个位数字为， ∴另一个两位数为， ∴； （3）证明： ， ， ∴． 54．阅读与思考 阅读下列素材，完成相应的任务． 平衡多项式 素材一： 定义：对于一组多项式：，，（，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子． 素材二： 例如：对于多项式，，． 因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1． 任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． 任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 【答案】任务一：4；任务二：该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9 【分析】本题考查了整式的运算，关键是理解并掌握新定义． 任务一：化简，可得该组平衡多项式的平衡因子； 任务二：观察该组多项式可得，，化简可得该组平衡多项式的平衡因子； 【详解】解：任务一：， 答：该组平衡多项式的平衡因子为4； 任务二：是； ， 故该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9． 1．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，则再过天是星期几（    ） A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据可知除以7的余数为1，从而可得答案． 【详解】∵， ∴除以7的余数为1， ∴假如今天是星期四，那么再过天是星期五， 故选：C 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“十一优数”．例如： ，，143就是一个十一优数．若将十一优数从小到大排列，则第3个十一优数是 ；第251个十一优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“十一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“十一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“十一优数”可表示为，再分别求出、和时的“十一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：设满足“十一优数”的定义的两个正整数分别为和， 则“十一优数”可表示为， ∵为正整数， 当时，第1个“十一优数”为； 当时，第2个“十一优数”为； 当时，第3个“十一优数”为； 归纳类推得：第个“十一优数”可表示为（为正整数）． 当时，，即第150个“十一优数”为． 故答案为：，． 3．规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，需根据定义将问题转化为指数方程求解，解题的关键是注意整数条件的限制． （1）根据定义求解即可； （2）先根据定义得出，然后将方程相乘，再与 ③联立列出得出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； 【小问2】 整数a，m，n，满足，，， ， 得，④， 由③、④得，， ，解得，． 4．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】(1)5，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 6．（1）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， 观察上式，并猜想： （ ① ）． ② （2）通过以上规律，请你进行下面的探索： ①． ②（ ③ ）． ③ ④ ． （3）根据你的猜想，计算： 【答案】（1）① ；②； （2）③；④；（3） 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律性问题，解题的关键是分析已知式子，从中找出规律． （1）分析可得规律，即可解答； （2）观察字母的指数，结合（1）中结论可以得到规律； （3）将式子写成形式，运用规律即可解答． 【详解】解：(1) ∵当时， ， ， ∴； ． 故答案为：① ，② ． (2) ②； ③． 故答案为：③，④． （3） ． 7．观察下列各式： ；；…… 由上面的规律： (1)求的值； (2)求的个位数字； (3)你能用其它方法求出   的值吗？ 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1)利用规律，将代入计算即可； (2)先分别求得各项，可得各项的末位数的规律，再将余1，从而可得1的个位数字； (3) 设 ，再求得，两式相减即可． 【详解】（1）解：由题可知∶ ， ； （2）解： ∴(n为自然数) 的个位数字依次为1、3、9、7，且4个数一个周期． 原式共2025个数， ∴余1， 的个位数字为1． （3）解：设 ， 则 ， ． 8．观察下列各式 ； ； ； …… (1)根据以上规律，计算：______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律请你求出：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索规律，根据规律答题． （1）运用多项式乘多项式法则展开，合并同类项即得； （2）根据所列等式得出规律：等号右边为x的幂，x的指数为左边第二个因式第一项指数加1，据此即可得出结论； （3）原式乘以(2－1)，然后利用（2）中结论解答即可． 【详解】（1）解：，理由： ， ． 故答案为：． （2）解：∵； ； ； ……， ∴根据规律可得：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴ ． 9．阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律探索，乘方，理解材料的计算方法是关键． （1）根据材料的计算方法，找出规律即可求解； （2）根据题意，将原式变形得，运用材料提示方法计算即可； （3）根据材料提示方法得到，则或，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ， ∴； （2）解： ； （3）解：， ∴， 解得，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $