专题02 等腰三角形的性质与判定（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题02 等腰三角形的性质与判定（七大题型） 【题型一 根据等腰三角形的性质求有关的边长】...............................................................1 【题型二 根据等腰三角形的性质求角度】...........................................................................2 【题型三 等腰三角形与垂直平分线有关运算】....................................................................2 【题型四 判断等腰三角形的个数】........................................................................................3 【题型五 根据等腰三角形的存在性找点的个数】...............................................................4 【题型六 等腰三角形的判定】...............................................................................................5 【题型七 等腰三角形的判定与性质】....................................................................................7 【题型一 根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．等腰三角形底边长为4，其中一腰的长为9，它的周长是（    ）． A．17 B．22 C．17或22 D．13 2．若等腰三角形的两边长分别是4和8， 则它的周长是（   ） A．16 B．20 C．16 或 20 D．12或20 3．等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（    ） A． B． C．或 D．以上结论都不对 4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 5．在长度分别是的五根小棒中任选三根，共能围成（   ）种不同形状的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 6．一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 【题型二 根据等腰三角形的性质求角度】 1．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 2．等腰三角形中的顶角是，则另两个内角的度数分别为（   ） A． B． C． D．或 3．等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 4．若一个等腰三角形的底角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．等腰三角形中，有一个内角为，则该等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D． 6．等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（    ） A． B． C． D．或 【题型三 等腰三角形与垂直平分线有关运算】 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型四 判断等腰三角形的个数】 1．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 4．如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型五 根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．如图，在中，，为的中点，若，，求证：是等腰三角形． 2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 3．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 4．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 5．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【题型七 等腰三角形的判定与性质】 1．如图，和均为等腰三角形，且，，． (1)如图1，在中，是的中点，连接，求的度数； (2)如图2． ①若，求的长度； ②若，求的度数． 2．如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 4．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 1．在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．16 C．20或16 D．12 3．如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．已知：，上一点，在内部构造与相等的线段，如、、……，则这样的线段最多有（    ） A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 5．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 7．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等腰三角形的性质与判定（七大题型） 【题型一 根据等腰三角形的性质求有关的边长】...............................................................1 【题型二 根据等腰三角形的性质求角度】...........................................................................4 【题型三 等腰三角形与垂直平分线有关运算】....................................................................6 【题型四 判断等腰三角形的个数】........................................................................................9 【题型五 根据等腰三角形的存在性找点的个数】...............................................................13 【题型六 等腰三角形的判定】...............................................................................................17 【题型七 等腰三角形的判定与性质】.....................................................................................21 【题型一 根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．等腰三角形底边长为4，其中一腰的长为9，它的周长是（    ）． A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和周长的计算，由等腰三角形的定义可知，另一个腰长也为9，然后三边相加即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的周长为：， 故选：B 2．若等腰三角形的两边长分别是4和8， 则它的周长是（   ） A．16 B．20 C．16 或 20 D．12或20 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，分类讨论即可． 【详解】解：当三边长是4，4，8时，，不符合三角形的三边关系； 当三边长是8，8，4时，符合三角形的三边关系，此时周长是． 因此等腰三角形的周长为20． 故选：B． 3．等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（    ） A． B． C．或 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，分等腰三角形的腰长为或两种情况分类讨论即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时， 它的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，边长分别为、、，能构成三角形， 它的周长为． 故选：C． 4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（　　） A．17 B．22 C．13 D．17或22 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为9两种情况，结合三角形中任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则该等腰三角形的三边长分别为4，4，9， ∵， ∴此时不能构成三角形，故不符合题意； 当腰长为9时，则该等腰三角形的三边长分别为4，9，9， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为， 故选：B． 5．在长度分别是的五根小棒中任选三根，共能围成（   ）种不同形状的等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟记三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义即可得． 【详解】解： ①选三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形； ②选三根木棒，，不满足三角形的三边关系，即不能围成三角形； ③选三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形； ④选三根木棒，，满足三角形的三边关系且能围成等腰三角形； 即有3种不同的围法， 故选：B． 6．一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论，是解题的关键． 根据等腰三角形两边之比为，设等腰三角形两边长为，（），若腰为，底边为，此时无法构成三角形．若腰为，底边为，可以构成三角形．此时三边为、、，当底边时，三角形周长为．当腰时， 周长为，即得． 【详解】解：∵等腰三角形两边之比为， ∴设等腰三角形两边长为，（）， 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴无法构成三角形，三角形不存在． 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴可以构成三角形． 当底边时，． 腰长为． ∴此时三角形周长为． 当腰时，， 底边长为， ∴此时周长为． ∴这个等腰三角形的周长最大可以是 故选：D． 【题型二 根据等腰三角形的性质求角度】 1．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意； 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． 2．等腰三角形中的顶角是，则另两个内角的度数分别为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，正确掌握相关知识是解题的关键．理解等腰三角形的底角相等，结合顶角是以及三角形内角和定理，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，等腰三角形的底角相等， ∵等腰三角形中的顶角是， ∴底角度数为， 即另两个内角的度数分别为， 故选：B 3．等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用平角定义，分的角是底角的外角和顶角的外角两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：①当的角是底角的外角时，则底角度数为， 则它的顶角为； ②当的角是顶角的外角时，则顶角度数为； 综上，这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 4．若一个等腰三角形的底角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的两个底角相等得到另一个底角为，再利用三角形的内角和为求解即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的底角为， ∴该等腰三角形的另一个底角为， ∴它的顶角的度数为， 故选：C． 5．等腰三角形中，有一个内角为，则该等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，计算顶角的度数即可． 【详解】解：当为顶角时：顶角即为； 当为底角时：两个底角均为，顶角为； 综上，顶角可能为或， 故选：C． 6．等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义及三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，三角和为180度，即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为． 顶角的度数为：， 故选C． 【题型三 等腰三角形与垂直平分线有关运算】 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴. 故选：B． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 3．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得的度数，用的度数减去的度数，即可得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角． 4．如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线．首先连接，由的垂直平分线l交于点M，可得，又由，，证得，得出，，设，则， ，根据，求出，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线l交于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型四 判断等腰三角形的个数】 1．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 2．如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，根据得为等腰三角形，进而得，再根据角平分线定义得，则，进而得为等腰三角形，再通过计算得出，则为等腰三角形，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上所述：图中共有3个等腰三角形． 故选：C． 3．如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 4．如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，解决此题的关键是合理利用各个知识点之间的联系；先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义算出角度，再根据等角对等边判断等腰三角形即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∴，，是等腰三角形，共3个； 故选：B． 【题型五 根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 2．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 3．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解． 【详解】解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点， ， 是等腰三角形， 作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形， 所以，动点的个数有5个， 故选：B． 4．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【题型六 等腰三角形的判定】 1．如图，在中，，为的中点，若，，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，于是得到结论． 【详解】证明：，为的中点， ，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证结论成立； （2）根据等边对等角可证，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，从而可证，由（1）可知，等量代换可得． 【详解】（1）证明： 是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， 由可知， ， ． 3．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 4．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 5．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【题型七 等腰三角形的判定与性质】 1．如图，和均为等腰三角形，且，，． (1)如图1，在中，是的中点，连接，求的度数； (2)如图2． ①若，求的长度； ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①9；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可求解； （2）①由可证，可得； ②由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可求． 【详解】（1）解：是等腰三角形，是的中点， ， ； （2）①， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ； ②， 是等腰三角形， ， ，， ， ， . 由①得，， ， 的度数是． 2．如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由此即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，根据角度间的关系求出结果即可； （3）先根据周角的定义和等边三角形的性质求出，，再分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用等边对等角和三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由等边知，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 4．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 1．在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 2．若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．16 C．20或16 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系， 先根据绝对值和算术平方根的非负性得，求出值，再根据三角形三边关系判断可得答案. 【详解】解：∵实数x、y满足 ， ∴, 解得. 当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为8时，等腰三角形的周长为：,符合题意. 故选：A. 3．如图，在中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①；②；③若，则．④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键．根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∵ ∴， 故①正确； ∵和是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ，故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，平分， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故选：B． 4．已知：，上一点，在内部构造与相等的线段，如、、……，则这样的线段最多有（    ） A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，同样的方法可得，，再根据一个等腰三角形中不可能有两个角等于即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：，， 则这样的线段最多有8条， 故选：A． 5．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，合理分析图形是解题的关键． 分类讨论等腰三角形的形状，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况，如图①，，： ∴， ∴； 如图②，，， ∴，， ∴； 故选：D． 6．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 7．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识成为解题的关键． 如图：连接，利用线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作图可知：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $