第03讲 等边三角形的性质和应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第03讲 等边三角形的性质和应用 知识点1：等边三角形的关概念与性质 知识点2：等腰三角形的判定 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型一 利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：∵AB⊥MG， ∴∠BAG＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAG＝∠BAC﹣∠BAC＝30°， ∴∠G＝60°， 同理∠M＝∠N＝60°， ∴△MNG是等边三角形． ∴MG＝MN＝NG． 在Rt△ABM中， ∠M＝60°， ∴∠MBA＝30°， ∴MB＝2MA＝4， ∵AC⊥MG， ∴∠ACG＝90°， 在△ABM与△CAG中， ， ∴△ABM≌△CAG（AAS） ∴GA＝MB＝4， ∴MG＝GA+AM＝6， ∴△MNG的周长为MG+MN+NG＝3MG＝18． 故选：B． 【变式1】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝30°， ∵EC＝1.5， ∴CD＝2EC＝3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD＝CD＝3， ∴AB＝AC＝AD+CD＝6． 故选：C． 【变式2】如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5， ∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EC＝1， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4． 故选：C． 【变式3】如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为 　60cm　． 【答案】60cm． 【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长， 所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为， 故答案为：60cm． 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点， ∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB， ∴∠PBC＝30°， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠E＝30°， ∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°， 故选：C． 【变式1】如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 【变式2】如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【答案】D 【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°， ∴∠1+∠BAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝42°+60° ＝102°， 故选：D． 【变式3】如图，在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC，那么∠BOC是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，O为三条高线的交点， ∴BO平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故选：C． （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型三 等边三角形的判定】 【典例3】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D，连接AE、AD．求证：△AED是等边三角形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°， ∵AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D， ∴AE＝BE，AD＝CD， ∴∠BAE＝∠B＝30°，∠CAD＝∠C＝30°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C+∠CAD＝60°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∵DE∥BC， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠DCA＝30°， ∴∠CDB＝60°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB， ∴BC＝BD， ∴△BDC是等边三角形． 【变式2】已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE， ∵∠CDE＝120°， ∴∠CDF＝60°， ∵DF∥BA， ∴∠ABC＝∠CDF＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 【变式3】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 故答案为：30°． （2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB． ∴∠ADC＝∠AEB＝60°， ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【题型四 等边三角形的判定与性质】 【典例4】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∴BM+PB＝AB＝12cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2PB＝BM， ∴2PB+PB＝12cm， ∴PB＝4cm， ∴MC＝4cm． 【变式1】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD；同理可证CE＝OE； ∴△ODE的周长＝BC＝10． 【变式2】如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【答案】见解析． 【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴BC＝BD， ∴CE＝BD， ∴E是BD的中点， ∴AE是边BD的中线， ∵△ADB是等边三角形， ∴AE⊥BD． 一．选择题 1．已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案． 【详解】解：等边的一边长为4，则它的周长是， 故选：C 2．如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．3米 B．6米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：如图，根据题意米， ∵，， ∴米， ∴（米）． 故选． 4．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的等边三角形的判定与性质的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 根据，可得为等边三角形，继而由等边三角形三边相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 6．如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D 二、填空题 7．若等边的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，牢记等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于． 根据等边三角形的性质及已知条件即可直接得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边的周长为， ， ， 故答案为：． 8．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】过点作，设，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，，，在中，求得，表示出，根据是等腰三角形，，得到，即可求得线段的长． 【详解】过点作， 设， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题 9．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 10．在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）证明：在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 11．如图，在等边三角形中，是边上的中线， (1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的方法作图即可； （2）先利用等边三角形的性质和已知条件得到的长和的度数，再证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）解；如图所示，点E即为所求； （2）解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 12．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数是解题的关键． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 13．如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等边三角形的性质和应用 知识点1：等边三角形的关概念与性质 知识点2：等腰三角形的判定 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型一 利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【变式1】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【变式2】如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式3】如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形ABC木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为 　　． 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式1】如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式2】如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【变式3】如图，在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC，那么∠BOC是（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型三 等边三角形的判定】 【典例3】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D，连接AE、AD．求证：△AED是等边三角形． 【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【变式2】已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【变式3】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【题型四 等边三角形的判定与性质】 【典例4】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【变式1】如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【变式2】如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 一．选择题 1．已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．3米 B．6米 C．9米 D．12米 4．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，（如图2），则此时，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 6．如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若等边的周长为，则 ． 8．如图，在等边中，点、分别在边、上，，点在延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 三、解答题 9．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 10．在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 11．如图，在等边三角形中，是边上的中线， (1)尺规作图：在边上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求． 12．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 13．如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $