第02讲 等腰三角形的性质和应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第02讲 等腰三角形的性质和应用 知识点1：等腰三角形的关概念与性质 知识点2：等腰三角形的判定 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型一 根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　） A．14 B．19 C．11 D．14或19 【答案】B 【解答】解：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、8； ∵3+3＜8，∴不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为8，则其周长＝8+8+3＝19． 故选：B． 【变式1】△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴DC＝BD， ∵△ABC的周长是14， ∴AB+BD＝7， ∵AB＝5， ∴BD＝2， 故选：B． 【变式2】等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．17 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，易错点是题目中没有明确告诉等腰三角形的腰和底而忽视讨论．本题没告诉腰是4还是9，要分情况论．确定腰是9还是4后，再根据三角形三边关系看是否能构成三角形，最后确定第三边的长． 【详解】分两种情况讨论． 第一种情况，当一腰是4时，则底边为9，另一腰长为4．此时因为，不符合三角形三边不等关系，此种情况不成立； 第二种情况，当一腰是9时，则底边为4，另一腰为9．此时，符合三边不等关系．此时等腰三角形的三条边长分别为9、9、4．所以第二种情况下底边长为4． 综上所述，底边长为4． 故选：A． 【变式3】已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件；分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 综上，此三角形的周长是或． 【题型二 根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝AC， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：∵以顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BCD， ∵∠B＝30°，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BDC＝75°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝105°， 故选：C． 【变式2】如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．112° B．102° C．107° D．117° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵a∥b， ∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°， ∵∠2＝34°， ∴∠CAB＝73°， ∴∠DAB＝34°+73°＝107°， ∴∠1＝∠DAB＝107°， 故选：C． 【变式3】已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵一个等腰三角形的顶角等于140°， 且等腰三角形的底角相等， ∴它的底角＝（180°﹣140°）＝20°， 故选：B． 【题型三 等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【典例3】如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝35°， ∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝70°， ∴∠ACD＝∠ACE+∠BCE＝105°． 故选：B． 【变式1】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝64°， ∴∠C＝∠ABC＝64°， ∴∠A＝180°﹣64°×2＝52°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝52°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝12°， 故选：C． 【变式2】如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【答案】C 【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°， ∴∠A＝∠C＝32°， ∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q， ∴EA＝EB，QB＝QC， ∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°， ∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°， 故选：C． 【变式3】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．12 B．8 C．15 D．13 【答案】C 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC， ∵腰长AB＝10， ∴AC＝AB＝10， ∴△BEC周长＝10+5＝15． 故选：C． 【题型四 判断等腰三角形的个数】 【典例4】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， 是等腰三角形①． ， ， 是等腰三角形②． ，， ， ， 是等腰三角形③． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 【变式3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 【题型五 根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例5】如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解． 【详解】如图所示： ∴符合条件的点C的个数为8． 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 【变式1】如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 ， 以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有， 其中是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故选D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点． 【详解】解：如图所示， 共4个点， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型六 等腰三角形的判定】 【典例6】如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明； （2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）由（1）知，， ，， ， ． 【变式1】如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 【变式2】如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明； （2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）由（1）知，， ，， ， ． 【变式3】如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 【变式4】如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 【题型七 等腰三角形的判定与性质】 【典例7】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式2】如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明，进而可依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （2）先根据三角形外角性质求出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：是的外角， ， ，， ， ， 在中，， 由可知：， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可利用三角形外角的性质推出，由此即可证明结论； （2）根据三角形周长公式得到，由得到，再由已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴．             ∵是的垂直平分线， ∴，             ∴，             ∴，           ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的周长是13， ∴，        ∵， ∴，即，         ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． 【题型八 等腰三角形的实际应用】 【典例8】某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 【答案】B处到灯塔C的距离为海里． 【分析】本题主要考查的知识点是方向角的相关问题，三角形外角的性质，以及等腰三角形性质，根据题意算出，再利用外角知识判断出为等腰三角形，即可解题． 【详解】解：由题知，（海里）， ，， ， ， 海里， B处到灯塔C的距离为海里． 【变式1】如图，一船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，时到达处，从、两处分别望灯塔，测得，，求从处到灯塔的距离． 【答案】 【分析】根据，及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，进而得到，根据等腰三角形等角对等边可知，最后用路程公式求出的长即可求解． 【详解】 ，， ， ， ， ， ， 答：从处到灯塔的距离是海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质，根据已知条件求出角度得到等腰三角形是解题的关键． 【变式2】上午9时，一条船从海岛A出发，以（海里/时）的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得，．此时这艘船以的速度从海岛B前往灯塔C，当船到达灯塔C时是几点钟？ 【答案】下午2时 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，利用三角形外角性质求出，得到，再利用路程速度时间求出结果即可，灵活运用等腰三角形性质是解题关键． 【详解】解：（海里）， ∵， 且，， ∴， ∴， ∴（海里）， （小时）， 答：当船到达灯塔时是下午2时． 【变式3】如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，．    (1)求海岛与灯塔之间的距离； (2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)从海岛到灯塔的距离为45海里 (2)该船当天航行过程中至少还需补充5升油 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质是解决本题的关键． （1）先根据三角形的外角得到，然后根据等角对等边解题即可； （2）先计算出行驶的路程，然后乘以每海里耗油量解题即可． 【详解】（1）由题意得：（海里）， ， ， ， （海里）， 从海岛到灯塔的距离为45海里．    （2）这一天走的总路程：（海里）， 应耗油：（升）， （升）， 答：该船当天航行过程中至少还需补充5升油． 一、单选题 1．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 2．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意； 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． 3．如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再由角平分线求出，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，先证明，求解，再进一步求解可得答案. 【详解】解：∵，于点， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴，. 故选：B． 5．如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明，可得，即可解答． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：D． 6．在一个等腰三角形中，其中一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分度数为的角为底角和顶角两种情况，结合等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为分类讨论求解即可． 【详解】解：当度数为的角为底角时，则顶角的度数为， 当度数为的角为顶角时，则顶角的度数为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 7．非遗纸伞，传承千年．图是一伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，则下列判断不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 由，分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明，可得，． 【详解】 E，F分别是，的中点 ， 所以选项A正确， ，是公共边， ， 所以选项B，C正确 故选D． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 二、填空题 9．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由题意可得，推出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．如图，已知，，那么的度数是 度． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据等边对等角的性质，，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得；再根据等边对等角的性质，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出的度数，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 12．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，第个三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律探索，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握等边对等角．先根据等腰三角形的性质，得出，然后求出，，从而得出一般规律，最后得出答案即可． 【详解】解：，， ， ∵， ， ， ， ． ． ． 同理可得：． 以此类推，以为顶点的内角度数是． 以为顶点的内角度数是． 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且的周长等于． (1)求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟悉线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式推出，再由，可得； （2）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，则． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 14．如图，中，，，点在上，且，点在延长线上，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先证明是等腰直角三角形，从而可得，再求得，然后求得，从而可求； （2）先根据等量关系得出，根据线段的和差关系得出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形，． ∵， ∴， 在中，， ∴． 同理可得：， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）∵，，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，，，，点在边上，与交于点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，从而有，然后通过“”可证； （）由全等三角形的性质可得，根据等边对等角求的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）知：， ∴，， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等腰三角形的性质和应用 知识点1：等腰三角形的关概念与性质 知识点2：等腰三角形的判定 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【题型一 根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　） A．14 B．19 C．11 D．14或19 【变式1】△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．17 【变式3】已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是 ． 【题型二 根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【变式1】如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【变式2】如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．112° B．102° C．107° D．117° 【变式3】已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【题型三 等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【典例3】如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【变式1】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 【变式2】如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【变式3】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．12 B．8 C．15 D．13 【题型四 判断等腰三角形的个数】 【典例4】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【变式1】如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【题型五 根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例5】如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型六 等腰三角形的判定】 【典例6】如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 【变式1】如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式2】如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点． 求证： (1)是等腰三角形； (2) 【变式3】如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式4】如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【题型七 等腰三角形的判定与性质】 【典例7】如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【变式2】如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【题型八 等腰三角形的实际应用】 【典例8】某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得，，求B处到灯塔C的距离． 【变式1】如图，一船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，时到达处，从、两处分别望灯塔，测得，，求从处到灯塔的距离． 【变式2】上午9时，一条船从海岛A出发，以（海里/时）的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得，．此时这艘船以的速度从海岛B前往灯塔C，当船到达灯塔C时是几点钟？ 【变式3】如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，．    (1)求海岛与灯塔之间的距离； (2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？ 一、单选题 1．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 2．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 3．如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在一个等腰三角形中，其中一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（   ） A． B． C．或 D．或 7．非遗纸伞，传承千年．图是一伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，则下列判断不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 9．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 10．如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ． 11．如图，已知，，那么的度数是 度． 12．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，第个三角形的底角度数是 ． 三、解答题 13．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且的周长等于． (1)求的长； (2)若，，求的度数． 14．如图，中，，，点在上，且，点在延长线上，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 15．如图，，，，点在边上，与交于点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $