精品解析：福建省泉州第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

泉州一中2026届高三第一次月考数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】对等式两边求导，再赋值计算即得. 【详解】函数，求导得，则， 所以. 故选：B 3. 已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得扇形圆心角，然后由扇形面积公式可得答案. 【详解】设扇形半径为r，周长为C，扇形圆心角为，面积为S. 由题有. 则. 故选：B 4. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象找出与的解集，求解作答. 【详解】由得，同号． 由图得当时，单调递增，；当，时，单调递减，． 故当时，，，； 当时，，，． 综上，的解集为． 故选：D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 6. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题等价于在上单调递增，再利用单调性求出参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立，令函数， 则函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设导函数的原函数为，利用导数判断单调性即可借助单调性得到答案. 【详解】，即， 由的原函数为， 从而可构造函数， 则， 所以在R上单调递增， 故，即， 整理得. 故选：C 8. 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题. 【详解】选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误. 选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确， 选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确， 选项D：令，即， 令，则令， 则 当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等， 当时同样切线方程不为，故选项D错误. 故选：BC. 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为4 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其变形形式逐项计算即可. 【详解】对于A，由基本不等式，， ， ， ， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， ， ， ， ，即， 的最小值为2， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， ， 当且仅当， 解得：，时取等号，故C正确； 对于D，， ， 又， 则当且仅当，即，时取等号， ， 即有最大值为， 故D正确. 故选：ACD 11. 函数为奇函数，函数（ ） A. 实数的值的值为2 B. 函数为上的单调递增函数 C. 不等式的解集为 D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则集合的非空子集个数为________个 【答案】31 【解析】 【分析】先求出集合的元素，从而求出其非空子集个数. 【详解】因为，所以，所以， 所以有，则集合中元素有5个，则集合的非空子集个数为.故答案为31. 【点睛】本题主要考查集合子集个数问题，确定集合子集个数的关键是确定集合的所有元素，然后利用公式可求，若集合含有个元素，则其子集有个，非空子集有个，真子集有个. 13. 已知､､，且，则的大小关系为：__________（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出的大小关系. 【详解】令， 则， 则，得； 由，得. 从而可得. 故答案为： 14. 已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，通过利用导数研究的单调性以及分段函数的性质，找出的单调递增区间即可.利用导数研究单调性，再通过题目中的条件函数的最大值为2，对分情况讨论即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，，解得， 所以当时，，当时，， 所以时，函数的单调递增区间为. （2）因为时，恒成立，故在上的最大值为. 设，则， 故或时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 且的极大值为，令，则， 故，故， 故当时，，且在上的最大值为. 若，则由的单调性可得在为减函数， 故，不合题意，舍； 若，则由的单调性可得在上为减函数， 在为增函数，在上为减函数，且， 而，故，故，不合题意，舍； 若，同理可得， 而，故，符合； 当，由的单调性可得在为减函数，故， 符合； 综上，. 故答案为：， 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）化简的解析式； （2）若为锐角，且，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得； （2）利用条件先求出和，再由展开求得和，最后由两角差的正弦公式求得的值，结合角的范围即得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 即，即， 由题意，，则， 故，， 因 ，则， 由， 因为锐角，故，则得. 16. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元 【解析】 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. 【小问2详解】 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 17. 已知函数，. （1）若在上恒成立，求a的取值范围; （2）当时，证明:. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由恒成立得出的大致范围，然后求出函数的单调性，先增后减有最大值，最大值小于0即可； （2）将不等式进行变形，得到证明，利用凹凸翻转构造函数，得到两个函数各自的最值，即，即证. 【小问1详解】 因为，则； ，由，得；由，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时，等价于，等价于 令，，则， 由，得，由，得； 所以在在上单调递增，在上单调递减，所以 令，，则， 易知函数在上单调递增，，； 故存在，使得，即， 且由，得，由，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 所以，即，证毕. 18. 已知函数 （1）若在处的切线方程为， 求的值; （2）求的单调区间; （3）若对于任意，都有 ，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在和上单调递增， 当时，在，，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）由切线方程结合导数的几何意义求解； （2）利用导数分类讨论求的单调区间； （3）利用函数单调性解决恒成立问题. 【小问1详解】 函数 ，， ，， 在处的切线方程为，则有，解得. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，即在和上单调递增， 当时，，即在和上单调递增， 当时，， 令，解得， 若，， 若，， 即函数在，，上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在和上单调递增， 当时，在，，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上单调递增， 恒有， 当时，在上单调递减，存在，使得，故不合题意， 综上，a的取值范围为. 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 【答案】（1）; （2）（i）证明：，其中， 则，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点. 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证. （ii）证明：由（i）知成立，下面证明. 由（i）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，然后分类讨论时，是否恒成立，即可求解； （2）（i）对函数求导，确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决； （ii）由（i）知成立，只要证出即可，构造新函数，通过函数的单调性证明成立，从而证得不等式. 【小问1详解】 ，求导可得， 观察可知在上单调递增，所以. ①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，在上单调递增， 所以，使得，当时，，在上单调递减， 所以时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2026届高三第一次月考数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 15 3. 已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域的解集是均为R，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为4 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 函数为奇函数，函数（ ） A. 实数的值的值为2 B. 函数为上的单调递增函数 C. 不等式的解集为 D. 若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，则集合的非空子集个数为________个 13. 已知､､，且，则的大小关系为：__________（用“”连接） 14. 已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）化简的解析式； （2）若为锐角，且，，求的值. 16. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 17. 已知函数，. （1）若在上恒成立，求a的取值范围; （2）当时，证明:. 18. 已知函数 （1）若在处的切线方程为， 求的值; （2）求的单调区间; （3）若对于任意，都有 ，求a的取值范围. 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $