4.4.3不同函数增长的差异（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

该高中数学课件聚焦一次函数、指数函数与对数函数的增长差异，通过情景导入衔接旧知，以具体函数（如\(y=2^x\)与\(y=2x\)、\(y=\lg x\)与\(y=\frac{1}{10}x\)）为载体，借助表格数据与图像对比，构建从特殊到一般的知识支架，帮助学生理解不同函数增长规律。 其亮点在于运用数学眼光观察函数图像增长快慢，通过数学思维推理增长差异（如指数函数后期“爆炸增长”、对数函数增长趋缓），以数学语言（表格、图像）描述规律。采用探究式教学（提出问题-举例分析-总结特征），课堂小结从具体到抽象概括“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”特点。学生能提升观察与推理能力，教师可直接利用题型示例与易错点分析优化教学。

人教版2019高一数学（必修一）第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 4.4.3不同函数增长的差异 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异. 2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。 3.了解函数的建模过程。 情景导入 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 新知探究 探究：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？ 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 … … … 不妨以函数和为例. 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 可以看到，函数和的图象 有两个交点. 在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化. 下面在更大的范围内，观察和的增长情况.从表中可以看到，当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道. 0 1 0 2 4 4 4 16 8 6 64 12 8 256 16 10 1024 20 12 4096 24 … … … 综上所述，虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个当时，恒有. 一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似.即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度. 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长. 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？ 探究 不妨以函数和为例. 利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象. 可以看到，虽然它们在上都单调递增，但增长速度存在明显的差异. 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 … … … 函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化.随着的最大，函数的图象离轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. 例如而这说明，当，即时，与相比增长就很慢了. 思考 如果将放大1000倍，再对函数 的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着 的增大，一次函数保持固定的增长速度，而 对数函数的增长速度越来越慢.不论的值 比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由 于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个， 当时，恒有. 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律. 探究 类比上述过程 (1)画出一次函数对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； (2)试着概况一次函数，对数函数和指数函数的增长差异； (3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义. 1. 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 y3 5 30 55 80 105 130 155 其中关于x呈指数增长的变量是 y2 课本练习 2.(1)(2)(3)分别是y=3x与y=5x在不同范围内的图象，估算出使3x > 5x的x的取值范围(参考数据：30.27= 1.35,32.17= 10.85).　　　 3.如图，对数函数y=lgx与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个 公共点, 求一次函数的解析式。　　　 解： 4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是( ) A. y=1-x-1，x∈(0,+∞) B. ，x∈(0,+∞) C. y=lnx D. y=x-1，x∈(0,+∞) y=f(x) 1 1 y x O C 题型分类讲解 1.当 越来越大时，下列函数增长速度变化最快的是( ) B A. B. C. D. 解析 因为指数函数是几何级数增长,所以当 越来越大时,增长速度变化最快.故选B. 题型1 不同函数增长的差异 2.［陕西汉中部分学校2025高一月考］以下四种说法中，正确的是( ) D A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.已知，则对任意的， C.对任意的， D.不一定存在，当时，总有 解析 对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与 一次项系数不确定，增长速度不能比较大小，故A错误； 对于选项B，取,，此时 ，故B错误； 对于选项C，当时，结合幂函数与对数函数的图象易知 不恒成立，故C错误； 对于选项D，当时，结合指数函数、幂函数和对数函数的图象易知，一定存在 ，使得当 时，总有，但若去掉限制条件“ ”，则结论不成立，故D正确.故选D. 20 3.（多选）［辽宁盘锦辽河油田一高2025高一月考］函数,, 在区 间 上( ) ABC A.的递增速度越来越快 B. 的递减速度越来越慢 C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于 的递减速度 解析 作出三个函数在区间 上的图象，如图所示， 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知在区间 上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误.故选 . 21 4.［安徽安庆2025高一期末］从甲地到乙地的距离约为 ，经多次实验得到一辆汽车每小时 耗油量单位：与速度单位： 的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是 ( ) B A. B. C. D. 题型2 不同函数图象与性质的应用 解析 由图表中数据可知函数模型满足①定义域为 ；②在定义域内单调递增；③函数图象 过原点. 函数和在定义域内单调递减，不满足条件②，故 错误； 函数 中，0不在函数的定义域内，不满足条件①,故D错误； B选项：当,,时， 满足条件①②③，故B正确.故选B. 22 5.［江苏南京六校2025高一期中联考］某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三 种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如图所示： 横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息， 若使注入量最多，下列说法中错误 的是( ) D A.注入时间在3小时以内（含3小时），采用方案一 B.注入时间恰为4小时，不采用方案三 C.注入时间恰为6小时，采用方案二 D.注入时间恰为10小时，采用方案二 解析 对A，由题图可知，注入时间在3小时以内（含3小时）时，方案一的注入量大于其他两种 方案，故A正确； 对B，当注入时间恰为4小时时，由题图可知，方案三的注入量小于其他两个方案，故B正确； 对C，当注入时间恰为6小时时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确； 对D，当注入时间恰为10小时时，由题图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误.故选D. 23 6.已知，，，，则，，， 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 解析 是上的增函数,故,即 . 由是上的减函数,得,即 . 由是上的增函数,得,即 . 综上所述, .故选A. 24 7.当时，，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 易错点 忽略函数图象增长的快慢而致错 解析 在同一坐标系中画出函数,,的图象如图所示,在区间 内从上往下 依次是,,的图象, .故选B. 多种解法 取 ,经检验知B正确.故选B. 函数与的图象在区间上时,的图象在 图象的上面,不易画出来. 25 课堂小结 1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数f(x)=kx+b，k>0，指数 函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数 在定义域上的 不同增长方式. 2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2. 答案：y2　 $