5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、方案选择 1．某校六年级（1）班学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，已知45座客车租金220元，60座客车租金300元．问： (1)这个学校六年级（1）班学生多少人？（请用方程解） (2)如果你是班长，你认为应该怎样租车，最经济合算？ 2．某面粉加工厂现有面粉吨，若在市场上直接销售面粉，每吨可获取利润元：若制成面包销售，每吨可获取利润元；制成蛋糕销售，每吨可获取利润元．该工厂的生产能力是：若制成面包，每天可加工吨；制成蛋糕每天可加工吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受空气湿度条件限制，这批面粉必须在天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成蛋糕，其余直接销售面粉． 方案二：将一部分制成面包，其余制成蛋糕销售，并恰好天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 3．某服装厂生产一种围巾和手套，每条围巾的定价为50元，每双手套的定价为20元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案①：买一条围巾送一双手套； 方案②：围巾和手套都按定价的付款． 现某客户要到该服装厂购买围巾20条，手套x双 (1)若该客户按方案①购买，则需付款____________元（用含x的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，则需付款____________元（用含x的代数式表示）； (2)若，则通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． (3)当购买多少双手套时，两个方案购买的费用相等． 4．为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 5．某中学准备组织七年级学生看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，票价每张20元．七（1）班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：“50人以上的团体票有两种优惠方案， 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，有7人可免票．” (1)七（2）班有61名学生，选择哪种方案更省钱？ (2)七（1）班班长思考一会儿说：“我们班有50人以上，无论选择哪种方案，要付的钱是一样的．”你知道七（1）班有多少名学生吗？ 二、数字问题 6．（1）如图，用十字框框住月历中的五个数无论怎样上下左右移动，框中五个数的和与最中间的数有关，请写出这个关系，并说明理由；这五个数的和可以是95吗？为什么？ （2）一个两位数，交换它的十位和个位，得到一个新的两位数，减去原数，差是9的倍数吗？请说明理由． 7．定义：对于一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，同除以11所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数51，新两位数与原两位数的和为，和66除以11的商为，所以． (1)计算：____； (2)若一个“相异数”的十位数字是，个位数字是，且，求相异数； (3)小慧同学发现若，则“相异数”的个位数字与十位数字之和一定为7，请判断小慧的发现是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例． 8．如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 9．将奇数1至2025按照顺序排成下表： 记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17 (1)______； (2)若，推理______；______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100，若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由． (4)用m、n的式子表示=______ 10．我国古代夏禹时期的“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方；用今天的数学符号表示，“洛书”就是一个把这个连续整数填入其中的三阶幻方；幻方需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)按《论语》十二章，图1中空格应填字，“夫”字所对应“洛书”中的数字是 ： (2)如图2，三阶幻方中间的数字是．用的代数式表示幻方中个数的和为 (3)图3是一个三阶幻方，求出标有的方格中所填的数是多少？ 三、几何问题 11．已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 12．如图1，当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到6条线段；如图3，当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题． (1)当线段上有4个点时，可将线段分成________个部分，可得到________条线段． (2)若在线段上得到66条线段，则线段上除端点之外还有多少个点？ 13．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 14．如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 15．如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)这个学校六年级（1）班有学生人． (2)租用45座客车辆，60座客车辆，最经济合算 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，以及方案问题，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）设这个学校六年级（1）班有学生人，根据若租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，建立方程求解，即可解题； （2）分别算出若全租用45座客车，需要车的辆数，若全租用60座客车，需要车的辆数，再结合45座客车租金220元，60座客车租金300元，讨论得到若两种类型的车都租用，应尽可能的多租用45座客车，费用才会较少，再结合人数分析列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设这个学校六年级（1）班有学生人， 根据题意得：， 解得， 答：这个学校六年级（1）班有学生人． （2）解：，即若全租用45座客车，需要辆， 费用为（元）， ，即若全租用60座客车，需要辆， 费用为（元）， 因为， 所以若两种类型的车都租用，应尽可能的多租用45座客车，费用才会较少， 可考虑租用45座客车辆，60座客车辆，且刚好装完， 费用为（元）， 因为， 所以租用45座客车辆，60座客车辆，最经济合算． 2．方案二获利最多，理由见解析． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数乘法的应用，根据方案一：最多生产制成蛋糕（吨），其余的直接销售面粉，即直接销售面粉（吨），求出利润；方案二：设生产天制成面包，则天制成蛋糕，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润，比较即可得到结果，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键． 【详解】解：方案一：最多生产制成蛋糕（吨），其余的直接销售面粉，即直接销售面粉（吨）， 则利润为：（元）； 方案二：设生产天制成面包，则天制成蛋糕， 根据题意得：， 解得：， ∴天制成面包，共（吨），天制成蛋糕，共（吨）， 则利润为：（元）， ∵， ∴方案二获利最多． 3．(1)，； (2)按方案①购买较为合算，计算见解析； (3)当购买50双手套时，两个方案购买的费用相等． 【分析】（1）根据题意，按方案①购买，则需付款元，按方案②购买，则需付款元； （2）代入代数式计算代数式的值，比较大小解答即可． （3）根据题意建立方程解答即可． 本题考查了列代数式，求代数式的值，解一元一次方程，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得按方案①购买，则需付款元，按方案②购买，则需付款元； 故答案为：，． （2）解：当时， ，， 由， 故按方案①购买较为合算． （3）解：根据题意，得， 解得， 答：当购买50双手套时，两个方案购买的费用相等． 4．(1)乙校单独购买服装应付元． (2)甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； (3)最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 【分析】考查一元一次方程的应用及方案选择问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出乙校参加演出的人数即可求解； （2）甲校的人数多于乙校的人数，可得甲校服装的单价为50，乙校服装的单价为60元，等量关系为：甲校服装的总价乙校服装的总价，把相关数值代入求解即可； （3）比较校合买服装的总价钱以及按照单价元买时的总价钱即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：甲校有50人参加演出，则乙校参加演出的人数为：（人）， ∴乙校单独购买服装应付：（元） 答：乙校单独购买服装应付元； （2）解：设甲校人，则乙校人， 依题意得，甲校的人数多于乙校的人数，则, ∴， 解得：， ∴（人）， 答：甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； （3）解：甲校有人参加演出，乙校有人参加演出， 两校联合：元， 而此时比各自购买节约了：元， 若两校联合购买了套只需：元， 此时又比联合购买每套节约：元， 因此，最省钱的购买方案是两校联合购买套服装， 即比实际人数多买套， 答：最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 5．(1)七（2）班班长应选择方案二 (2)七（1）班有 63人 【分析】（1）根据题意分别计算出两种方案的费用，选择费用较少的即可； （2）假设七(1)班有x人，根据两种方案价钱相同求出x的值即可． 本题主要考查了有理数的混合运算及运用一元一次方程解应用题，正确的列出算式及方程是解题的关键． 【详解】（1）解：方案一： (元)， 方案二：(元)， 因为 ， 故七(2)班班长应选择方案二． （2）解：假设七(1)班有x人，根据题意得 ， 解得 ． 答:七(1)班有 63人． 6．（1）这五个数的和不能是95；理由见解析；（2）差是9倍数．理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的5倍是解题的关键． （1）设中间的数为x，则另外四个数分别为，，，，将五个数相加即可得出结论；根据5个数的和=95得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，由x的位置确定结论即可； （2）设这个十位数个位上的数字为b，十位数字为a，则这个两位数为，作差得出结论． 【详解】解：（1）设十字框正中间的数为x，则正中间数的上、下、左、右的数分别为，，，， ∴这五个数的和为， 令， 解得， ∵19是第三行最右边的数，不能是正中间的数， ∴不能为95， ∴这五个数的和不能是95； （2）设这个十位数个位上的数字为b，十位数字为a，则这个两位数为， 交换它的十位和个位，得到一个新的两位数为， ∴， ∴新的两位数减去原数，差是9倍数． 7．(1)9 (2)46 (3)正确，理由见详解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解“相异数”的意义是正确解答的关键． （1）根据“相异数”的定义进行计算即可； （2）根据“相异数”的定义，由，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y； （3）设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：由“相异数”的十位数字是，个位数字是，且， 得，， 解得， ， 相异数是46； （3）解：正确； 理由如下：设“相异数”的十位数字为，个位数字为， 则， 由得，， 即：， 因此，判断正确． 8．(1)5 (2)①3 ②1 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）已知的四个数的和为； （2）①由题意可知， ； ②由①知， 这四个数的平均数为 9．(1)41 (2)169，5 (3)不能，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据题意可知表示第4行第3个数，每行都有6个数，先求出对应的偶数，再得出奇数，然后即可计算出相应的值； （2）根据题意，可以得到，然后m为整数，，即可得到m、n的值； （3）设4个阴影格子中的数分别为,即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （4）根据表格中的数据和发现，可以用含m、n的代数式表示出. 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：41； （2）解：， ∴， 即. ∵m是正整数，， ∴. 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于100. 理由：设4个阴影格子中的数分别为, 由题意可得，, 解得， 为整数， 所覆盖的4个数之和不能等于100； （4）解：由题意可得，， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 10．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，根据幻方的定义，构造关于的一元一次方程是解题的关键． （1）对应幻方中的各数，可得出“夫”字所对应“洛书”中的数字是； （2）将对角线上的三个数相加，可得出对角线上三个数之和为，结合“幻方的每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等”，可得出每行的数字之和为，再，即可求出结论； （3）根据“每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等”，可补充图3中的部分数据，结合第一列及对角线上三个数字之和相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：“夫”字所对应“洛书”中的数字是． 故答案为：； （2）， 对角线上三个数之和为， 幻方中个数的和为． 故答案为：； （3）在图中补充部分数据，如图所示． 根据题意得：， 解得：． 答：标有的方格中所填的数是． 11．(1) (2)①或 ②15 【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题关键． （1）设的度数为，根据题意列出方程得出，然后利用角平分线计算即可； （2）①根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：情况一：如图1，当在右侧时，情况二：如图2，当射线在左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平分线作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：设的度数为． 由题意得， 解得． 所以． 因为平分，平分． 所以，． 所以 ． （2）①因为平分．平分， 所以，． 分类讨论，情况一：如图1，当在右侧时， ． 情况二：如图2，当射线在左侧时， ． 综上所述，的度数为或． ②如图3．因为起始位置时，，所以在的右侧． 因为在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒． 所以． 因为射线平分． 所以． 因为． 所以． 因为射线平分． 所以． 又因为， 所以． 解得． 答：的值为15． 12．(1)5，15 (2)线段上除端点之外还有10个点 【分析】本题主要考查了图形类规律、一元二次方程的应用等知识点，找到图形变化规律是解题的关键． （1）依次求得线段上有1个、2个、3个点时分成的部分和线段条数，找到变化规律，再利用规律即可解答； （2）先确定线段的总数与n的关系，列方程求解即可。 【详解】（1）解：当线段上有1个点时，可将线段分成2个部分，可得到（条）线段； 当线段上有2个点时，可将线段分成3个部分，可得到（条）线段； 当线段上有3个点时，可将线段分成4个部分，可得到（条）线段， ∴当线段上有4个点时，可将线段分成5个部分，可得到（条）线段。 故答案为：5，15。 （2）解：由（1）得当线段上有n个点时，可将线段分成个部分，可得到条线段， 令，整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴线段上除端点之外还有10个点． 13．(1)30 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）把数值代入，进行计算，求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于进行列式计算，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴所在射线是的平分线； （3）解：设， 则， ∵，， ∴或 ∴或， 即或 ∴或． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 15．(1) (2) (3)t的值为30、50、60 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的性质、动态角度的表示及方程思想的应用，解题的关键是通过设未知数表示角度（尤其是动态问题中用时间t表示角度变化），利用角之间的等量关系建立方程求解． （1）设，则，根据列方程，求出x后，由计算结果． （2）用时间t表示、，分别推导和，得出两者的倍数关系． （3）用t表示、、的位置角度，分三种情况、、为角平分线），根据角平分线性质列绝对值方程，求解并筛选符合的解． 【详解】（1）解：设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：依据题意可知：， ∴， ， ∴． （3）解：设射线定为旋转时的初始位置，即，按顺时针旋转一周：， 则射线：从（）顺时针运动，速度，位置为：（单位为度，顺时针角度随运动增大）． 射线：从（）顺时针运动，由“是的角平分线”推导： 为顺时针位置，设） ， 由，得 ，即，射线的位置为：（单位为度）． 射线：从 （）逆时针运动，速度（逆时针即顺时针角度减小），位置为：（单位为度）， 当时，下面分三种情况讨论： 情况1：平分 ∵， ∴ ，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与N重合，不合题意，舍去）． 情况2：平分，则， ∴，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与M重合，不合题意，舍去）， 情况3： 平分 ， （同上）， ∴，解得（如图是角平分线）（另一解时，N与M重合，不合题意，舍去）， 综上，t的值为、、． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $