上海市四校2025-2026学年高三上学期10月阶段检测数学试题

上海市四校2025-2026学年高三上学期10月阶段检测数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 1. 设集合，且，则____. 2. 已知等比数列中，，则__________. 3. 的展开式中的系数是__________. 4. 已知函数，则______． 5. 在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 6. 一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____. 7. 已知函数是偶函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________. 8. 已知函数区间内没有零点，则的取值范围是__________. 9. 如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 10. 若复数满足，且，在复平面内，在所对应的点中随机取出三个点，则这三个点两两之间的距离都不超过的概率为______． 11. 已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是_____________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 13. 设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（ ） A. B. C. D. 14. 已知、是关于的方程的两个不同实数根，则经过两点、的直线与双曲线的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 根据的值来确定 15. 已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（ ） A. p、q均是假命题 B. 是真命题，是假命题 C. p、q均是真命题 D. 是假命题，是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 16. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值以及自习时间在[100，150]内的学生人数； （2）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，且D、E分别是AC、的中点. （1）证明：； （2）求直线BD与平面ABE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 18. 已知函数. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若是的极大值点，求的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为.过点的直线交椭圆于P、Q两点. （1）若的离心率为，求的值； （2）若为等腰三角形且在第一象限，求点的坐标； （3）设直线OQ交椭圆于另一点，若，求的取值范围. 20. 若集合M，N满足：对任意，都有，且对任意，都有，则称M，N互为对偶集.已知函数，定义，. （1）当时，求证：对于任意，都有； （2）证明：存在，使得无论取何值，与互为对偶集； （3）若，求的取值范围. 上海市四校2025-2026学年高三上学期10月阶段检测数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】10 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 【12题答案】 【答案】D 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：在直三棱柱中中，因为分别是的中点,所以, 由直三棱柱中面, 所以面，因为在面内，所以, 因为在中，，且是的中点,所以, 因为,且在面内， 所以面,因为在面内,所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）证明:当时，， 则，因此在上是严格增函数， 而时，，有，则， 故. （2）证明:， 取，下证与互为对偶集． ，则，即 ， 由定义得，同理可得， 故当时，与互为对偶集． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $