精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025—2026学年度第一学期月考 高二数学试卷 考试时间：80分钟 分值：150 命题人：郑连友 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（   ） A. x B. y C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解. 【详解】由题意得的斜率为， 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算计算可得. 【详解】∵， 故选:B 3. 已知点，点，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中点坐标公式直接求解即可. 【详解】，，根据中点坐标公式可得：线段中点坐标为. 故选：B. 4. 直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得解出即可求解. 【详解】由题意有：， 所以交点坐标为. 故选：A. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 6. 圆的半径为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解. 【详解】根据题意，化简得圆，半径， 故选：D. 7. 已知正方体棱长为1，则正方体的体对角线长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征即可求解. 【详解】由题意有， 故选：D. 8. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量坐标为则下列结论正确的是（     ） A. 该向量模为2 B. 该向量的相反向量为 C. 与该向量平行的单位向量是 D. 该向量为零向量 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量的相关概念逐一验证即可求解. 【详解】由向量的坐标为，得向量的模为2，故A正确；D错误； 该向量的相反向量为，故B正确； 与该向量平行的单位向量为，故C错误， 故选：AB. 10. 下列说法错误的是（     ） A. 任何直线的方程都能用点斜式表示 B. 直线在坐标轴上的截距是距离 C. 两直线平行，斜率相等 D. 直线斜率的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线斜率、直线方程相关概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，斜率不存在的直线无法用点斜式表示，A错误； 对于B，直线在轴上的截距为直线与轴交点的横坐标；直线在轴上的截距为直线与轴交点的纵坐标；截距不是距离，B错误； 对于C，两直线若斜率均不存在，也是平行关系，C错误； 对于D，由直线斜率定义知直线斜率的取值范围为，D正确. 故选：ABC. 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 是等腰直角三角形 D. 与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误. 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一向量坐标为，则这个向量的模等于_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长坐标运算直接求解即可. 【详解】向量的模等于. 故答案为：. 13. 点到直线的距离为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可得出． 【详解】由点到直线的距离为有， 故答案为：. 14. 已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知两直线，．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； 【答案】 【解析】 【分析】先求交点，由直线垂直得斜率，最后利用点斜式即可求解. 【详解】由题意有：，所以交点为， 由直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以，化简得. 16. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，求对角线的长． 【答案】 【解析】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】由题意有：，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 17. 求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】或 【解析】 【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可. 【详解】（1）当截距为0时：直线为。 （2）当截距不为0时，设截距为,则直线为，将代入解得， 所以直线为. 综上所述：直线为或. 18. 如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. （1）求线段BN的长： （2）求异面直线BA1与CB1夹角余弦； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出的长； （2）求出利用向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得， 故． 【小问2详解】 依题意得， 故，则， ， ， 即异面直线BA1与CB1夹角余弦值为. 19. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期月考 高二数学试卷 考试时间：80分钟 分值：150 命题人：郑连友 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的斜率为（   ） A. x B. y C. 2 D. 1 2. 已知向量，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知点，点，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 圆的半径为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知正方体棱长为1，则正方体的体对角线长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上答案都不对 8. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量坐标为则下列结论正确的是（     ） A. 该向量模为2 B. 该向量的相反向量为 C. 与该向量平行的单位向量是 D. 该向量为零向量 10. 下列说法错误的是（     ） A. 任何直线的方程都能用点斜式表示 B. 直线在坐标轴上的截距是距离 C. 两直线平行，斜率相等 D. 直线斜率的取值范围是 11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 是等腰直角三角形 D. 与平行的单位向量的坐标为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一向量坐标为，则这个向量的模等于_________ 13. 点到直线的距离为_______ 14. 已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知两直线，．求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； 16. 如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，求对角线的长． 17. 求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 18. 如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. （1）求线段BN的长： （2）求异面直线BA1与CB1夹角余弦； 19. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $