专题33：直线的斜率与直线的方程 （3大考点+11大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题33 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 一、直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二．直线的斜率 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即. 2.斜率的计算公式： 定义 斜率的定义式 两点式 过两点，的直线的斜率公式为 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在. 3.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 三．直线的平行于垂直 定义 平行 当存在时，两直线平行，则 当不存在时，则两直线的倾斜角都为 垂直 当存在时，两直线垂直，则 当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为 【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况. 四．直线的方程 直线方程 适用范围 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线 一般式 无局限性 五．特殊的直线方程 已知点，则 类型 直线方程 与轴垂直的直线 与轴垂直的直线 考点一 直线的倾斜角与斜率 题型1：求直线的倾斜角（已知斜率/两点/直线方程） 【例1】（2023·上海嘉定·统考一模）直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【例3】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【例4】（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 【例5】（2023·上海徐汇·统考一模）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是 A． B． C． D． 题型02：求直线的斜率（已知两点/倾斜角/直线方程） 【例7】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【例8】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例9】（2024高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 题型03：斜率与倾斜角的的关系 【例10】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 【例11】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【例12】（23-24高二上·甘肃白银·期中）设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【例13】（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，不正确的有（       ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 题型04：直线与线段相交求斜率范围 【例13】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例14】经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围． 题型05：三点共线问题 【例15】若三点共线，则a的值为_________． 【例16】若，，三点共线，则（       ） A． B． C． D． 考点二 求直线的方程 题型06：直线方程相关概念辨析 【例17】下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．经过两点，的直线方程为 【例18】（23-24高二·全国·课后作业）下列命题，错误的个数是（    ） ①任意一条直线一定是某个一次函数的图像； ②关于x的一次函数的图像是一条直线； ③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程； ④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线． A．1 B．2 C．3 D．4 【例19】下列四个命题中真命题有_________个． ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两点的直线都可以用方程表示； ③不经过原点的直线都可以用方程表示； ④经过定点的直线都可以用方程表示． 【例20】（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 角度07：求直线方程 【例21】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【例22】（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例23】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 【例24】（23-24高二上·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【例25】根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5. 【例26】（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 【例27】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； (2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【例28】1.（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点且法向量为的直线l的一般式方程是______． 2.（2023·上海·复旦附中高三）若直线过点 ，则它的点法向式方程为____________. 3.（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过点，且与直线垂直的直线的点法向式方程为______； 题型08：由两直线平行（垂直）求直线方程 【例29】（23-24高二上·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 【例30】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【例31】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【例32】（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【例33】（2023•青浦区二模）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为 　　． 【例34】（23-24高二上·江西景德镇·期中）求满足下列条件的直线方程． (1)直线过点，且与直线平行； (2)直线过点，且与直线垂直． 考点三 直线方程的综合应用 题型09：直线过定点问题 【例35】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【例36】（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【例37】（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 题型10：直线在两坐标轴上的截距问题 【例38】（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例39】（25-26高二上·全国·课后作业）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例40】（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 【例41】（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是________ 题型11：直线与坐标轴围成的三角形问题 【例42】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【例43】已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 【例44】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 【例45】已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. （1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； （2）求△OAB面积的最小值. 【例46】过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点． (1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程； (2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程． 【例47】直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)求的最小值及此时直线l的方程. 【例48】（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【例49】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【例50】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 一、填空题 1．（2024上海春考）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 　　． 2．【2021年上海市高考数学第11题】已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　　　． 3．（2021•上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为　　． 4．(2020年上海市高考数学第10题)已知椭圆C：1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是　　　　． 5．(2019年上海市高考数学第13题)已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题33 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 一、直线的倾斜角 1.倾斜角的定义 （1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二．直线的斜率 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即. 2.斜率的计算公式： 定义 斜率的定义式 两点式 过两点，的直线的斜率公式为 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在. 3.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 斜率 不存在 三．直线的平行于垂直 定义 平行 当存在时，两直线平行，则 当不存在时，则两直线的倾斜角都为 垂直 当存在时，两直线垂直，则 当不存在时，则一条直线倾斜角为，另一条直线倾斜角为 【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况. 四．直线的方程 直线方程 适用范围 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直以及过原点的直线 一般式 无局限性 五．特殊的直线方程 已知点，则 类型 直线方程 与轴垂直的直线 与轴垂直的直线 考点一 直线的倾斜角与斜率 题型1：求直线的倾斜角（已知斜率/两点/直线方程） 【例1】（2023·上海嘉定·统考一模）直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可. 【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是， 因此直线倾斜角的取值范围为， 故选：C 【例2】（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【答案】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 【例3】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【例4】（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 【答案】## 【分析】计算得，即可得到倾斜角大小. 【解析】设直线的倾斜角为，则，，则. 故答案为：. 【例5】（2023·上海徐汇·统考一模）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小. 【详解】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线的方程为， 所以， 即直线的斜率，由. 所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为. 故选：B 题型02：求直线的斜率（已知两点/倾斜角/直线方程） 【例7】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 【例8】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 【例9】（2024高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 题型03：斜率与倾斜角的的关系 【例10】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率与倾斜角的变化关系即可求解. 【详解】由于，且， 所以或， 故选：D 【例11】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 【例12】（23-24高二上·甘肃白银·期中）设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围. 【详解】由于，所以， 又，所以. 故选：D 【例13】（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，正确的有（       ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以， 当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确； 对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误； 故选：ACD 题型04：直线与线段相交求斜率范围 【例13】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线方程变形得：. 由得，∴直线恒过点， ，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或， 又， ∴或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， ∴的取值范围为. 故选：C. 【例14】经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围． 【解析】因为，，由与线段相交， 所以， 所以或， 由于在及均为增函数， 所以直线的倾斜角的范围为：. 故倾斜角的范围为，斜率k的范围是. 题型05：三点共线问题 【例15】若三点共线，则a的值为_________． 【答案】 【解析】由三点共线 故 故答案为：. 【例16】若，，三点共线，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于、、三点共线， 则，即，解得. 故选：A. 考点二 求直线的方程 题型06：直线方程相关概念辨析 【例17】下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．经过两点，的直线方程为 【答案】A 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确. 故选：A 【例18】（23-24高二·全国·课后作业）下列命题，错误的个数是（    ） ①任意一条直线一定是某个一次函数的图像； ②关于x的一次函数的图像是一条直线； ③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程； ④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据曲线与方程一一对应的充要条件，对命题一一判断即可． 【详解】①直线不是一次函数，故错； ②一次函数的图像是一条射线，故错； ③方程的解为坐标的点都在直线上，但这个方程不是这条直线的方程，故错； ④曲线与方程一一对应用的充要条件是曲线上所有点的坐标都是方程的解，同时方程的所有解也是曲线上的点坐标，故错． 故选：D 【例19】下列四个命题中真命题有_________个． ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两点的直线都可以用方程表示； ③不经过原点的直线都可以用方程表示； ④经过定点的直线都可以用方程表示． 【答案】1 【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示， 当直线斜率不存在时，方程是，①不正确； ②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程， 当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是， 则直线方程是，整理得，②正确； ③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示， 当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确； ④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示， 当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确， 所以给定的4个命题中，真命题只有1个. 故答案为：1 【例20】（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个法向量为，（答案不唯一，只要满足与向量垂直即可）. 故答案为：（答案不唯一） 角度07：求直线方程 【例21】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 【例22】（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考虑截距是否为0两种情况即可. 【详解】分两种情况：①当过原点时，由直线经过点， 可得直线方程为，即； ②当不过原点时，设的方程为， 将点的坐标代入得，解得， 此时的方程为，即.， 故选：C 【例23】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】分截距是否为0两种情况，结合直线的截距式方程运算求解. 【详解】设在x轴、y轴上的截距均为a， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，可得， 所以直线方程为，即； 若，则直线方程为， 代入，则，解得， 所以此时直线方程为； 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 【例24】（23-24高二上·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【分析】先求出，进而由截距式写出直线方程. 【详解】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 【例25】根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5. 【答案】见解析 【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α＜π)， 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±. 故所求直线方程为y＝±(x＋4)， 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1， 又直线过点(－3，4)， 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0. 由点线距离公式，得＝5，解得k＝. 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 【例26】（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，进而可求得BC边上的中垂线的斜率，求出线段的中点坐标，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）因为，，所以直线BC的方程为， 化简得； （2）， 则BC边上的中垂线的斜率， 线段的中点为， 所以BC边上的中垂线的方程为， 即. 【例27】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍； (2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】见解析 【解析】：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－， 所以直线方程为x＋2y＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y＝kx， 则－5k＝2，解得k＝－， 所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)． 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 【例28】1.（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点且法向量为的直线l的一般式方程是______． 【答案】 【分析】由法向量的定义求出直线方程法向式再化为一般式． 【详解】设是直线上任一点，则由得直线方程为，即． 故答案为：． 2.（2023·上海·复旦附中高三）若直线过点 ，则它的点法向式方程为____________. 【答案】 【分析】先求直线的方向向量，进而可得法向量，即可得解. 【详解】因为直线过点，且， 所以直线的一个法向量为， 所以该直线的点法向式方程为. 故答案为：. 3.（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过点，且与直线垂直的直线的点法向式方程为______； 【答案】 【分析】先由题意，得到所求直线的法向量，进而可求出结果. 【详解】与直线垂直的直线的法向量为， 则点法向式直线方程为． 故答案为： 题型08：由两直线平行（垂直）求直线方程 【例29】（23-24高二上·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断. 【详解】∵直线的斜率，纵截距为， 对A：直线的斜率，纵截距为； 对B：直线的斜率，纵截距为； 对C：直线的斜率，纵截距为； 对D：直线的斜率，纵截距为； 若两直线平行，由题意可知：斜率相等，纵截距不相等，只有C选项符合. 故选：C. 【例30】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【例31】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 于是，解得， 所以所求方程为. 故选：C 【例32】（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 【例33】（2023•青浦区二模）过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为 　　． 【分析】设过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为x﹣y+c＝0．把P（﹣1，3）代入，能求出结果． 【解答】解：设过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为： x﹣y+c＝0， 把P（﹣1，3）代入，得：﹣﹣3+c＝0， 解得c＝， ∴过点P（﹣1，3），与直线垂直的直线方程为x﹣y+＝0． 故答案为：x﹣y+＝0． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【例34】（23-24高二上·江西景德镇·期中）求满足下列条件的直线方程． (1)直线过点，且与直线平行； (2)直线过点，且与直线垂直． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）设所求直线的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； 【详解】（1）解：由题意，可设所求直线的方程为， 因为点在直线上，可得，解得， 故所求直线的方程为； （2）解：由题意，可设所求直线的方程为， 因为点在直线上，所以，解得， 故所求直线的方程为． 考点三 直线方程的综合应用 题型09：直线过定点问题 【例35】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线方程化为点斜式，即可求解. 【详解】直线可化为： ， 故直线过定点， 故选：D. 【例36】（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 【例37】（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【分析】分别令和，求出对应的值，即是直线必过的定点. 【详解】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 题型10：直线在两坐标轴上的截距问题 【例38】（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点为，，再由截距的绝对值相等列式，求解得的值有3个，从而得结论. 【详解】由题意，该直线斜率存在且不为，设所求直线的方程为， 令，则；令，则， 因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等， ，化简得或， 解得或或， 所以过并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条. 故选：C 【例39】（25-26高二上·全国·课后作业）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 【例40】（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 【例41】（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是________ 【分析】由题设得，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 题型10：直线与坐标轴围成的三角形问题 【例42】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知， 令，所以直线与轴的交点为， 令，所以直线与轴的交点为， 所以， 当且仅当即时取等，所以此时直线为：. 故选：C. 【例43】已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 【答案】2x＋3y－12＝0 【解析】法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0， 可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 则A，B(0，2－3k)， S△ABO＝(2－3k)＝≥＝×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 【例44】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 【答案】： 【解析】：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)， 由动点P(a，b)在线段AB上， 可知0≤b≤1，且a＋2b＝2， 从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋， 由于0≤b≤1， 故当b＝时，ab取得最大值. 【例45】已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. （1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； （2）求△OAB面积的最小值. 【解析】】（1）由题意可设直线的方程为，即， 则，解得． 故直线的方程为，即； （2）直线的方程为， ，，依题意，解得， 则的面积为． 则（当且仅当时，等号成立）． 故面积的最小值为． 【例46】过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点． (1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程； (2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程． 【解析】(1)根据题意可设直线l的方程为,则, 直线l过点,, 又(当且仅当,即时取等号), ,即, 的最小值为8,此时直线l的截距式方程为. (2)由（1）可知,,则, (当且仅当,即时取等号). 的最小值为4,此时直线l的截距式方程为. 【例47】直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)求的最小值及此时直线l的方程. 【解析】(1)设直线，且 ∵直线过点 则 当且仅当即时取等号 所以的最小值为， 直线1即. (2)由 ∴， 当且仅当即时取等号， ∴此时直线, 故的最小值为9，此时直线l的方程. 【例48】（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【解题思路】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可； （2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 【例49】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【解题思路】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案； （2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程. 【解答过程】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 【例50】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【解题思路】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【解答过程】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 一、填空题 1．（2024上海春考）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 　　． 【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数． 【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1 所以该直线的斜率k＝1， 设直线的倾斜角为α，即tanα＝1， ∵α∈[0，180°）， ∴α＝45°． 故答案为：45°． 【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围． 2．【2021年上海市高考数学第11题】已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　　　． 【答案】 【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E， 由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4， ∴， ∴直线AB的斜率． 故答案为：． 3．（2021•上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为　　． 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为， 直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为， 故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 4．(2020年上海市高考数学第10题)已知椭圆C：1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是　　　　． 【答案】x+y﹣1＝0． 【解答】解：椭圆C：1的右焦点为F（1，0）， 直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限）， 若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′， 可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1）， 即x+y﹣1＝0． 故答案为：x+y﹣1＝0． 5．(2019年上海市高考数学第13题)已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】D 【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2）， 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $