期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：1～3章 三角形+实数的初步认识+勾股定理全部内容）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 3章（三角形+实数的初步认识+勾股定理全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，相反数的含义，根据可得，，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴互为相反数， ∴． 故选：C 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依次按键，所得的结果在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，无理数的估算． 由计算器可知小明求的是的值，估算出的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：由计算器可知小明求的是的值， ∵， ∴， ∴， 即结果在数轴上对应的点可能是点D． 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）在中，的长度可以在6，24，，中取值，则满足上述条件的直角三角形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，分类讨论是解题的关键． 分进行讨论，结合勾股定理及所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】根据题意， 当时，如图， ，设，则， ， 解得； 当时，如图， ，， 综上，满足条件的直角三角形有2个． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的“”判定定理，熟练掌握“”判定定理中两边及其夹角对应相等的要求是解题的关键．根据“”（边角边）判定三角形全等的条件，已有，，需要找到一组对应边相等，且这组边是与的另一边，所以分析各选项能否推出该边相等． 【详解】解：要运用“”判定，已知，，则还需要． ， ， ，满足“”的条件，符合题意． 对于选项B，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项C，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项D，，是“”的条件，不是“”的条件，不符合题意． 故选：A． 6．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（    ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ∵， ， ∵四边形中，， ． 故结论①正确； 如图，过点作的延长线于点，作于点． 则， ，， ， 又， ， ， ∴为的平分线． 故结论②正确； ， 平分， ∴垂直平分， ∴． 故结论③正确； ， 而， ， ． 故结论④不正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用勾股定理求出高是解题的关键． 过点作于点，由等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理求解，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25八年级上·江苏镇江·期中），，，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答． 【详解】解：，，，，，中，无理数有，，共个， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点在数轴上处，直径为1的圆从点出发，沿数轴向右滚动一周，到达处，点表示的数是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为， ∴点从数轴上处沿数轴向右滚动一周，到达处，点表示的数为． 故答案为： 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，若，，则长为 ． 【答案】8 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得，从而解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 13．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，于点，于点，且，点以的速度从向运动，点以的速度从向运动．若，两点同时出发，运动后，的面积是 ；运动 后，与全等． 【答案】 或 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得，，根据三角形的面积公式即可求出的面积，与全等分两种情况：当时，；当时，，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，， 于点，于点， 与全等分为两种情况： 当时，，即； 当时，，即， ； 故答案为：，或． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有 个； ②当时，的值为 ． 【答案】 6 110 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的定义，通过估算无理数，找到数字的变化规律是解题的关键． ①当时，，可知n的值有6个； ②由，；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，再代入计算即可． 【详解】解：①当时，为7，8，9，10，11，12一共有6个； ②由， ；可得2个1，4个2，6个3，8个4……， 所以，， ． 故答案为：①6；②110． 15．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，直角三角形纸片中，．D为斜边的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第n次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，斜边上的中线，图形类规律探究，根据勾股定理，斜边上的中线，求出的长，由折叠求出的长，进而求出的长，得到，进行求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，即， 同理，．．． ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 或． （2）解：， ， ， 或． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 20．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，， ，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ． (2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内： 【答案】(1)甲 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的分类，无理数，熟练掌握有理数的分类方法，无理数的定义，是解题的关键： （1）根据无理数的定义进行判断即可； （2）根据有理数的分类作答即可． 【详解】（1）解：是有理数，不是无理数，和是无理数； 故说错的是甲； 故答案为：甲； （2）由题意，填写如下： 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中格点 的面积． (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）先根据勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：是直角三角形．理由如下： 是直角三角形． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，学校有一块长方形空地，它的长和宽的比是，面积为． (1)求该长方形的长和宽． (2)如图，工人师傅要在这块空地上设计一个圆形区域和四个半圆形区域进行绿化，其中四个半圆形区域的半径与中间圆形区域的半径相同．若绿化区域的总面积为，请你帮助工人师傅计算一下中间圆形区域的半径． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2) 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握相关图形的面积公式，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）设长方形的长为，宽为，根据面积公式列出方程进行求解即可； （2）设半圆形区域的半径为，根据面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为． 则． ． ， ，则． 答：长方形的长为，宽为． （2）设半圆形区域的半径为，即中间圆形区域的半径为， ． ． ． ． 答：中间圆形区域的半径为． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． (1)求敌方汽车的速度； (2)侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 【答案】(1)敌方汽车的速度为 (2)能成功在C点拦截敌方汽车，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理得，，则，即可解决问题； （2）在中，由勾股定理得，则，再求出敌方汽车的到达点的时间为，再求出我方队员到达点的时间，然后比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 答：敌方汽车的速度为； （2）解：能成功在点拦截敌方汽车，理由如下： 由题意可知，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，， ， 敌方汽车的到达点的时间为：， 我方队员车速为， 我方队员到达点的时间为：， ， 能成功在点拦截敌方汽车． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 (2)喷泉B到小路的最短距离为 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． （1）首先根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）过点B作，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ 在中， ∴， 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）如图所示，过点B作， ． 答：喷泉B到小路的最短距离为． 25．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 甲同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论； 乙同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论． 【详解】证明：甲同学：在和中， ∵， ∴， ∴； 乙同学：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 26．（25-26八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用直角三角形的性质得到，即可得出结论； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）通过证明得到，再通过证明得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是△的角平分线， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点同时在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）某学校为开展数学实践活动，成立了户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、卷尺、小红旗、测角器等． 小明所在小组的同学准备尝试用不同的方法测量某池塘（如图①）两端A、B的距离．经过思考、讨论，小明小组的同学最后确定了如下一个测量方法：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C、D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即该池塘两端A、B的距离． 在小明小组同学测量方法的基础上，若池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地，点B的右侧区域有足够空地并可用于测量． (1)请你设计一个可行的测量方法，在图①中作出图形，并进行简单的语言描述； (2)请对你设计的测量方法进行证明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的应用. （1）先过点作的垂线，再由点观测，在的延长线上取一点，使，此时测出的长即该池塘两端的距离； （2）根据证明，即可得到. 【详解】（1）解：如图，先过点作的垂线，再由点观测，在的延长线上取一点，使，此时测出的长即该池塘两端的距离； （2）证明： 在和中， 即测出的长即该池塘两端A、B的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 3章（三角形+实数的初步认识+勾股定理全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依次按键，所得的结果在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）在中，的长度可以在6，24，，中取值，则满足上述条件的直角三角形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（    ） ①；②为的平分线；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（24-25八年级上·江苏镇江·期中），，，，，中，无理数有 个． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 11．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点在数轴上处，直径为1的圆从点出发，沿数轴向右滚动一周，到达处，点表示的数是 ． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，若，，则长为 ． 13．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，于点，于点，且，点以的速度从向运动，点以的速度从向运动．若，两点同时出发，运动后，的面积是 ；运动 后，与全等． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有 个； ②当时，的值为 ． 15．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，直角三角形纸片中，．D为斜边的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第n次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为 ． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）求下列各式中x的值： (1)； (2) 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、共线，，，．求证：． 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，若，，，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，， ，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ． (2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内： 21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中格点 的面积． (2)判断的形状，并证明你的结论． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，学校有一块长方形空地，它的长和宽的比是，面积为． (1)求该长方形的长和宽． (2)如图，工人师傅要在这块空地上设计一个圆形区域和四个半圆形区域进行绿化，其中四个半圆形区域的半径与中间圆形区域的半径相同．若绿化区域的总面积为，请你帮助工人师傅计算一下中间圆形区域的半径． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． (1)求敌方汽车的速度； (2)侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 25．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 26．（25-26八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 27．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）某学校为开展数学实践活动，成立了户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、卷尺、小红旗、测角器等． 小明所在小组的同学准备尝试用不同的方法测量某池塘（如图①）两端A、B的距离．经过思考、讨论，小明小组的同学最后确定了如下一个测量方法：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C、D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即该池塘两端A、B的距离． 在小明小组同学测量方法的基础上，若池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地，点B的右侧区域有足够空地并可用于测量． (1)请你设计一个可行的测量方法，在图①中作出图形，并进行简单的语言描述； (2)请对你设计的测量方法进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $