精品解析：河南省平顶山市鲁山县第七教研区2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期阶段性检测卷（一） 八年级数学（BS） 测试范围:1—2.2 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1.0 B. 5，12，13 C. D. 9，15，17 2. 下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是 B. 的立方根是 C. 是2的平方根 D. 3. 如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 4. 估计的值在（ ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 6. 若的三边满足，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形，且为直角 B. 是直角三角形，且为直角 C. 是直角三角形，且直角 D. 不是直角三角形 7. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 25 8. 下列各数中，一定没有平方根的是（　　） A. ﹣a B. ﹣a2+1 C. ﹣a2 D. ﹣a2﹣1 9. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是___________． 14. 若 +（b+2）2=0，则点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标为_____． 15. 如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 将下列各数填入相应的集合内： ，0.32，，0，，，π，（相邻两个1之间0的个数依次增加） 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 负实数集合：{ } 17. 计算： （1） （2） 18. 已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根． 19. 如图，在中，，，，求： （1）边上的高的长度； （2）的面积． 20. 如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． （1）求梯子的顶端A 距地面有多高； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 21. 观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； （2）由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； （3）根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 22. 【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 23. 综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．同学们以此开展了探究活动： 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，判断四边形________“垂美四边形”（填“是”或“否”）； 【问题应用】 （2）如图2，四边形的对角线交于点O，．若，，，，则四边形的面积是________． 【性质探究】 （3）小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形中，两组对边与这四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性检测卷（一） 八年级数学（BS） 测试范围:1—2.2 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1.0 B. 5，12，13 C. D. 9，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵0.6，0.8不是整数，∴0.6，0.8，1.0不是一组勾股数，不符合题意； B、∵，∴5，12，13是一组勾股数，符合题意； C、∵不是整数，∴不是一组勾股数，不符合题意； D、∵，∴，，不是一组勾股数，不符合题意． 故选：B． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是 B. 的立方根是 C. 是2的平方根 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的定义及求解；理解平方根、立方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、立方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：A．1的平方根是，正确，本选项不符合题意； B．-1的立方根是-1，正确，本选项不符合题意； C．是2的平方根，正确，本选项不符合题意； D．，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，两个较大正方形的面积分别为144和169，则字母A所代表的正方形的面积是（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选：D． 4. 估计的值在（ ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【详解】因为3的平方是9，4的平方是16，即=3，=4， 因为9<11<16， 所以估计的值在3和4之间， 故正确的选项是C． 5. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可． 【详解】解：如图所示： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用． 6. 若的三边满足，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形，且为直角 B. 是直角三角形，且为直角 C. 是直角三角形，且直角 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 8. 下列各数中，一定没有平方根的是（　　） A. ﹣a B. ﹣a2+1 C. ﹣a2 D. ﹣a2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据0和正数都有平方根，负数没有平方根进行求解． 【详解】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，只有﹣a2﹣1一定是负数，没有平方根． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的性质，熟记0的平方根是0，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根是解题的关键． 9. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内， ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 10. 如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先根据立方根、绝对值的定义计算，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 【答案】25或7##7或25 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是， ②当是斜边时，则第三边的平方是． 故答案为：25或7． 13. 如图，在数轴上点A表示的实数是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 14. 若 +（b+2）2=0，则点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标为_____． 【答案】(3,2) 【解析】 【分析】阅读题目信息，要求点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标，需先求得点M的坐标，根据“非负项之和为0，每一项均为0知a-3=0，b+2=0，解方程求出a，b的值，继而得到点M的坐标． 【详解】解：∵+(b+2)2=0， ∴a-3=0，b+2=0， ∴a=3，b=-2， ∴M点坐标为（3，-2）， ∴M（3，-2）关于x轴对称的点的坐标为（3，2）． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系内对称点的坐标特征，掌握平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 15. 如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 将下列各数填入相应的集合内： ，0.32，，0，，，π，（相邻两个1之间0的个数依次增加） 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 负实数集合：{ } 【答案】；（相邻两个1之间0的个数依次增加）； 【解析】 【分析】本题考查了立方根，实数的分类，根据无限不循环小数即为无理数，以及有理数是分数和整数的统称，小于0的实数为负实数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， ∴有理数集合：； ∴无理数集合：{（相邻两个1之间0的个数依次增加）}； ∴负实数集合：． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握求一个数的算术平方根和立方根是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算乘方和算术平方根，然后再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根． 【答案】±3 【解析】 【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3， ∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10， a＝5； ∵3a+b﹣1的算术平方根为4， ∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16， 解得b＝2， ∴a+2b＝5+4＝9， ∴a+2b的平方根为：±3． 【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键． 19. 如图，在中，，，，求： （1）边上的高的长度； （2）的面积． 【答案】（1）12 （2）84 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的高，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先，则，又因为是边上的高，则运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设， ∵ 则， ∵是边上的高，， ∴ ∴， 解得， ∴， （负值已舍去）． 【小问2详解】 解：由（1）得，是边上的高， ∵， ∴． 20. 如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． （1）求梯子的顶端A 距地面有多高； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】（1）梯子的顶端A距地面 （2）梯子的底端B在水平方向上滑动了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【小问1详解】 解：． 答：梯子的顶端A距地面． 【小问2详解】 解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 21. 观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； （2）由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； （3）根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】（1） 解：依题意，（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， 【小问3详解】 解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 22. 【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【答案】（1）方法一：；方法二：；推理见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示，进而得到等式即可； （2）利用全等三角形的性质，得出是直角三角形，再用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】解：（1）方法一：； 方法二：； 整理得：，即． （2）证明：由已知可得，， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 23. 综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”．同学们以此开展了探究活动： 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，判断四边形________“垂美四边形”（填“是”或“否”）； 【问题应用】 （2）如图2，四边形的对角线交于点O，．若，，，，则四边形的面积是________． 【性质探究】 （3）小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形中，两组对边与这四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）是；（2）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． （1）根据题意可证，得到，再证，得到，根据得到，由此即可求解； （2）根据四边形的面积，代入计算即可求解； （3）运用勾股定理得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“垂美四边形”， 故答案为：是； （2）解：∵四边形的面积， ， 故答案为：； （3）解：，理由如下， 证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $