第19讲平面向量基本定理及坐标表示课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求。通过系统整合必备知识，分析坐标运算、数量积等高频考点权重，归纳基底选择、向量表示等常考题型，体现高考备考的针对性与实用性。 课件亮点在于结合2025年广州市高考模拟题等实战训练，突出应试技巧指导。如通过例析向量垂直求模长、共线方向判断等题型，培养数学思维与数学语言素养，帮助学生掌握基底法解题思路，提升得分率。对教师精准教学、学生高考冲刺均具重要指导意义。

第19讲　平面向量基本定理 及坐标表示 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________． 若e1，e2不共线，把______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 x1y2－x2y1＝0 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)平面向量的应用． 基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 4 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 考点四　平面向量的数量积的坐标表示 已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)． (1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值； 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b的夹角的大小． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 3．设向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为(　　) A．－2 B．1 C．－2或1 D．m的值不存在 √ 解析：向量a＝(m，2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.当m＝1时，a＝(1，2)，b＝(1，2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2，2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意．故选A. 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 6．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，12)，则a·b－2|b|等于(　　) A．52 B．－3 C．－10 D．3 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 7．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________． (1，5) 返回导航 2026年广东省学考数学 8．已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________． 返回导航 2026年广东省学考数学 9．在平面直角坐标系Oxy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 a＝λ1e1＋λ2e2 {e1，e2} 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)，|a|＝____________． 2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝________________________． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔__________________． eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 4．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到： (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2). (2)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝________________ . 2,1)eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))) 1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))). 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))). 考点一　平面向量基本定理 (1)在正六边形ABCDEF中，用eq \o(AC,\s\up16(→))和eq \o(AE,\s\up16(→))表示eq \o(CD,\s\up16(→))，则eq \o(CD,\s\up16(→))＝(　　) A．－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) B．－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) C．－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) D．－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)) 解析：设正六边形ABCDEF的边长为2，如图， 设AD，EC交于点O，则OD＝1，AO＝3， 则eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AO,\s\up16(→))， 则eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CO,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→)))＋eq \f(1,6)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AE,\s\up16(→)).故选B. (2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \o(CG,\s\up16(→))＝λeq \o(CD,\s\up16(→))＋μeq \o(CB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________． eq \f(1,2) 解析：由题图可设eq \o(CG,\s\up16(→))＝xeq \o(CE,\s\up16(→))(0<x<1)， 则eq \o(CG,\s\up16(→))＝x(eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→)))＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(CD,\s\up16(→))))＝ eq \f(x,2) eq \o(CD,\s\up16(→))＋xeq \o(CB,\s\up16(→)). 因为eq \o(CG,\s\up16(→))＝λeq \o(CD,\s\up16(→))＋μeq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))不共线， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(x,2)，,μ＝x，))所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(1,2). 考点二　平面向量的坐标运算 (3,2) INCLUDEPICTURE "F:\\2024课件徐\\6.25 广东学考\\学业水平政治\\例2.tif" \* MERGEFORMAT (1)已知a＝(1，－1)，b＝(1，1)，则a－eq \f(1,2)b＝(　　) A．(1，－1) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(2，－2) 解析：因为a＝(1，－1)，b＝(1，1)， 所以eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))＝(1，－2)． 故选B. (2)已知eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－1)，C(0，1)，若eq \o(CD,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))，则点D的坐标为(　　) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(－2，1) D．(2，－1) 解析：设D(x，y)，则eq \o(CD,\s\up16(→))＝(x，y－1)，2eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，－2)，根据eq \o(CD,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))， 得(x，y－1)＝(2，－2)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，)) 所以点D的坐标为(2，－1)． 考点三　平面向量的共线的坐标表示 (1)已知O为坐标原点，点A(1，－2)，B(－1，3)，若向量eq \o(OA,\s\up16(→))－keq \o(OB,\s\up16(→))与向量a＝(2，3)共线，则实数k的值为(　　) A.eq \f(7,9) B．－eq \f(7,9) C.eq \f(4,7) D．－eq \f(8,11) 解析：因为向量eq \o(OA,\s\up16(→))－keq \o(OB,\s\up16(→))＝(1，－2)－(－k，3k)＝(1＋k，－2－3k)与向量a＝(2，3)共线，所以3(1＋k)＝2(－2－3k)，解得k＝－eq \f(7,9).故选B. (2)已知m，n均为正数，向量a＝(1，m)，b＝(2，1－n)，且a∥b，则eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)的最小值为________． 解析：因为m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2，1－n)，且a∥b， 所以1－n＝2m， 故2m＋n＝1， 所以eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(m,n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥2＋2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4，当且仅当m＝n＝eq \f(1,3)时等号成立， 故eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)的最小值为4. 归纳总结　平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略： (1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便． (2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线． 解：由题意得a＋b＝(3，－1＋x)， 由a⊥(a＋b)，可得a·(a＋b)＝6＋1－x＝0， 解得x＝7，即b＝(1，7)， 所以|b|＝eq \r(50)＝5eq \r(2). 解：由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3，所以b＝(1，－3)， 所以cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(（2，－1）·（1，－3）,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),2)， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是eq \f(π,4). 归纳总结　(1)求解平面向量模的方法： ①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2). ②利用|a|＝eq \r(a2). (2)求平面向量的夹角的方法： ①定义法：cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π]． ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则cos θ＝2,1)eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋yeq \o\al(2,1))·\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))) . ③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中． 1．若A(2，－1)，B(－1，3)，则向量eq \o(AB,\s\up16(→))的坐标是(　　) A．(1，2) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(－2，－3) 解析：因为A(2，－1)，B(－1，3)，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1，3)－(2，－1)＝(－1－2，3＋1)＝(－3，4)． 故选B. 2．(2024·广东学考模拟)已知向量a，b满足a＝(eq \r(5)，2eq \r(5))，a·b＝6，|a－b|＝7，则|b|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题知，|a|＝eq \r(5＋20)＝5.|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝49，即25－2×6＋|b|2＝49，所以|b|＝6(负值已舍去)．故选B. 4．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　) A．－eq \f(11,4) B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \f(11,4) 解析：因为a＝(2，－1)，b＝(1，1)， 所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)， 又c＝(－5，1)， 由(a＋kb)∥c， 得(2＋k)×1＝－5×(k－1)， 解得k＝eq \f(1,2). 故选B. 5．平行四边形ABCD中，点M在边AB上，AM＝3MB，记eq \o(CA,\s\up16(→))＝a，eq \o(CM,\s\up16(→))＝b，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(4,3)a－eq \f(7,3)b B.eq \f(2,3)b－eq \f(4,3)a C.eq \f(7,3)b－eq \f(4,3)a D.eq \f(1,3)a－eq \f(4,3)b 解析：在▱ABCD中，eq \o(AM,\s\up16(→))＝3eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(CA,\s\up16(→))＝a，eq \o(CM,\s\up16(→))＝b， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BM,\s\up16(→))＋eq \o(MC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up16(→))－eq \o(CM,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CM,\s\up16(→)))－eq \o(CM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)a－eq \f(4,3)b. 故选D. 解析：由题意得，a·b－2|b|＝－4×5＋3×12－2×eq \r(52＋122)＝16－26＝－10.故选C. 解析：设D(x，y)，则由eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.)) 解析：由题意知：a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－eq \f(3,4). －eq \f(3,4) 解：由题设知eq \o(AB,\s\up16(→))＝(3，5)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1，1)，则eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2，6)，eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝(4，4)． 所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(10)，|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝4eq \r(2).　 故所求的两条对角线的长分别为2eq \r(10)，4eq \r(2).　 (2)设实数t满足(eq \o(AB,\s\up16(→))－teq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，求t的值．　 解：由题设知eq \o(OC,\s\up16(→))＝(－2，－1)， eq \o(AB,\s\up16(→))－teq \o(OC,\s\up16(→))＝(3＋2t，5＋t)． 由(eq \o(AB,\s\up16(→))－teq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0， 得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－eq \f(11,5). $