1.1.2 集合的基本关系 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教案聚焦集合的基本关系（子集、真子集、集合相等），以班级同学集合为生活实例导入，引导学生从元素关系推导集合关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接集合元素的已有知识。 亮点在于采用启发式教学结合多媒体（PPT、动画、视频），通过生活实例让学生用数学眼光观察现实世界，抽象出子集等概念（数学抽象），借助维恩图直观表达，例题分层设计培养逻辑推理与运算能力，助力学生理解抽象概念，教师可直接使用实例与流程提升教学效率。

课题 1.1.2 集合的基本关系 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第一册 章节 第一章第一部分第二小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集. 2. 会判断简单集合的包含关系. 3. 能使用维恩图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 重点：子集的概念 难点：元素与子集、属于与包含于之间的区别 核心素养 1.逻辑推理：由集合的元素的关系推导集合之间的关系； 2.数学运算：由集合与集合之间的关系求值； 3.数学抽象：集合间的关系的含义. 教学方法和手段 。 1.教学方法 启发式教学：通过提出问题或设置情境，引导学生自主思考并探索集合间的关系的含义。这种方法可以激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的思维能力。 2.教学手段 多媒体教学：利用PPT、动画和视频等多媒体资源，展示集合的包含关系。 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置 意图 情景 导入 创设问题情境： 在一个班级中，我们把所有同学组成的集合记为M，而所有女同学组成的集合记为N，你觉得集合M和N之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？ 通过生活实例引出集合之间的关系，帮助学生快速进入课堂状态。 知识 精讲 知识点一：子集的定义及其表示 知识点二：真子集的定义及其表示 知识点三：集合的相等与子集的关系 【师生共同探究子集的定义及其表示】 教师提问：让我们来仔细观察下面的例子，你能发现每组两个集合之间的关系吗？ （1）A＝{1，2}，B＝{1，2，3}； （2）A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤3}. （3）A＝{（1，3）}，B＝{（1，3），（5，6）} 预设答案：可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合A中的每一个元素都是集合B中的元素. 教师总结：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集. 记作：A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”或者“B包含A”． 对应地, 如果A不是B的子集, 则记作A⊈B(或B⊉A), 读作 “A不包含于B” (或 “B不包含A”). 教师提问：符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 学生思考后回答：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，符号“⊆”表示集合与集合之间的关系. 教师提问：根据子集的定义判断，如果A＝{1，2，3}，那么A⊆A吗? 学生回答：任意集合A都是它自身的子集, 即A⊆A. 教师追问：空集必是任意一个集合的子集吗? 学生思考后回答：因为空集不包含任何元素，所以空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆B. 【师生共同探究真子集的定义及其表示】 教师讲解：前面的情境与问题中的两个集合满足N⊆M，但是，只要班级中有男同学，那么M中就有元素不属于N。 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）． 因此，集合M与N的关系为：N⫋M. 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合, 那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系, 这种示意图通常称为维恩图. 例如, A是B的真子集, 可用如图表示. 根据子集、真子集的定义可知： （1）对于集合A,B,C , 如果A⊆B , B⊆C,则A⊆C; （2）对于集合A,B,C , 如果A⫋B , B⫋C,则A⫋C. 【例题】写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集. 【师生活动】 教师引导学生进行分析：集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3. （1）写出元素个数为0的子集，即∅； （2）写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}； （3）写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}； （4）写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}. 【答案】集合A的所有子集是： ∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集． 【师生共同探究集合的相等与子集的关系】 教师提问：我们已知S＝{x|（x＋1）（x＋2）＝0}，T＝{－1，－2}，请同学们思考这两个集合的元素有什么关系？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗？ 教师引导学生从子集的定义这个角度进行思考，学生小组之间讨论交流，得出结论：组成集合S与组成集合T的元素完全相同，由子集的定义可知：S⊆T且T⊆S. 教师补充：由此我们可以推出： （1）如果A⊆B且B⊆A，则A＝B； （2）如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. 【例题】下列各个关系式中，正确的是(　　) A．∅＝{0}　 B．∈Q C．{3,5}≠{5,3}　 D．{1}⊆{x|＝x} 【答案】D. 【解析】因为∅≠{0}，∉Q，{3,5}＝{5,3}，所以A，B，C错误， {x|＝x}＝{0,1}，所以{1}⊆{x|＝x}成立．故选D. 【例题】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． 若B⊆A，求实数m的取值范围． 【答案】{m|m≤3} 【解析】由B⊆A得，①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A； ②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5. 解得2≤m≤3. 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}． 让学生尝试通过实际情境以及实例抽象出数学概念，培养学生的数学表达和交流的能力，积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中由特殊到一般地思考问题的习惯，从而把握事物的本质，发展数学抽象等核心素养。 借助维恩图直观表示增强学生对包含关系的直观理解，有助于学生熟练地进行自然语言、集合语言和图形语言之间的相互转化。 旨在让学生不但要掌握如何运用定义列出一个集合的所有子集，还要体会合理分类对枚举的重要意义。 课堂 检测 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 掌握集合间关系的含义，理解其数学意义和应用价值。学会运用集合间的关系，能够通过集合与集合之间的关系求值，提高解题能力。 课堂 小结 回顾本节知识，总结概括. 概括学习要点，检查学习效果，引导思考和问题解决。 板书设计： 1.1.2 集合的基本关系 情景导入 知识精讲 1.子集 2. 3.集合的相等与子集的关系 课堂小结 课堂检测 教学设计反思 高中数学中集合的基本关系是一个重要且基础的概念，对学生理解和掌握数学知识具有重要意义。在教学中，教师可以进行以下方面的反思和改进： 引入生动例子：集合理论是一个抽象的概念，可以通过生动的例子来引导学生理解。教师可以结合学生生活中的实际情境，比如学生课外活动、兴趣爱好等，使抽象的集合概念更加具体化和容易理解。 强调实际应用：集合论虽然是一个抽象的数学概念，但在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。教师可以介绍集合论在其他学科或实际问题中的应用，激发学生学习的兴趣。 注重逻辑推理：集合论中的关系和运算是建立在严密的逻辑推理之上的，教师可以通过引导学生进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。 巩固基础知识：集合论是数学学科中的基础，教师在教学中要注重巩固学生的基础知识，确保学生对集合的基本概念和运算有清晰的理解。 注重与其他知识的联系：集合论是数学中的一个重要分支，与其他数学知识有着密切的联系。教师可以引导学生将集合论与其他数学知识结合起来，帮助他们建立起数学知识体系的完整性。 多样化教学方法：针对不同学生的学习特点和兴趣爱好，教师可以采用多样化的教学方法，比如小组讨论、实例分析、游戏等，激发学生学习的积极性。 通过对教学方法和内容的不断反思和改进，可以提高学生对集合基本关系的理解和掌握水平，使他们在数学学习中取得更好的成绩和发展。 学科网（北京）股份有限公司 $