期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：19～20章 实数+二次根式）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：19~ 20章（实数+二次根式全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2025八年级上·上海宝山·模拟预测）据估计我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约1.5亿元，若一年按365天计算，用科学记数法表示我国土地沙漠化造成的经济损失（    ）元 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于10的数，对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒先计算出一年的经济损失为元，再根据科学记数法法则表示即可﹒ 【详解】解：1.5亿=150000000，（元）， ﹒ 故选：B 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）计算的值，结果正确的是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26八年级上·上海虹口·阶段练习）对于任意实数m和n，规定．如，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，令即可计算出答案． 【详解】解：在中， 令得， 故选：B． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将代入公式计算，然后用平方法估算即可． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴， ∴所用时间与4秒最接近． 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海金山·单元测试）幻方是古老的数学问题，它是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的方法．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘结果都相等，则的值为（   ） A B 5 C 10 D A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，其值为， ∴， ， ， ， ∴． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海青浦·模拟预测）比较大小： 2．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较．由可得． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先化为最简二次根式，再合并即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：；2． 9．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知x，y是实数，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、完全平方式的非负性、有理数的乘法、立方根、相反数，利用非负性正确求出x、y值是解答的关键． 根据非负性求出x、y的值，代入求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 故答案为： 10．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）我们用表示不大于a的最大整数，例如：．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据题意可得，再由新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简．结合数轴判断a、b的大小范围，从而判断的正负，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）填空： （1）－≈ （精确到0.001）； （2）6π＋≈ （精确到0.01）； （3）＋3≈ （精确到0.1）； （4）－ ≈ （精确到0.01）． 【答案】 －0.334 20.30 5.9 2.76 【分析】（1）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可； （2）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可； （3）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可； （4）先分别估算出各数的值，进行加减，再求出近似值即可； 【详解】（1）－≈2×1.4142-3.1622≈-0.334； （2）6π＋≈6×3.141+1.456≈20.30； （3）＋3≈1.71+3×1.41≈5.9； （4）－≈3×1.414-1.487≈2.76． 【点睛】本题考查无理数的估算及近似数，正确估算出各无理数的值并熟练掌握四舍五入法则是解题关键． 13．（2025八年级上·上海长宁·模拟预测）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 14．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点与点重合，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和圆的周长，关键理解沿着数轴正方向数值增大，根据圆在数轴上沿着数轴正方向滚动一周，因此，到达的值为． 【详解】解：根据题意可知，点所对数值为， 到的距离是直径为的圆周长， 对应的数值为． 故答案为：． 15．（2025·上海·模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设A为一个差倍数，将A的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与A相加的和与11的商记为．四位数A是一个差倍数，且千位数字a满足，是7的整数倍，则满足条件的A的最大值为 ． 【答案】3974 【分析】本题考查了整式的加减与阅读理解，设差倍数千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，根据差倍数的概念得，根据A差倍数，且A为最大数时，，然后根据是否能被7整除进行验证，从而可得A的最大数 【详解】解：设差倍数千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，且， 根据题意得，， ∴， ∵四位数是一个差倍数，且千位数字满足，， 当时，， ∴， 当时，，所以，，，不是整数，故不符合题意； 当时，，所以，，，不是整数，故不符合题意； 当时，，所以，，，是整数； ∴的最大值为3974． 故答案为：3974． 16．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）观察下列等式∶； ； ； ； 根据以上规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由已知等式可得，进而利用规律逐个转化进行计算即可求解，找出等式的规律是解题的关键． 【详解】解：∵； ； ； ； ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．（2025·上海长宁·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 【答案】 【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果． 本题考查了数字类规律探索，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，，故数组， ，，， 故数组， ，，， 故数组， ，，， 故数组， 故每3次变换一个循环， 且，，， ， 由， 故的值为． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形． （1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍． （2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍． 【答案】 3 20 2 【分析】此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键． （1）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案； （2）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案． 【详解】解：（1）原绿化带的面积为， 面积扩大为原来的9倍为， ∴边长为，即长扩大为原来的倍， 故答案为：； （2）面积扩大为原来的4倍为， ∴边长为，即长扩大为原来的倍， 故答案为：，． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 20．（25-26八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）根据二次根式乘法运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘法运算法则计算即可； （3）将各个二次根式化为最简二次根式后进行合并即可； （4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 21．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用再求出小数部分和整数部分即可解得． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是. （2）解： 的小数部分， ， ，得整数部分， 【点睛】本题考查了用“夹逼法”求算术平方根的整数部分和小数部分，并进行算术平方根的运算，掌握求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． 22．（25-26八年级上·上海普陀·阶段练习）现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1)， (2)和为，共有个数的平方相加得到 【分析】（1）根据每六个数一循环解答即可； （2）根据每六个数的平方和等于，利用循环规律解答即可． 【详解】（1）， 第个数在这六个数中排在第，即， ， 第个数是这六个数中排在第，即， 故答案为：，； （2），，，，这六个数的平方加起来是， 且， 和为是由前个循环组的平方和再加上得到， 而，由个数平方相加得到， 和为，共有个数的平方相加得到． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用规律解答问题． 23．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）观察下列等式，解答下列问题． 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… (1)____________（填写运算结果）； (2)写出第n个等式：____________（用含n的代数式表示）； (3)是满足上述规律的代数式，若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】本题考查了数字的变化规律，算术平方根，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）模仿题干中的等式写出第5个等式即可得出答案； （2）根据各式计算得到结果，得出的规律写出即可； （3）根据（2）得出的规律，可求出a的值，a、b之间的关系，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵是满足上述规律的代数式，（a，b均为正整数）， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：21． 24．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【答案】(1)分米 (2)不需要继续伸长，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 25．（25-26八年级上·上海静安·阶段练习）阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 【答案】(1)； (2) (3)2025 (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）根据有理化因式与分母有理化的概念求解即可． （2）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （3）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （4）先进行分母有理化，结合裂项相消求和求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式：； ； 故答案为：；． （2）解： ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （4）解：由（2）知，， ∴， ∴，， ，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：19~ 20章（实数+二次根式全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2025八年级上·上海宝山·模拟预测）据估计我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约1.5亿元，若一年按365天计算，用科学记数法表示我国土地沙漠化造成的经济损失（    ）元 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）计算的值，结果正确的是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 4．（25-26八年级上·上海虹口·阶段练习）对于任意实数m和n，规定．如，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·单元测试）球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 6．（25-26八年级上·上海金山·单元测试）幻方是古老的数学问题，它是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的方法．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘结果都相等，则的值为（   ） A B 5 C 10 D A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海青浦·模拟预测）比较大小： 2．（填“”“”或“”） 8．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ； ． 9．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知x，y是实数，则的立方根是 ． 10．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）我们用表示不大于a的最大整数，例如：．若，则x的取值范围是 ． 11．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）填空： （1）－≈ （精确到0.001）； （2）6π＋≈ （精确到0.01）； （3）＋3≈ （精确到0.1）； （4）－ ≈ （精确到0.01）． 13．（2025八年级上·上海长宁·模拟预测）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 14．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点与点重合，则点表示的数为 ． 15．（2025·上海·模拟预测）定义：如果一个四位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足千位上的数字与个位上的数字的2倍的差等于百位上的数字与十位上的数字的2倍的差，则称这个四位数为差倍数．设A为一个差倍数，将A的千位数字与百位数字交换位置，十位和个位交换位置后得到的新数再与A相加的和与11的商记为．四位数A是一个差倍数，且千位数字a满足，是7的整数倍，则满足条件的A的最大值为 ． 16．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）观察下列等式∶； ； ； ； 根据以上规律，计算 ． 17．（2025·上海长宁·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 18．（25-26八年级上·上海奉贤·课后作业）某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形． （1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍． （2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2025八年级上·上海奉贤·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 20．（25-26八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 21．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 22．（25-26八年级上·上海普陀·阶段练习）现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 23．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）观察下列等式，解答下列问题． 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… (1)____________（填写运算结果）； (2)写出第n个等式：____________（用含n的代数式表示）； (3)是满足上述规律的代数式，若（a，b均为正整数），则的值为____________． 24．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 25．（25-26八年级上·上海静安·阶段练习）阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 学科网（北京）股份有限公司 $