数学探究 第二课时 杨辉三角的应用探究（一）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
2025-10-13
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普通
摘要：
该高中数学课件聚焦杨辉三角的应用探究，通过弹球游戏模拟实验导入，引导学生观察小球分布规律，衔接组合数与概率知识，进而探究古代垛积求和及开方算法，构建从具体实验到抽象应用的学习支架。
其特色在于融合数学文化与探究实践，通过弹球游戏培养数学眼光，小组解决垛积问题发展数学思维，借助杨辉三角解决开方问题提升数学语言表达能力。采用实验模拟、文献分析等方法，系统总结二项式系数性质，助力学生提升逻辑推理与建模能力，为教师提供素养导向的教学案例。
内容正文：
探秘杨辉三角
第二课时：杨辉三角的应用探究（一）
核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养:
1.逻辑推理:通过杨辉三角的构造与性质探究，提高学生的归纳推理和演绎推理能力;
2.数学建模:运用杨辉三角解决实际问题，培养学生建立数学模型、解决问题的能
力:3.数形结合:借助杨辉三角的图形特征，发展学生数形结合的数学思维:4.数学抽象:引导学生从具体的杨辉三角实例中提炼出一般性规律，提升数学抽象素养:
5.数据分析:通过对杨辉三角中数据的分析，培养学生发现规律、总结性质的能力。 。
课堂互动：弹球游戏模拟实验
实验任务：小球从顶部下落，每层随机向左或向右滚动，最终落入容器底层。
问题思考:
问题1：观察落入容器底层的小球数量分布，你能发现什么规律？
问题2：你能解释为什么会出现这样的分布吗？
1
情境激趣，问题启思
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提示：到达每个容器的通道数有什么不同？
探究活动一：弹球游戏
2
弹球探秘，概率寻规
第1层
第2层
第3层
第4层
第5层
1
2
3
4
6
1
1
1
1
1
1
1
3
4
探究活动二：垛积问题
三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.（出自杨辉《详解九章算法》）
（一个三角垛，底层每边排列12个物体，向上逐层减少，直至顶端1个。问：共有多少个物体？）
2
垛积析数，层级求和
自主阅读资料，以小组为单位解决以下问题：
1.古代“垛积问题”的实际背景？
2.三角垛每一层有多少个物体？
3.如何利用杨辉三角或组合数来解决这一问题？
1
1
1
2
1
1
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1
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6
4
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1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
=
=
=
=
探究活动三：开方问题
3
开方破题，算法通变
探究活动三：开方问题
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何？（出自杨辉《详解九章算法》）
（已知一个数的四次方是1336336，求这个数是多少）
=+b+++
3
开方破题，算法通变
第 0 行 1
第 1 行 1 1
第 2 行 1 2 1
第 3 行 1 3 3 1
第 4 行 1 4 6 4 1
第 5 行 1 5 10 10 5 1
第 6 行 1 6 15 20 15 6 1
小组活动：尝试求解方程 .
3
开方破题，算法通变
第 0 行 1
第 1 行 1 1
第 2 行 1 2 1
第 3 行 1 3 3 1
第 4 行 1 4 6 4 1
第 5 行 1 5 10 10 5 1
第 6 行 1 6 15 20 15 6 1
数学文化
研究方法
知识层面
从数学角度领略中国古代优秀传统文化，增强民族自豪感
“文献阅读与分析“
杨辉三角的应用：弹球游戏、垛积问题、开方问题
4
应用盘点，古智感悟
谈一谈你本节课有哪些收获？ .
a).表中每行两端都是1。
b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
总结1:
当n不大时，可用该表来求二项式系数。
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
二项式系数的对称性
总结2:
n是偶数时，中间的一项
取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。
总结3:
1
1
1
2
1
1
3
3
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10
10
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6
1
令a=b=1，则
在（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ …+ Cnran-rbr+ …+Cnnbn
证明:
变式1：
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。
变式2：
总结4:
二项式系数求和：
14
本节课你有什么收获？
知识上：
方法上：
归纳猜想,由特殊到一般,函数的思想
二项式系数的三个性质
距离相等
2n－1
2n
二项式的系数
斜看杨辉三角
第一条斜线上：
第二条斜线上：
第三条斜线上：
第四条斜线上：
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于
1+1+1+1+1+1=6
1+2+3+4+5=15
1+3+6+10=20
1+4+10=15
第m+1条斜线上的第n个数.
17
（1）数学阅读：请查阅相关资料，探究杨辉三角在其他数列问题中的应用。
（2）数学写作：请以“垛积术与中国古代传统数学智慧”为主题，写一篇不少于600字的文章，可从垛积术的重要价值、中算家的创新精神等角度展开。
5
阅读拓展，笔耕深思
承古算智慧，启创新思维，让数学之光照亮未来！
二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n展开式中，与首末两端___________的两个二项式系数相等，即
增减性
与最大值
增减性：当k＜eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的；当
k＞eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．
最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
相等，且同时取得最大值．
各二项式
系数的和
$
资源预览图
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