精品解析：福建省永春第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

永春一中2025年10月高二年月考数学科试卷 （2025.10） 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 2. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 5. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知点，设过点的直线为，取线段上一点．若．则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面.若是直线上的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为. B. 直线与平面所成的角为定值． C. 点到平面的距离的最小值为. D. 的最小值为-2． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________. 13. 将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 14. 如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体FCDE外接球的体积是__________. 四、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 （单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 （1）求品种的10棵桃树产量的第80百分位数； （2）求，，，； （3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 16. 如图，在平行六面体中，，，分别在，，上，且，，． （1）求证：； （2）若底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为120°，，若是的中点，求的长度． 17. 在中，角A，B，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点在边上，，． （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值． 18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． （1）若图1中，求劣弧的长； （2）若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； （3）由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中2025年10月高二年月考数学科试卷 （2025.10） 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 2. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】设经过，两点的直线的倾斜角为， 则，则. 故选：C. 3. 在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 4. 若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解． 【详解】因为直线过点，所以， 由和都是正实数，所以，，． 所以， 当时取等号，即，时取等号， 所以的最小值是. 故选:B． 5. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 所以，， 因为平面， 所以，故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故选：A 6. 已知点，设过点的直线为，取线段上一点．若．则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线经过点时的斜率取值范围，再求出该范围的补集即可. 【详解】由，得直线的斜率，直线的斜率， 如图,当直线经过点时，直线斜率满足或， 因此当时，直线的斜率满足， 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：B 7. 已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与向量同向的单位向量的有序实数组，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，根据，可得，从而求出答案. 【详解】因为向量在基底下用有序实数组表示为， 所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为， 设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为， 所以， 又因为， 所以，解得， 则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为. 故选：C. 8. 如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面.若是直线上的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得，，所以建立空间直角坐标系，根据线面角可得，再结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，，， 所以，即， 又平面平面，平面与平面相交于， 所以平面，又，平面， 所以，，又， 建立以为坐标原点，以，，为，，轴的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 因为是直线上的一点，设， 所以，，， 设平面的法向量为， ，即，令，可得， 设与平面所成角为，则， 当时，， 令， 则， 当时，即，时，. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，的夹角为锐角， ，且，解得且， 故的取值范围为.选项C、D符合题意. 故选：CD. 10. 已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案. 【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或， 所以直线的斜率或或或， 所以直线的方程可以为或或 或， 由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形. 故选：ABC. 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为. B. 直线与平面所成的角为定值． C. 点到平面的距离的最小值为. D. 的最小值为-2． 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，化简后得点的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合点的轨迹最小值判断D. 【详解】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形， 又，则和都是等边三角形， 设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 点在四边形及其内部运动，设，， 由，有， 即， 所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点的轨迹的长度为， A选项错误； 平面的法向量为，， 直线与平面所成的角为，则， 又由，则， 所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确； ，设平面的一个法向量为， 则有，令，得，， 所以点到平面的距离， ，所以时，， 所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确； ， ，其几何意义为点到点距离的平方减12， 由，点到点距离最小值为， 的最小值为，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在正方体中，分别为的中点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的分解和基底的定义求解. 【详解】因为， 所以所以. 故答案为:. 13. 将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将直线绕点逆时针旋转，所得直线的倾斜角为， ， 所以所求直线的点斜式方程为. 故答案为：. 14. 如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体FCDE外接球的体积是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得平面，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为半径为，则即可得到方程，求出，即可求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得； 【详解】 依题意平面， 所以平面， 又， 如图建立空间直角坐标系， 则， 依题意为直角三角形， 所以的外接圆的圆心在的中点， 设外接球的球心为半径为R, 则即 解得, 所以 所以外接球的体积 故答案为：. 四、本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和. （单位：kg） 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 （单位：kg） 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 （1）求品种的10棵桃树产量的第80百分位数； （2）求，，，； （3）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由. 【答案】（1） （2）；；； （3）选种品种，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据百分数知识即可求解； （2）根据平均数和方差公式求解即可求解； （3）比较平均值和方差的大小即可求解. 【小问1详解】 由题意将品种的棵桃树产量从小到大排列为：，，，，，，，，，； 且，则第百分位数为第位和第位数的平均数：. 故品种的棵桃树产量的第百分位数为. 【小问2详解】 由题意可得， 则 ； ， . 【小问3详解】 种植品种，因为，但是，所以品种产量较稳定. 16. 如图，在平行六面体中，，，分别在，，上，且，，． （1）求证：； （2）若底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为120°，，若是的中点，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意利用空间向量的线性运算，可得出，从而可得出； （2）根据平行六面体的结构特征及向量对应的线性位置关系，结合向量的加法、数乘的几何意义，用、、表示出，再应用向量数量积的运算律，即可求得，从而得出的长度. 【小问1详解】 证明：在平行六面体中， ∵，， ， ∴，，，， ∴ ， ∴. 【小问2详解】 由题意可知：，，面面 ∴为二面角的平面角，即 在平行六面体中有： ，，， ∵是的中点 ∴ 即． 17. 在中，角A，B，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点在边上，，． （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案； （2）（i）由题可得，则，然后由基本不等式可得 ，结合可得答案； （ii）设，由，则，结合， 可得，然后由分离常数，整体代换结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因，由正弦定理边角互化可得： ； 【小问2详解】 （i）因，则， 又注意到， ，则 ，由基本不等式，， 又由（1），，则. 当且仅当，即时取等号. （ii）设，则，其中. 又，则. 由（1）可得， 则. 注意到. 对于，令，其中. 则， ， 当且仅当，即时取等号. 则， 则. 【点睛】关键点睛：对于三角形中的最值问题，常利用正余弦定理，向量，基本不等式处理；对于分式型代数式的最值，常利用分离常数，上下同除，整体换元等方法来处理. 18. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． （1）若图1中，求劣弧的长； （2）若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； （3）由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据弧长公式计算即可； (2)根据弧长公式计算出，通过垂直关系得出，再计算球面三角形的面积，根据公式求出球面三角形的总曲率即可； (3)根据余弦定理，线面垂直的判定定理和性质定理得出，，两两垂直，以此建系，分别求出平面法向量和平面法向量，通过重要不等式计算即可. 【小问1详解】 设劣弧的长度为，因为，， 所以； 【小问2详解】 设，，的长度为，， 则，且，所以，，， 故平面，平面，平面两两垂直，得， 所以球面三角形的面积， 故球面三角形的总曲率； 【小问3详解】 由余弦定理知：，所以， ，所以， 因为，所以，因为，故， 由题知，是球的直径，则，， 因为，，且，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，，且，平面，所以平面， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以． 因为，，两两垂直， 以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系，设，，则， ，，，，， ，， 则，，，， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 要使取最大值，则取最小值，取最大值， 因为 ， 令，，则，， 可得， 当且仅当，即时等号成立． 则取最大值，为最小值，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $