2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一元二次不等式的实际应用及恒成立问题解法，通过复习回顾二次函数与方程、不等式的关系及求解步骤，搭建知识支架，衔接新旧内容。 以摩托车生产创收、刹车距离等实际问题为例，结合恒成立问题变式训练，通过问题链驱动和图像分析，培养直观想象、数学抽象和数学运算素养。实例丰富流程清晰，助力学生提升应用能力，便于教师高效教学。

人教A版高一（上）数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）教学设计 课题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课） 课型 习题课 课时 2 学习目标 1.巩固借助一元二次函数求解一元二次不等式的过程与方法； 2.进一步发展用函数的观点认识方程和不等式的数学思想，体会数学的整体性； 3.体会不同问题情境中一元二次不等式的应用，提高数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养. 学习重点 从函数观点看一元二次不等式、利用一元二次函数求解一元二次不等式. 学习难点 结合实际问题，体会用一元二次方程和不等式解决问题的全过程，丰富学 生的解题活动经验. 学情分析 学生在初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。 教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图像，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。 核心知识 1. 一元二次不等式的实际应用 2. 解决一元二次不等式恒成立问题的一般步骤 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 一、复习回顾 问题1 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格．并试着总结一元二次不等式的解集与二次函数、一元二次方程的关系有哪些？ （1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)的解集是二次函数图象在x轴上(下)方的部分对应的自变量的取值范围． （2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根． 问题2 求解一元二次不等式的步骤是怎样的？ 二、新知探究 1．利用一元二次不等式解决实际问题 例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系： y=－20x2+2200x． 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 追问1 这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？问题可以转化为解哪个不等式？对于实际问题还需要注意什么？ 答案：这个实际问题中蕴含的不等关系是：在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上．问题可以转化为解不等式－20x2+2200x>60000．在实际问题中要注意变量的实际意义对变量取值范围的限制． 解：设这家工厂在一个星期内大约应该生产x(x∈N*)辆摩托车，根据题意，得： －20x2+2200x>60000． 移项整理，得： x2－110x+3000<0． 对于方程x2－110x+3000=0，，方程有两个实数根x1=50，x2=60． 画出二次函数y=x2－110x+3000的图象如图1，结合图象得不等式x2－110x+3000<0的解集为{x|50<x<60}． 从而原不等式的解集为{x|50<x<60}． 追问2 本题中x的实际意义是什么？如何理解解集{x|50<x<60}？ 答案：因为x只能取正整数，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获利60000元以上. 例2 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：km/h）之间有如下关系： ． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆车刹车前的车速至少为多少（精确到1km/h）？ 追问1 该问题中的不等关系是什么？问题可以转化为解哪个不等式？这个实际问题中对变量有什么限制？ 答案：该问题中的不等关系是：测得这种车的刹车距离大于39.5m．问题可以转化为解不等式.因为v是车速，所以变量v>0；又为了实际生活中人们更容易识别，所以要求结果精确到1km/h，所以v∈N*． 解：根据题意，得： . 移项整理，得： v2+9v－7110>0． 对于方程v2+9v－7110=0，，方程有两个实数根 ． 画出二次函数s=v2+9v－7110的图象如图2，结合图象得不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}，从而原不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}． 因为车速车速v>0，所以v>v2．而79.9<v2<80，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h． 追问2 现在你能完成教科书第2.1节的问题2了吗？请你试一试． 解：不等式①移项整理，得2x2－13x+20≤0．用上述方法解这个不等式得．所以当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元． 总结 利用一元二次不等式解决生活中实际问题的步骤： （1）审：认真审题，寻找题中的不等关系； （2）设：引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）求：解不等式； （4）答：解释数学结果的实际意义． 2．一元二次不等式恒成立问题 例3当取什么值时，一元二次不等式对一切实数都成立. 变式1任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是 . 变式2 不等式的解集为，则的取值范围是 . 总结 解决一元二次不等式恒成立问题的一般步骤： （1）转化为函数（经常是参变分离）； （2）由题画出符合题意的函数图象或者求出最值； （3）看图或者根据最值列式； （4）准确求解. 三、归纳小结 问题5 利用一元二次不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？需要注意什么？解决一元二次不等式恒成立问题的一般步骤是什么？ 板书设计 1.利用一元二次不等式解决实际问题时应特别注意： (1)是否需要设变量或未知数； (2)为了使实际问题有意义，变量或未知数本身应在什么范 围. 2.例1、例2、例3. 作业设计 1. 教材习题：55页练习题第2、3题 2. 教辅书：《课后训练》2.3（第2课时） 3. 补充习题：复印的作业 其他任务：预习下一节 教学反思 1、 拓展的例题不足； 2、学生主体性体现不到位. 　 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $