1.2 有理数及其大小比较 讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

1.2有理数及其大小比较 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】有理数的概念 6 【题型2】有理数的分类 7 【题型3】数轴及其画法 7 【题型4】用数轴上的点表示有理数 8 【题型5】数轴上的动点问题 9 【题型6】相反数 10 【题型7】相反数的应用-多重符号的化简 11 【题型8】绝对值 11 【题型9】绝对值的化简 12 【题型10】绝对值的应用 12 【题型11】有理数的大小比较 13 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识图谱 【知识点1】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2024秋•桑植县期末）下列四个有理数中属于负数的是（　　） A． B．0 C．-0.3 D．1 2.（2024秋•天峨县期末）下列四个数中是整数的是（　　） A． B．0.25 C． D．-2025 【知识点2】数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．          数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 1.（2025春•济源期末）陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如表所示，设窑内温度为t℃，t的范围在数轴上表示如图所示，则此时窑内火焰的色调是（　　） 火焰色调 温度/℃ 最初赤色 475 最初赤色至暗赤 475～650 暗赤至樱桃红 650～750 樱桃红至鲜红 750～820 鲜红至橘黄 820～900 橘黄至黄色 900～1090 黄色至浅黄色 1090～1320 浅黄色至白色 1320～1540 灰白色 1540以上 A．橘黄至黄色 B．黄色至浅黄色 C．浅黄至白色 D．灰白色 【知识点3】相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1.（2025春•新田县期末）的相反数是（　　） A．- B． C． D． 【知识点4】绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．  ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0） 1.（2025•张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．-（+5）与+（-5） B．与-（+0.5） C．-|-0.01|与-（-） D．与0.3 2.（2025•瑶海区二模）2025的绝对值是（　　） A．2025 B．-2025 C． D． 【知识点5】非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024秋•历城区校级月考）已知|a+3|+|b-2|=0，则a-b=（　　） A．5 B．1 C．3 D．-5 【知识点6】有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则：     ①正数都大于0；      ②负数都小于0；      ③正数大于一切负数；      ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a-b＞0，则a＞b； 若a-b＜0，则a＜b； 若a-b=0，则a=b． 1.（2024秋•新田县期末）下列有理数大小关系判断正确的是（　　） A． B．0＞|-10| C．|-7|＞|+9| D．-π＞-3 2.（2025•碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（　　） A．-1.5 B．0 C．3 D．1 【题型1】有理数的概念 【典型例题】在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负整数有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三1】下列说法： ①0是整数；②－2是负有理数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤所有小数一定是有理数． 其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】下面的说法中，正确的是（    ） A.正有理数和负有理数统称有理数 B.整数和小数统称有理数 C.整数和分数统称有理数 D.整数、零和分数统称有理数 【举一反三3】写出一个非正有理数________________. 【举一反三4】　     　         称为有理数． 【举一反三5】指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：13，4.3，-，8.5%，-30，-12%，，-7.5，20，-60，. 【举一反三6】指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： -15，+6，-2，-，1，，0，3，0.63，-. 【题型2】有理数的分类 【典型例题】下列说法正确的是（    ） A.一定大于0 B.一定是负数 C.一个数不是正数就是负数 D.分数都是有理数 【举一反三1】下列说法中，正确的是（    ） A.一个有理数不是正数就是负数 B.一定是正数 C.两个数的差一定小于被减数 D.如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 【举一反三2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：0.618，－3.14，－4，－35，13，6%，0，32. (1)正整数：{______________…}； (2)整数：{______________…}. 【举一反三3】把下列各数填在相应的集合内： -8，+5，0.06，-5.15，0，-5%，π，1.5. （1）整数集合：{　                    　…}； （2）负有理数集合：{　                  　…}； （3）非负有理数集合：{　                   　…}； （4）有理数集合：{　                       　…}． 【题型3】数轴及其画法 【典型例题】下列表示数轴正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图各图中，表示的数轴正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】下列图形中，属于数轴的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】下列图中为数轴是(　　) A. B. C. D. 【举一反三4】下列各图中，表示数轴正确的是（　　） A. B. C. D. 【题型4】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】如图，在数轴上有A，B，C三点，点A，B对应的数分别为﹣5，3．若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C对应的数为（　　） A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【举一反三1】下列说法错误的是(　　) A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B.数轴上原点表示的数是0 C.数轴上表示－3的点与表示＋3的点的距离是3 D.数轴上表示－1的点在原点左侧 【举一反三2】如图所示数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-2，那么点B表示的数是（  ） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三3】数轴上如果点A表示数，那么点B表示的数为 　　． 【举一反三4】下列数线上，A点所表示的数是 　　，B点所表示的数是 　　． 【举一反三5】（1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数； （2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：﹣，4． 【题型5】数轴上的动点问题 【典型例题】点A为数轴上表示﹣5的点，将点A在数轴上平移2个单位长度到点B，则点B所表示的数为（　　） A.3 B.﹣3 C.﹣3或﹣7 D.﹣3或7 【举一反三1】A为数轴上表示﹣2的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（　　） A.﹣7 B.﹣3或7 C.﹣7或3 D.3 【举一反三2】数轴上，点A表示﹣5，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　） A.1 B.﹣1 C.1或﹣9 D.﹣1或﹣9 【举一反三3】数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 　     　． 【举一反三4】某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家． (1)如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(一格表示50米)． (2)聪聪家与刚刚家相距多远？ 【举一反三5】李老师从学校出发，向东走了3.5千米到了图书馆，又向东继续走了1千米到了超市，然后向西走了8.5千米到了博物馆，又继续向西走了1.5千米到了动物园，最后又回到学校．以1厘米表示实际距离1千米，画出数轴，结合数轴回答下列问题： (1)博物馆离图书馆多远？ (2)李老师共走了多少千米？ 【题型6】相反数 【典型例题】﹣2024的相反数是（　　） A.﹣2024 B.2024 C. D.﹣ 【举一反三1】下列两个数互为相反数的是（　　） A.和0.2 B.3和 C.5和﹣5 D.﹣2.5和 【举一反三2】－2017的相反数是(　　) A.2017 B.－2017 C. D.－ 【举一反三3】- 2023 的相反数是        ． 【举一反三4】若a＝－10，那么－a＝________________. 【举一反三5】把下列两行数中互为相反数的数连起来. 【举一反三6】如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时,（1）a=-a？（2）-a>a？（3）-a<a? 【题型7】相反数的应用-多重符号的化简 【典型例题】－[－(－3)]化简后是(　　) A.－3 B.3 C.±3 D.以上都不对 【举一反三1】下列各对数中，互为相反数的有(　　) －1与±(－1)，＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(－)与＋(＋)，－(＋2)与－(－2). A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 【举一反三2】下列化简，正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】﹣[﹣（﹣）]＝　     　． 【举一反三4】在，，，这四个数中，负数的有      ． 【举一反三5】化简下列各数：（1）﹣（+3.5）； （2）﹣（﹣11）； （3）+[﹣（﹣1）]； （4）﹣[+（﹣5.8）]； （5）﹣|﹣[+（﹣）]|； （6）+|﹣[+（﹣20）]|． 【举一反三6】化简：(1)－{＋[－(＋3)]}；(2)－{－[－(－3)}；(3)－[－(－8)]. 【题型8】绝对值 【典型例题】有理数的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若|a|＝|b|，则a与b的关系是(　　) A.a＝b B.a＝b C.a＝b＝0 D.a＝b或a＝－b 【举一反三2】有下列说法：①平方等于它本身的数是0和；②一定是负数；③绝对值等于它本身的数是0，1；④倒数等于它本身的数是．其中，错误的有                  （填写序号）． 【举一反三3】综合应用题： |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）|x|的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；|x|　 　|x﹣0|（＞，＝，＜）； （2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝　 　； （3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　    　． （4）|x+2|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝　       　． 【举一反三4】分别写出-2，-5，7.5的相反数和绝对值. 【题型9】绝对值的化简 【典型例题】对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（    ） A.﹣2 B.﹣6 C.0 D.2 【举一反三1】下列各组数中，不相等的一组是(　　) A.－(＋7)，－|－7| B.－(＋7)，－|＋7| C.＋(－7)，－(＋7) D.＋(＋7)，－|－7| 【举一反三2】计算：﹣[﹣（+2）]＝　  　，﹣|﹣2|＝　 　． 【举一反三3】﹣（﹣4）＝　   　，﹣|﹣4|＝　     　． 【举一反三4】化简下列各数： +|-3.5|，-|+|，-|﹣11|，|+（﹣15）|，|﹣（﹣7）|，|﹣（+9）|. 【题型10】绝对值的应用 【典型例题】排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号+20，②号+15，③号﹣3，④号﹣14，那么质量最接近标准的排球是（　　） A.①号 B.②号 C.③号 D.④号 【举一反三1】若，则（   ） A.1 B. C.3 D. 【举一反三2】测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差(g)如表．通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负．请你选出最接近标准质量的球是__________号． 【举一反三3】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求“零件的长度可以有0.2厘米的误差”．现抽查5个零件，检查数据如下(超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记为负数)： 从表中可以看出，符合质量要求的是__________，它们中质量最好的是___________. 【举一反三4】某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下(单位：km)：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6. 若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 【题型11】有理数的大小比较 【典型例题】已知有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列选项中正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】下列数据中，是大于﹣1且小于0的数是（　　） A.﹣3 B.3 C. D. 【举一反三2】比较大小：－3      2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【举一反三3】将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列．(用“”号连接起来) ，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2有理数及其大小比较 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】有理数的概念 8 【题型2】有理数的分类 10 【题型3】数轴及其画法 11 【题型4】用数轴上的点表示有理数 13 【题型5】数轴上的动点问题 15 【题型6】相反数 17 【题型7】相反数的应用-多重符号的化简 18 【题型8】绝对值 20 【题型9】绝对值的化简 21 【题型10】绝对值的应用 22 【题型11】有理数的大小比较 24 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识图谱 【知识点1】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2024秋•桑植县期末）下列四个有理数中属于负数的是（　　） A． B．0 C．-0.3 D．1 【答案】C 【分析】根据正数和负数的意义选出即可． 【解答】解：-0.3属于负数． 故选：C． 2.（2024秋•天峨县期末）下列四个数中是整数的是（　　） A． B．0.25 C． D．-2025 【答案】D 【分析】根据有理数各数的特点判断即可得出答案． 【解答】解：A、是分数，不符合题意； B、0.25是小数，不符合题意； C、是分数，不符合题意； D、-2025是整数，符合题意， 故选：D． 【知识点2】数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．          数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 1.（2025春•济源期末）陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如表所示，设窑内温度为t℃，t的范围在数轴上表示如图所示，则此时窑内火焰的色调是（　　） 火焰色调 温度/℃ 最初赤色 475 最初赤色至暗赤 475～650 暗赤至樱桃红 650～750 樱桃红至鲜红 750～820 鲜红至橘黄 820～900 橘黄至黄色 900～1090 黄色至浅黄色 1090～1320 浅黄色至白色 1320～1540 灰白色 1540以上 A．橘黄至黄色 B．黄色至浅黄色 C．浅黄至白色 D．灰白色 【答案】B 【分析】根据数轴和表中数据即可得到结论． 【解答】解：根据数轴可得题意得，窑内温度的范围是1260≤t≤1306， 所以此时窑内火焰的色调是黄色至浅黄色． 故选：B． 【知识点3】相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1.（2025春•新田县期末）的相反数是（　　） A．- B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：的相反数是-． 故选：A． 【知识点4】绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．  ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0） 1.（2025•张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．-（+5）与+（-5） B．与-（+0.5） C．-|-0.01|与-（-） D．与0.3 【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【解答】解：A．-（+5）=-5，+（-5）=-5，选项A不符合题意； B．-（+0.5）=-0.5，与-相等，选项B不符合题意； C．-|-0.01|=-0.01，-（-）==0.01，-0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意； D．-与0.3不是相反数，选项D不符合题意； 故选：C． 2.（2025•瑶海区二模）2025的绝对值是（　　） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义进行求解即可． 【解答】解：∵|2025|=2025， ∴2025的绝对值是2025， 故选：A． 【知识点5】非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024秋•历城区校级月考）已知|a+3|+|b-2|=0，则a-b=（　　） A．5 B．1 C．3 D．-5 【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+3|+|b-2|=0， ∴a+3=0，b-2=0， ∴a=-3，b=2， ∴a-b=-5． 故选：D． 【知识点6】有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则：     ①正数都大于0；      ②负数都小于0；      ③正数大于一切负数；      ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a-b＞0，则a＞b； 若a-b＜0，则a＜b； 若a-b=0，则a=b． 1.（2024秋•新田县期末）下列有理数大小关系判断正确的是（　　） A． B．0＞|-10| C．|-7|＞|+9| D．-π＞-3 【答案】A 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A、∵=，=-，＞-，∴＞，则该选项正确，符合题意； B、∵|-10|=10，0＜10，∴0＜|-10|，则该选项错误，不符合题意； C、∵|-7|=7，|+9|=9，7＜9，∴|-7|＜|+9|，则该选项错误，不符合题意； D、∵|-π|=π，|-3|=3，π＞3，∴-π＜-3，则该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2.（2025•碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（　　） A．-1.5 B．0 C．3 D．1 【答案】A 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-1.5＜0＜1＜3， ∴最小的数是：-1.5． 故选：A． 【题型1】有理数的概念 【典型例题】在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负整数有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】0，7是非负整数，共2个. 故选：C． 【举一反三1】下列说法： ①0是整数；②－2是负有理数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤所有小数一定是有理数． 其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【举一反三2】下面的说法中，正确的是（    ） A.正有理数和负有理数统称有理数 B.整数和小数统称有理数 C.整数和分数统称有理数 D.整数、零和分数统称有理数 【答案】C 【解析】A.正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误； B.无限不循环小数是无理数，故本选项错误； C.整数和分数统称为有理数，故本选项正确； D.整数包括零，故本选项错误； 故选C． 【举一反三3】写出一个非正有理数________________. 【答案】答案不唯一，如：0或－0.5等.(只要是负有理数或0即可) 【解析】根据题意，0或其他负有理数，答案不唯一. 【举一反三4】　     　         称为有理数． 【答案】可以写成分数形式的数 【解析】可以写成分数形式的数称为有理数． 【举一反三5】指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：13，4.3，-，8.5%，-30，-12%，，-7.5，20，-60，. 【答案】解：正有理数：13，4.3，8.5%，，20，；其中正整数有13，20. 负有理数：-，-30，-12%，-7.5，-60；基中负整数有-30，-60. 【举一反三6】指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： -15，+6，-2，-，1，，0，3，0.63，-. 【答案】解：正有理数：+6，1，，3，0.63. 负有理数：-15，-2，-，-. 整数：-15，+6，-2，1，0. 【题型2】有理数的分类 【典型例题】下列说法正确的是（    ） A.一定大于0 B.一定是负数 C.一个数不是正数就是负数 D.分数都是有理数 【答案】D 【解析】A．一定大于或等于0，原说法错误，不符合题意； B．可以是负数或正数或0，原说法错误，不符合题意； C． 0既不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意； D．分数都是有理数，原说法正确，符合题意， 故选：D． 【举一反三1】下列说法中，正确的是（    ） A.一个有理数不是正数就是负数 B.一定是正数 C.两个数的差一定小于被减数 D.如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数 【答案】D 【解析】一个有理数不是正数就是负数或0，故A不符合题意； 是非负数，故B不符合题意； ∵， ∴两个数的差一定小于被减数是错误的，故C不符合题意； 如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数，描述正确，故D符合题意； 故选D. 【举一反三2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：0.618，－3.14，－4，－35，13，6%，0，32. (1)正整数：{______________…}； (2)整数：{______________…}. 【答案】32；－4，0，32 【解析】(1)正整数：{32，…}；(2)整数：{－4，0，32，…}. 【举一反三3】把下列各数填在相应的集合内： -8，+5，0.06，-5.15，0，-5%，π，1.5. （1）整数集合：{　                    　…}； （2）负有理数集合：{　                  　…}； （3）非负有理数集合：{　                   　…}； （4）有理数集合：{　                       　…}． 【答案】解：（1）整数集合：{﹣8，+5，0，…}． （2）负有理数集合：{-8，﹣5.15，，﹣5%，…}． （3）非负数集合：{+5，0.06，0，π，1.5，…}． （4）有理数集合：{﹣8，+5，0.06，﹣5.15，0，，﹣5%，1.5，…}． 【题型3】数轴及其画法 【典型例题】下列表示数轴正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A中的单位长度不一致，不正确； B中负数排列错误，应从原点向左依次排列，故B错； C是正确的数轴，故此选项正确； D中正负数标颠倒，也不正确． 故选：C． 【举一反三1】如图各图中，表示的数轴正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图各图中，表示的数轴正确的是. 故选：C． 【举一反三2】下列图形中，属于数轴的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、是数轴，故此选项正确；B、没有单位长度，不是数轴，故此选项错误；C、没有正方向，不是数轴，故此选项错误；D、没有原点、单位长度，不是数轴，故此选项错误. 【举一反三3】下列图中为数轴是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、没有原点，故A错误；B、单位长度标在数轴上方，故B错误；C、符合数轴的三要素，故C正确；D、没有正方向，故D错误. 【举一反三4】下列各图中，表示数轴正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为含有原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，且A选项中的没有正方向，故A选项错误； B选项中的是符合要求的数轴，故B选项正确； C选项中的单位长度不一致，故C选项错误； D选项中的负方向的刻度标错，故D选项错误. 故选：B． 【题型4】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】如图，在数轴上有A，B，C三点，点A，B对应的数分别为﹣5，3．若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C对应的数为（　　） A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【答案】B 【解析】表示-5的点到原点距离是5个单位长度；表示3的点到原点的距离是3个单位长度， 因为点A和点B在原点两侧，所以线段AB=8，所以AC=BC=4， 由点B表示的数可知，原点在点C的右侧一个单位长度处，所以点C表示的数为-1. 故选：B． 【举一反三1】下列说法错误的是(　　) A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B.数轴上原点表示的数是0 C.数轴上表示－3的点与表示＋3的点的距离是3 D.数轴上表示－1的点在原点左侧 【答案】C 【解析】A、所有有理数都可用数轴上的点表示，正确，与要求不符； B、数轴上原点表示的数是0，正确，与要求不符； C、数轴上表示－3的点与表示＋3的点的距离是6，故C错误，与要求相符合； D、数轴上表示－1的点在原点左侧，正确，与要求不符． 【举一反三2】如图所示数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-2，那么点B表示的数是（  ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】点在点的右侧距离点A点4个单位长度，即B点表示的数比-2大4. 点表示的数为：， 故选C． 【举一反三3】数轴上如果点A表示数，那么点B表示的数为 　　． 【答案】 【解析】设一个小格的长度为x， 1﹣＝2x， x＝， +5x＝+＝． 点B表示的数是． 【举一反三4】下列数线上，A点所表示的数是 　　，B点所表示的数是 　　． 【答案】﹣24， 【解析】由左边数轴可知，每一个格表示36÷3＝12，12×2＝24，在0的左侧表示的数是负数，因此点A就用﹣24表示； 右边数轴中每一格表示，点B在0的右侧，并占1格，就是． 【举一反三5】（1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数； （2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：﹣，4． 【答案】解：（1）由数轴可得，点A，B，C，D表示的数分别是：﹣3，﹣1.5，0，2. （2）先画出数轴，表示如图所示. 【题型5】数轴上的动点问题 【典型例题】点A为数轴上表示﹣5的点，将点A在数轴上平移2个单位长度到点B，则点B所表示的数为（　　） A.3 B.﹣3 C.﹣3或﹣7 D.﹣3或7 【答案】C 【解析】∵点A为数轴上表示﹣5的点， ∴将点A在数轴上向右平移2个单位长度到﹣3，将点A在数轴上向左平移2个单位长度到﹣7， ∴点B所表示的数为﹣3或﹣7. 故选：C． 【举一反三1】A为数轴上表示﹣2的点，将点A沿数轴移动5个单位长度到点B，点B所表示的数为（　　） A.﹣7 B.﹣3或7 C.﹣7或3 D.3 【答案】C 【解析】向左移动5个单位长度对应的点表示﹣7，向右移动5个单位长度对应的点表示3. 故选：C． 【举一反三2】数轴上，点A表示﹣5，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　） A.1 B.﹣1 C.1或﹣9 D.﹣1或﹣9 【答案】D 【解析】点A表示﹣5，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B， 向左移动4个单位，则点B表示的数是﹣9， 向右移动4个单位，则点B表示的数是﹣1． 故选：D． 【举一反三3】数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 　     　． 【答案】1 【解析】∵数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，∴点A表示的数是1. 【举一反三4】某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家． (1)如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(一格表示50米)． (2)聪聪家与刚刚家相距多远？ 【答案】解：(1)如图所示. (2)150＋200＝350(米)，所以聪聪家与刚刚家相距350米. 【举一反三5】李老师从学校出发，向东走了3.5千米到了图书馆，又向东继续走了1千米到了超市，然后向西走了8.5千米到了博物馆，又继续向西走了1.5千米到了动物园，最后又回到学校．以1厘米表示实际距离1千米，画出数轴，结合数轴回答下列问题： (1)博物馆离图书馆多远？ (2)李老师共走了多少千米？ 【答案】解：(1)如图， 博物馆离图书馆：4＋3.5＝7.5千米． 答：博物馆离图书馆7.5千米. (2)3.5＋1＋8.5＋1.5＋5.5＝20千米． 答：李老师共走了20千米． 【题型6】相反数 【典型例题】﹣2024的相反数是（　　） A.﹣2024 B.2024 C. D.﹣ 【答案】B 【解析】﹣2024的相反数是2024. 故选：B． 【举一反三1】下列两个数互为相反数的是（　　） A.和0.2 B.3和 C.5和﹣5 D.﹣2.5和 【答案】C 【解析】A、绝对值不相等不是相反数，故A不符合题意； B、只有符号不同的数互为相反数，故B不符合题意； C、只有符号不同的数互为相反数，故C符合题意； D、绝对值不相等不是相反数，故D不符合题意. 故选：C． 【举一反三2】－2017的相反数是(　　) A.2017 B.－2017 C. D.－ 【答案】A 【解析】－2017的相反数是2017. 【举一反三3】- 2023 的相反数是        ． 【答案】2023 【解析】-2023的相反数是：2023． 故答案为：2023． 【举一反三4】若a＝－10，那么－a＝________________. 【答案】10 【解析】a＝－10，－a＝10． 【举一反三5】把下列两行数中互为相反数的数连起来. 【答案】解：互为相反数的数是：﹣2.5和，0和0，3和﹣3.6，1和﹣1，﹣1.24和1.24，﹣0.2和，325和﹣325． 【举一反三6】如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时,（1）a=-a？（2）-a>a？（3）-a<a? 【答案】解：（1）a是一个有理数，如果一个数与它的相反数相等，这个数只能是0，所以当a=0的时候，a=-a. （2）当有理数a是负数时，那么它的相反数-a就是正数，而所有的正数大于所有的负数，所以当a<0时，-a>a. （3）当有理数a是正数时，它的相反数-a就是负数，因为负数都小于正数，所以当a>0时，-a<a. 【题型7】相反数的应用-多重符号的化简 【典型例题】－[－(－3)]化简后是(　　) A.－3 B.3 C.±3 D.以上都不对 【答案】A 【解析】－[－(－3)＝－[＋3]＝－3. 【举一反三1】下列各对数中，互为相反数的有(　　) －1与±(－1)，＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(－)与＋(＋)，－(＋2)与－(－2). A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 【答案】C 【解析】由相反数的定义可知：＋(＋1)与－1，－(－2)与＋(－2)，＋[－(＋1)]与－[＋(－1)]，－(＋2)与－(－2)互为相反数，共有4对. 【举一反三2】下列化简，正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、，正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【举一反三3】﹣[﹣（﹣）]＝　     　． 【答案】﹣ 【解析】﹣[﹣（﹣）]＝﹣． 【举一反三4】在，，，这四个数中，负数的有      ． 【答案】、 【解析】∵，∴是正数， ∵，∴是正数， ∵，∴是负数， ∵， ∴是负数， ∴在，，，这四个数中，负数的有、， 故答案为：、． 【举一反三5】化简下列各数：（1）﹣（+3.5）； （2）﹣（﹣11）； （3）+[﹣（﹣1）]； （4）﹣[+（﹣5.8）]； （5）﹣|﹣[+（﹣）]|； （6）+|﹣[+（﹣20）]|． 【答案】解：（1）﹣（+3.5）＝﹣3.5. （2）﹣（﹣11）＝11. （3）+[﹣（﹣1）]＝1. （4）﹣[+（﹣5.8）]＝5.8. （5）﹣|﹣[+（﹣）]|＝﹣. （6）+|﹣[+（﹣20）]|＝20． 【举一反三6】化简：(1)－{＋[－(＋3)]}；(2)－{－[－(－3)}；(3)－[－(－8)]. 【答案】解：(1)－{＋[－(＋3)]}＝－{＋[－3]}＝－{－3}＝3. (2)－{－[－(－3)]}＝－{－[＋3]}＝－{－3}＝3. (3)－[－(－8)]＝－[＋8]＝－8. 【题型8】绝对值 【典型例题】有理数的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】||＝． 故选：A． 【举一反三1】若|a|＝|b|，则a与b的关系是(　　) A.a＝b B.a＝b C.a＝b＝0 D.a＝b或a＝－b 【答案】D 【解析】因为|a|＝|b|，所以a＝±b，即a＝b或a＝－b． 【举一反三2】有下列说法：①平方等于它本身的数是0和；②一定是负数；③绝对值等于它本身的数是0，1；④倒数等于它本身的数是．其中，错误的有                  （填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】①平方等于它本身的数是0和1；故①错误； ②不一定是负数，例如时，；故②错误； ③绝对值等于它本身的数是0和正数；故③错误； ④倒数等于它本身的数是；故④正确； 故答案为：①②③． 【举一反三3】综合应用题： |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）|x|的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；|x|　 　|x﹣0|（＞，＝，＜）； （2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝　 　； （3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　    　． （4）|x+2|的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝　       　． 【答案】解：（1）|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；|x|＝x﹣0|. （2）|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则|2﹣1|＝1. （3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝4或2． （4）|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示﹣2的点之间的距离，若|x+2|＝2，则x＝0或﹣4． 【举一反三4】分别写出-2，-5，7.5的相反数和绝对值. 【答案】解：-2，-5，7.5的相反数分别是2，5，-7.5；-2，-5，7.5的绝对值分别是2，5，7.5. 【题型9】绝对值的化简 【典型例题】对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（    ） A.﹣2 B.﹣6 C.0 D.2 【答案】B 【解析】∵a※b=|a|-|b|-|a-b|， ∴2※（-3） =|2|-|-3|-|2-（-3）| =2-3-|2+3| =2-3-5 =-6， 故选：B． 【举一反三1】下列各组数中，不相等的一组是(　　) A.－(＋7)，－|－7| B.－(＋7)，－|＋7| C.＋(－7)，－(＋7) D.＋(＋7)，－|－7| 【答案】D 【解析】＋(＋7)＝7，－|－7|＝－7. 【举一反三2】计算：﹣[﹣（+2）]＝　  　，﹣|﹣2|＝　 　． 【答案】2；﹣2 【解析】﹣[﹣（+2）]＝﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2． 【举一反三3】﹣（﹣4）＝　   　，﹣|﹣4|＝　     　． 【答案】4，﹣4 【解析】﹣（﹣4）＝4；﹣|﹣4|＝﹣4． 【举一反三4】化简下列各数： +|-3.5|，-|+|，-|﹣11|，|+（﹣15）|，|﹣（﹣7）|，|﹣（+9）|. 【答案】解：+|-3.5|=3.5，-|+|=-，-|﹣11|=-11，|+（﹣15）|=15，|﹣（﹣7）|=7，|﹣（+9）|=9. 【题型10】绝对值的应用 【典型例题】排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号+20，②号+15，③号﹣3，④号﹣14，那么质量最接近标准的排球是（　　） A.①号 B.②号 C.③号 D.④号 【答案】C 【解析】各数的绝对值分别为20，15，3，14， ∵20＞15＞14＞3，∴质量最接近标准的排球是③号. 故选：C． 【举一反三1】若，则（   ） A.1 B. C.3 D. 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【举一反三2】测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差(g)如表．通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负．请你选出最接近标准质量的球是__________号． 【答案】3 【解析】因为|0.2|＞|＋0.15|＞|0.1|＝|0.1|＞|－0.05|，所以最接近标准质量是3号． 【举一反三3】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求“零件的长度可以有0.2厘米的误差”．现抽查5个零件，检查数据如下(超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记为负数)： 从表中可以看出，符合质量要求的是__________，它们中质量最好的是___________. 【答案】③④；③ 【解析】由表中的数值，计算它们的绝对值可得符合质量要求的是③④，它们中质量最好的是③. 【举一反三4】某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下(单位：km)：＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6. 若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？ 【答案】解：(|15|＋|－2|＋5＋|－1|＋|－10|＋|－3|＋|－2|＋|12|＋|4|＋|－5|＋|6|)×3＝70×3＝210(升)． 小组从出发到收工耗油210升，因为180升＜210升，所以收工前需要中途加油， 所以应加：210－180＝30(升). 答：收工前需要中途加油，应加30升. 【题型11】有理数的大小比较 【典型例题】已知有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列选项中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由数轴可知： 且, ，, 故选B． 【举一反三1】下列数据中，是大于﹣1且小于0的数是（　　） A.﹣3 B.3 C. D. 【答案】D 【解析】∵﹣3＜﹣1，3＞0，＞0，﹣1＜﹣＜0，∴所给的数据中，是大于﹣1且小于0的数是﹣． 故选：D． 【举一反三2】比较大小：－3      2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】根据正数大于负数，所以-3<2， 故答案为：＜． 【举一反三3】将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列．(用“”号连接起来) ，，，． 【答案】解：，，, 在数轴上表示各数如下： 将各数排列为：． 学科网（北京）股份有限公司 $