2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系，以园艺围矩形实际问题导入，通过对比一元一次不等式抽象出一元二次不等式定义，搭建“实际情境—概念形成—关系探究”的学习支架。 特色在于以“三个二次”关系为核心，用数形结合思想从特殊函数图象归纳一般解法，通过例题变式与步骤框图培养数学思维。融入数学建模（实际问题抽象）、直观想象（图象分析）素养，助力学生系统掌握解法，为教师提供可操作的概念教学范式。

人教A版高一（上）数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）教学设计 课题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课） 课型 概念课 课时 2 学习目标 1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； 2. 理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，认识到函数的重要性，体会数学的整体性； 3. 能够体会归纳，概括的方法，把握三者之间的内在联系，借助二次函数，求解一元二次不等式，渗透数学建模的素养，提升数学运算素养. 学习重点 从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，在建立二次函数与一元二次方程、不等式的联系中，获得用二次函数求解一元二次不等式的一般性方法. 学习难点 从函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式，并归纳概括出一元二次不等式的一般性解法. 学情分析 学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法，在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上初步具备了一定的解决问题的能力，同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系，因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性，但是学生能力有限，真正掌握还有一定的难度。 教学时，可以利用具体的一元二次不等式，让学生观察二次函数的图象，获得对解一元二次不等式方法的认识，培养学生直观想象的核心素养。 核心知识 1.一元二次不等式 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3.一元二次不等式的求解过程 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 一、问题导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元二次不等式，发现了三者之间的内在联系，可以利用函数观点把它们统一起来，而且利用这种联系可以很好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？ 二、新知探究 1．一元二次不等式的定义 问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20，则这个矩形的边长为多少米？ 答案：①设矩形的一边长为m，另一边长为m，可以得到 消元可得，其中. ②设矩形的一边长为m，则另一边长为m，由题意，得，其中． 追问1 不等式，即，与一元一次不等式相比，有什么相同点和不同点？你能再举出一些类似的不等式吗？ 答案：相同点：都只含有一个未知数；不同点：一元一次不等式中未知数的最高次数是1，而不等式中未知数的最高次数是2． 追问2 类比一元一次不等式的定义，你能给这类不等式起个名字吗？并试着给出它的定义及其一般形式． 定义：不等式含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，所以称其为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式： ax2+bx+c>0或者ax2+bx+c<0，其中a，b，c为常数，且 a≠0. 2．探究一元二次不等式的解法 问题2 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，那么这三者之间的关系是什么？ 问题3 类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数y=x2－12x+20为例． 追问1 点P为函数y=x2－12x+20图象上的一点，当点P的纵坐标为0时，如何求点P的横坐标？ 答案：解方程x2－12x+20=0，方程的实数根就是点P的横坐标. 追问2 一元二次方程x2－12x+20=0的实数根与二次函数y=x2－12x+20有什么关系？这个结论推广到一般的二次函数，该怎么叙述？（提示：自己先尝试叙述，然后阅读教科书第50页最后一段，进行修正） 答案：一元二次方程x2－12x+20=0的实数根就是二次函数y=x2－12x+20图象与x轴交点的横坐标. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c( a≠0)图象与x轴交点的横坐标.对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 即二次函数y=x2－12x+20的两个零点为x1=2，x2=10. 追问3 二次函数y=x2－12x+20的两个零点将x轴分成三段，每一段（零点除外）对应的函数图象有什么特点？函数值有什么特点？ 答案：当x<2时，对应的函数图象在x轴上方，此时y>0，即x2－12x+20>0； 当2<x<10时，对应的函数图象在x轴下方，此时y<0，即x2－12x+20<0； 当x>10时，对应的函数图象在x轴上方，此时y>0，即x2－12x+20>0. 追问4 根据二次函数y=x2－12x+20的图象，不等式x2－12x+20<0与x2－12x+20>0的解集分别是什么？ 答案：当y=0时，即方程x2－12x+20=0的解x1=2，x2=10，即x1=2，x2=10是二次函数 y=x2－12x+20的零点.根据二次函数y=x2－12x+20的图象可得： 不等式x2－12x+20>0的解集是{x|x<2或x>10}， 不等式x2－12x+20<0的解集是{x|2<x<10}. 追问5 “问题1”中矩形的边长应该是多少米？ 答案：因为x2－12x+20<0的解集是{x|2<x<10}，即矩形的边长大于2m小于10m． 问题4 求解一元二次不等式x2－12x+20<0与x2－12x+20>0的方法，可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）的解集吗？对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）与相应的函数y=ax2+bx+c（a>0）之间是否也具有类似的关系？请完成下表． 三、应用举例 例1求下列不等式的解集： （1）x2－5x＋6>0； （2）9x2－6x＋1>0； （3）－x2+2x－3>0． 追问1 求解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何不同？如何转化为（1）（2）题？ 追问2 结合例1，你能否完善一下解一元二次不等式的一般步骤呢？试着以框图的形式呈现． 练习1解不等式： (1)；(2). 练习2 是什么实数时，下列各式有意义 (1)；(2). 练习3已知，，求，. 例2 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－3，或x>5}，则ax2－bx＋c<0的解集为________. 练习4已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为________. 四、归纳小结 问题5 这节课我们学习了解一元二次不等式，回答下列问题，总结本节课的学习. （1）我们是如何研究解一元二次不等式的？在这个过程中体现了哪些数学思想方法？ （2）解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a≠0）的步骤是什么？ 答案：（1）从具体的实际问题入手，由特殊到一般，从函数的观点看一元二次不等式，将求解一元二次不等式的问题化归为二次函数的相关问题，从而利用二次函数图象求得一元二次不等式的解集．其中体现了特殊到一般、数形结合、化归的思想方法． （2）解一元二次不等式的一般步骤是什么？ 板书设计 1.“三个二次”的关系； 2.一元二次不等式解法的步骤： （1）将二次项系数化为正数 (); （2）计算判别式，判断方程是否有根; （3）如果有根，求出方程的根； （4）写出不等式的解集，大于取两边、小于夹中间. 3.数学思想方法：数形结合. 作业设计 1. 教材习题：53页练习题第1、2题 2. 教辅书：《课后训练》2.3（第1课时） 3. 补充习题：复印的作业 其他任务：预习下一节 教学反思 1、 拓展的例题不足； 2、学生主体性体现不到位. 　 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $