精品解析：福建省福州铜盘中学2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期10月份适应性练习 九年级数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. a>0 B. b>0 C. c<0 D. b2-4ac >0 7. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线上部分点坐标如表所示,下列说法错误的是(　 　) … 0 1 … … 0 4 6 6 … A. 抛物线与轴的交点为 B. 抛物线的对称轴是在轴的右侧 C. 抛物线一定经过点 D. 在对称轴左侧，随增大而减小 10. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点，这个二次函数的解析式可以是________．（写出一个即可） 12. 如图，在中，，，点D在上，且，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在边上．若连接，则的长为 ________________． 13. 在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ___________________． 14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 15. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 16. 抛物线（是常数且）经过点．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则． 其中正确的为______（填序号）． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． （1）先将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，画出，点的坐标是______； （2）将绕点逆时针旋转，得到，画出，点的坐标是______； （3）我们发现点关于某点中心对称，对称中心的坐标是______． 19. 已知方程的一个根是，你会利用一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根和的值吗？ 20. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点． （1）二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． （2）求这个二次函数的表达式； （3）请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 21. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 23. 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰（）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟） 0 30 60 90 120 y（人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证： 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推…… 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长． 24. （1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是          三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 25. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线：为常数，且)，直线：为常数，且)，若，则 解决问题：抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）是抛物线上一动点，且在直线的上方不与，重合，求点到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期10月份适应性练习 九年级数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握二次函数顶点式的顶点坐标为成为解题的关键． 直接根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的解析式为的顶点坐标是． 故选C． 3. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间t（单位：）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，掌握二次函数图象的性质，理解小球从飞出到落地的含义是解题的关键． 根据题意，小球从飞出到落地，则高度，代入计算，结合题意即可求解． 【详解】解：小球从飞出到落地， ∴高度， ∴，即， ∴（不符合题意，舍去），， ∴小球从飞出到落地的所用时间为， 故选：A ． 4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是解答的关键． 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. a>0 B. b>0 C. c<0 D. b2-4ac >0 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的图像可判断各字母的符号，再根据与x轴交点可判断b2-4ac的符号． 【详解】解：由图可知： 抛物线开口向上，则a＞0，故A不符合； 抛物线对称轴在y轴右侧，则b＜0，故B符合； 抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故C不符合； 抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，故D不符合； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数个数△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 7. 将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义． 根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C 8. 若点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小． 先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答． 【详解】解：∵抛物线 ∴对称轴为直线， ∴点A到对称轴的距离为：，点B到对称轴的距离为：，点C到对称轴的距离为：， ∵， ∴函数图象开口向上， ∵， ∴． 故选：A． 9. 抛物线上部分点坐标如表所示,下列说法错误的是(　 　) … 0 1 … … 0 4 6 6 … A. 抛物线与轴的交点为 B. 抛物线的对称轴是在轴的右侧 C. 抛物线一定经过点 D. 在对称轴左侧，随增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，随增大而增大．根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线，根据抛物线的对称性可证抛物线与轴的交点为和；因此可得再根据抛物线的性质即可进行判断． 【详解】解：根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下， 由表格中数据可知，时，，时，， ∴抛物线与轴的交点为，故A正确； 抛物线的对称轴是直线，对称轴在轴的右侧，故B正确； 根据对称性可知，抛物线的对称轴是直线，点关于对称轴的对称点为， 即抛物线一定经过点，故C正确； 由表中数据可知在对称轴左侧，随增大而增大，故D错误． 故选：D． 10. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，关键是通过数形结合观察到图象过A点时，C的横坐标是最小值，过点B时，D的横坐标是最大值，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解∶当点C横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为∶． 此时D点横坐标为5．则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且， 故，；由于此时D点横坐标最大， 故点D的横坐标最大值为8; 故选∶B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点，这个二次函数的解析式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到，与y 轴交于点，得到，进行构造即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的开口向下，与y 轴交于点， ∴，， ∴二次函数可以为：； 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，在中，，，点D在上，且，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在边上．若连接，则的长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，由旋转的性质可得旋转角为，，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在边上， ∴旋转角为，， ， ， 故答案为:． 13. 在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 ___________________． 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解． 【详解】解：点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（2，5） 故答案为：（2，5） 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握“关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离． 15. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 16. 抛物线（是常数且）经过点．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则． 其中正确的为______（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把点代入抛物线解析式可得，即得，，即可判断①②；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得抛物线上的点到对称轴的距离越近函数值越大，根据可知无论取何值，始终有，即可判断③，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把代入抛物线得， ， ∴， ∴抛物线， 当时，， ∴点在抛物线上，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近函数值越大， ∵点在抛物线上， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵无论取何值，始终有， 即无论取何值，始终有，故③错误； ∴正确的结论为①②， 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共9题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得：，． 18. 如图，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． （1）先将向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，画出，点的坐标是______； （2）将绕点逆时针旋转，得到，画出，点的坐标是______； （3）我们发现点关于某点中心对称，对称中心的坐标是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图，旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用平移的性质与旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别是作出点A、B、C平移后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （2）根据旋转的性质，分别是作出点绕点逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）根据中心对称的性质，求出的中点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点坐标为 故答案为： 【小问3详解】 解：∵， ， ∴，， ∴对称中心坐标是， 故答案为：． 19. 已知方程的一个根是，你会利用一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根和的值吗？ 【答案】方程另一根为， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式，根与系数的关系．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．根与系数的关系：，．根据题意利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系，得， ∵方程的一个根是， ∴这个方程的另一个根是， ∴， 解得：， 方程另一根为，． 20. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点． （1）二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． （2）求这个二次函数的表达式； （3）请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）（或） （3） 【解析】 【分析】考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与x轴的交点问题． （1）根据对称轴及与x轴的一个交点求得另一个交点坐标； （2）设出二次函数的顶点式，然后代入顶点坐标及经过的一点即可求得解析式； （3）结合图形确定自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：观察图象知：对称轴为，与x轴交于一点， 所以图象与x轴另一交点为； 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为， ∵图象顶点为， ∴， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴解析式为； 【小问3详解】 解：结合图象知：当函数值时，x的取值范围． 21. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若A，D，E三点在一条直线上，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，先求解，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴． 22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长m，篱笆长m．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）；； （2）当时，的最大值为800． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆长， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵墙长， ∴， 解得，， ∴； 矩形面积 ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800． 23. 综合与实践： 素材1 福州地铁某站在工作日早高峰（）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量（人次）与时间（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟） 0 30 60 90 120 y（人次） 10 60 80 70 30 任务1 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证： 素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推…… 任务2 求时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻； 素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵． 任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长． 【答案】 任务1：将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想与满足二次函数的关系式， 设与的关系式为， 将，，三点的坐标代入得， 解得， ， 当时，， 当时，， 经验证，，，，，均满足， 与的关系式为； 任务2：，上午达到最大值 任务3：持续时长为20分钟 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 任务1，经过描点，观察，发现各点的连线形状近似于抛物线，所以猜想与满足二次函数的关系式，再根据待定系数法求出解析式，最后逐一验证其它点即可； 任务2，根据题意，当时，可列出，再根据二次函数的性质求解即可； 任务3，先判断只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次分钟的情况，再令，求得或150，结合t的取值范围，可求得，即可得到答案． 【详解】解：任务1，略 任务2，当时，， 对称轴为， ， 当时，y随着t的增大而增大， 当时，y取最大值， 此时时上午； 任务3，由任务1和任务2的解答中可知，只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次分钟的情况， 令，则， 解得或150， ， 符合条件的t的范围是， ， 该入口需要启动一级客流管控的持续时长为20分钟． 24. （1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是          三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 【答案】（1）等边；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形， 故答案为：等边； （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中，； （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 ． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 25. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线：为常数，且)，直线：为常数，且)，若，则 解决问题：抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）是抛物线上一动点，且在直线的上方不与，重合，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得的解析式，根据解方程组，可得P点坐标； （3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值． 【小问1详解】 解：将，两点坐标代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，点P的坐标或， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 当时， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即； 当时， 同理得，直线的解析式为 联立直线与抛物线，得， 解得（舍），， 即 综上所述：是以为直角边的直角三角形，点P的坐标或； 【小问3详解】 解：如图：过点M作x轴的垂线交于点Q， ， 设，则 ∴， ∴， 当时，S取最大值，即， 由勾股定理，得， 设M到的距离为h， ∴， ∴， ∴点M到直线的距离的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $