精品解析：江苏省泰州市第二中学附属初中2025-2026学年八年级上学期数学10月月考试卷

八年级一阶段学情调查数学 一、选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 2. 如图，已知与相交于点O，，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　） A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或 二、填空题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 81的算术平方根是_______． 8. 在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 9. 已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ____________． 10. 如图，在中，，垂直平分，周长为，则长为______． 11. 如图，在中，、分别是，的中点，且，则图中阴影部分的面积为______． 12. 如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交、于M、N，则的周长为_________． 13. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了__________米． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积是，则_____． 15. 如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为3，则的长为______． 16. 如图，在中，，，点在上，，点、分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题：（本题共10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程：； （2）解方程组：． 19. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和，求与的值． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上，按要求画图（仅用无刻度直尺）， （1）请画出中边上的高线； （2）请画出中边上的中线； （3）在上找一点，使得点到、两点距离相等． 21. 如图，已知， 求证： （1）； （2） 22. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 23. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 24. 如图，已知为直角三角形，，在的延长线上取一点，使得，点是的中点，连接，为的中点，连接、． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，请求出的度数． 25. 已知点为平分线上一点，于，于，点、分别是、上的点． （1）如图1，当点在线段上，点在线段的延长线上，且．求证：； （2）在（1）的条件下，，，求的长． （3）如图2，当点在射线的反向延长线上，点在射线上时，满足，直接写出、与之间的数量关系是______． 26. 【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长＝______（写一个即可）． 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于，交于，． 探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级一阶段学情调查数学 一、选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，12 C. 1，5，9 D. 2，5，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可逐项判断． 【详解】解：A：∵， ∴可以构成三角形； B：∵， ∴不能构成三角形； C：∵， ∴不能构成三角形； D：∵， ∴不能构成三角形． 故选：A． 2. 如图，已知与相交于点O，，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】A．，则 B．，则 C．无法证明 D．， 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定：1、（SSS）三边对应相等的两个三角形全等；2、（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；3、（ASA）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4、（AAS）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 3. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易知带第③块去最省事是因为第③块碎片包含了这个三角形的两个角及一条边，所以最容易还原原三角形，进而问题可求解． 【详解】解：只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法； 故选：B． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 5. 如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得，， ． 故选：B． 6. 如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　） A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有关动点问题的全等三角形应用，掌握和两种全等情况是解本题的关键． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可． 【详解】解：①若，则，，可得：，， 解得：，； ②若，则，，可得：，， 解得：， 的长度为1cm或． 故选：D． 二、填空题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 81的算术平方根是_______． 【答案】9 【解析】 【详解】解：81的算术平方根是9． 8. 在如图所示的的正方形网格中，的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图： ∵在和中， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9. 已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ____________． 【答案】10或11 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，由于未说明两边哪个是腰，故分情况讨论，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3，底为4时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 等腰三角形的腰长为4时，底为3时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：10或11． 10. 如图，在中，，垂直平分，周长为，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，，，那么可知，即，从而求得答案． 【详解】解：垂直平分， ， 周长为13， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在中，、分别是，的中点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵、分别是，的中点， ∴，， ∴； 故答案为：6． 12. 如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交、于M、N，则的周长为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】∵和的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴的周长为 ， ∵， ∴的周长为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键． 13. 某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了__________米． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟悉掌握此性质是解题的关键．过点作于点，即可根据含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半解答． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵，，米， ∴（米）， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积是，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得出的面积是，进而求得的面积是，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． ∵的面积是， ∴的面积， ∴，即 ∴ 故答案为：． 15. 如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为3，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形性质、角平分线性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和利用角的关系推导全等是解题关键． 延长、交于点F，利用角平分线性质和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明三角形全等，从而得到． 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，. 是等腰直角三角形，， ， 又∵， ， 又∵，， ， ． 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，点在上，，点、分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据动点的运动，当点、、（关于的对称点）三点共线且于点时，的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为对称轴，作的轴对称图形，的对称点为； ∴，，， ∴， 当、、三点共线且时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握轴对称最短路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半． 三、解答题：（本题共10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式与平方差公式的应用，掌握相应的运算法则是解本题的关键． （1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可； （2）按照乘法公式先计算乘法运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程：； （2）解方程组：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查平方根概念的应用及加减消元法解二元一次方程组，掌握运算顺序和计算法则正确计算是本题的解题关键． （1）用平方根的概念解方程； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解：（1） ， ∴， ∴， 解得：，； （2） 得， 解得： 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 19. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和，求与的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上，按要求画图（仅用无刻度直尺）， （1）请画出中边上的高线； （2）请画出中边上的中线； （3）在上找一点，使得点到、两点距离相等． 【答案】（1）为所求 （2） 为所求； （3） 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，垂直平分线的性质，网格作图，利用网格的特点及全等三角形的性质是解决问题的关键． （1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； （2）如图，取格点，连接，则即为所求； （3）如图，取格点，，连接交于，则点即为所求； 【小问1详解】 解：取格点，，连接交于， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∴； 【小问2详解】 取格点，连接， ∵， ∴是中边上的中线； 【小问3详解】 取格点，，连接交于，交于， 同（1）可知，且为的中点，即垂直平分， ∴点到、两点距离相等． 21. 如图，已知， 求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明：∵且， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据得出，再根据SAS即可证； （2）先根据得出，然后证出，从而最后得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 22. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【答案】（1） 证明：∵，，D是的中点， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴． 又∵， ∴平分． （2） 证明：如图1，连接 由（1）知，平分 ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∵∠C＝∠B， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AE＝AF， 又∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 【解析】 【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即可证AD平分∠BAC； （2）利用垂直平分线的性质的逆定理证明AE＝AF，DE＝DF即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 23. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 【答案】（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， 又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD=BE； （2）∠AEB=60°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，然后根据SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE； （2）由△ECD是等边三角形可得∠CDE=∠CED=60°，根据补角的性质可求∠ADC=120°，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠ADC=120°，进而根据∠AEB=∠BEC﹣∠CED可得出答案． 【详解】证明：略 （1） （2）在等边△ECD中， ∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠BEC=∠ADC=120°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，能推出△ACD≌△BCE是解此题的关键． 24. 如图，已知为直角三角形，，在的延长线上取一点，使得，点是的中点，连接，为的中点，连接、． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，请求出的度数． 【答案】（1） 解： 理由如下：连接 ，点E是的中点， ， ， M为的中点， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质即可得结果； （2）根据直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质推出，，根据三角形外角性质求出，，求出、， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，点E是的中点， ． 由（1）知：， ． 设， 则． ， ． 解得：． ． 25. 已知点为平分线上一点，于，于，点、分别是、上的点． （1）如图1，当点在线段上，点在线段的延长线上，且．求证：； （2）在（1）的条件下，，，求的长． （3）如图2，当点在射线的反向延长线上，点在射线上时，满足，直接写出、与之间的数量关系是______． 【答案】（1） 证明：∵点为平分线上一点，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，再利用线段的和差关系证明，即可求解； （3）根据题意可知，由，可得，进而可证明，可得，再证明，可得，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∵，， ∴； 【小问3详解】 ∵点为平分线上一点，，， ∴，， 则， 又∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 26. 【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长＝______（写一个即可）． 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于，交于，． 探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积为______． 【答案】（1）3（或5）； （2）解：，理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： 同理（2）可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）21 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系可知，即，然后问题可求解； （2）延长至点，使，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）延长至点，使，连接，同理可得，则有，然后可证，进而问题可求解； （4）延长至点，使，连接，由（3）可知：，，，则有，，然后可得的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由三边关系可知：，即， ∵边的长度为奇数， ∴或5； 故答案为3； （2）略 （3）略 （4）延长至点，使，连接，如图所示： 由（3）可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为21． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线这辅助线作法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $