湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期第一次大练习数学试题

湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第一次大练习 数　学 时量：120分钟　满分：150分 得分：____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z＝在复平面内对应的点位于 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设A(0，－3)，B(0，3)是平面内两个定点，动点P满足||PA|－|PB||＝4，则P点的轨迹方程是 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，nα，则m∥α 4．已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，则向量a－3b在向量a上的投影向量为 A.a B．－a C．－2a D．4a 5．圆C1：x2＋y2－2x－4y＋4＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝9的位置关系为 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 6．已知实数x，y满足y＝x－，且x∈[－2，－1)∪(－1，3]，则的取值范围为 A.∪[3，＋∞) B. C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1，3] 7．已知点M(4，11)，直线l1：x＋my－3m＋4＝0与直线l2：mx－y－2m－5＝0交于点P，则|PM|的值可以为 A．7 B．6 C．8 D．19 8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．若椭圆C上的点M满足|OM|＝|MF1|，|F1F2|＝|MF2|，则椭圆C的离心率为 A．2－ B.－ C．2－ D.－1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点A(2，3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，且l过点P(1，2)，则l的方程可能是 A．x＋4y－6＝0 B．4x＋y－6＝0 C．2x＋3y－7＝0 D．3x＋2y－7＝0 10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则 A．f(x)的最小正周期为π B．φ＝ C．f(x)的图象关于点(－，0)中心对称 D．将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上单调递增 11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是 A.·＝0 B．平面DD1C1C与平面A1D1P所成角的正弦值是 C．当＝时，·的值最小 D．若平面ABCD上的动点M满足∠MD1C＝，则点M的轨迹是椭圆 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线y＝x与圆x2＋y2－2y＝0交于A，B两点，则＝______． 13．在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为__________． 14．四位同学玩“石头剪刀布”的游戏．规则如下：四名同学同时参与，每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同(如全为石头)，或三种手势都同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均相等，则一次挑战中出现平局的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(2c－a)cos B＝bcos A. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为8且b＝6，求△ABC的周长． (本小题满分15分) 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率； (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点(1，e)在椭圆C上，其中e是椭圆C的离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线l与椭圆C交于M，N两点，且点M在第一象限，点A，B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，求四边形AMBN面积S的最大值． 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，BC⊥AC，AB∥DC. (1)证明：平面PBC⊥平面PAC； (2)若BC＝2，CD＝3，PA＝AB＝4，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. (ⅰ)求DO与平面PBC所成角的正弦值； (ⅱ)N为PC的中点，线段PD上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由． 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)＝sin2kx＋cos2kx，k∈N*. (1)求证：f＝f； (2)分别求k＝2和k＝3时函数f(x)的最小值； (3)求函数f(x)的最小值(用k表示)． 参考公式：当n∈N*且n≥2时，an－bn＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学参考答案(附中版)－(这是边文，请据需要手工删加) 湖南师大附中2025—2026学年度高二第一学期第一次大练习 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D B C A C A C A 1.D　【解析】复数z＝＝4－2i，在复平面内对应的点(4，－2)位于第四象限，故选D. 2．B　【解析】因为||PA|－|PB||＝4＜6＝|AB|，所以点P是以A(0，－3)，B(0，3)为焦点的双曲线，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2a＝4，c＝3，所以a＝2，b2＝c2－a2＝5，所以方程为－＝1，故选B. 3．C　【解析】对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或nα或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误； 对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确； 对于D，若m∥n，nα，则m∥α或mα，故D错误．故选C. 4．A　【解析】向量a－3b在向量a上的投影向量为·， ∵a，b是夹角为120°的两个单位向量，∴|a|＝1，(a－3b)·a＝a2－3a·b＝1－3×1×1×＝， ∴向量a－3b在向量a上的投影向量为a.故选A. 5．C　【解析】圆C1：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，表示以C1(1，2)为圆心，半径r1＝1的圆，圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，表示以C2(1，－2)为圆心，半径r2＝3的圆，所以两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝4，因为4＝r1＋r2，故两圆外切．故选C. 6．A　【解析】设点M(x，y)满足关系式y＝x－，且x∈[－2，－1)∪(－1，3]， 令A(－2，－1)，B(3，0)，可知点M(x，y)在线段AB上移动， 设Q(－1，2)，则kQA＝＝3，kQB＝＝－， 因为点M(x，y)在线段AB上，所以的取值范围是∪[3，＋∞)．故选A. 7．C　【解析】由题知，当m＝0时，直线l1与l2互相垂直，交点为(－4，－5)； 当m≠0时，－×m＝－1，直线l1与l2互相垂直，且直线l1经过定点A(－4，3)，直线l2经过定点B(2，－5)，所以·＝0，所以点P在以AB为直径的圆(挖去(2，3))上． 设P(x，y)，则(－4－x)(2－x)＋(3－y)(－5－y)＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝25， 所以点P在以点(－1，－1)为圆心，5为半径的圆(挖去(2，3))上， 所以|PM|的最大值为＋5＝13＋5＝18，最小值为－5＝13－5＝8. 故|PM|的取值范围是[8，18]．故选C. 8．A　【解析】如图，设∠MF1O＝α，因为|OM|＝|MF1|，所以cos α＝， 又因为|F1F2|＝|MF2|，所以cos α＝＝，|MF2|＝2c， 所以＝，解得|MF1|＝c， 由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，即(2＋)c＝2a， 所以离心率e＝＝＝2－.故选A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题 号 9 10 11 答 案 BD ACD ACD 9.BD　【解析】当直线l∥AB时，l的斜率为kAB＝＝－4，又直线l过点P(1，2)， 所以l的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0； 当直线l经过AB的中点(3，－1)时，l的斜率为＝－，所以l的方程为y－2＝－(x－1)， 即3x＋2y－7＝0.故选BD. 10．ACD　【解析】由图可知，＝－＝，则T＝π，故A正确； 由周期公式T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)， 因为图象经过点，代入函数得sin＝－1，所以sin＝－1， 所以＋φ＝＋2kπ，所以φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|＜π，所以φ＝，所以f(x)＝sin，故B错误； 因为f＝sin＝sin(－2π)＝0，所以图象关于点对称，故C正确； 由已知可得g(x)＝sin， 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z， 因为，故g(x)在区间上单调递增，故D正确． 故选ACD. 11．ACD　【解析】由题知，四边形AA1D1D是正方形，CD⊥平面AA1D1D，所以CD⊥AD1，A1D⊥AD1， 又CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面CDA1，因为A1P平面CDA1，所以AD1⊥A1P，故A正确； 同理可证C1D⊥平面A1D1CB，所以平面DD1C1C⊥平面A1D1CB，又点P为线段A1C上的动点， 所以平面A1D1P即平面A1D1CB，所以平面DD1C1C⊥平面A1D1P，故B错误； 设正方体棱长为1，＝λ，λ∈[0，1]，取AD1的中点E，连接PE，如图1， 则·＝2－2＝(－)2－＝(λ－)2－＝3λ2－2λ××＝3λ2－2λ＝3－，所以当λ＝，即＝时，·的值最小．故C正确； 对于D选项，构造如图2所示的圆锥，其中母线与中轴线的夹角为，因为CD1与平面ABCD的夹角为，所以用平面ABCD去截圆锥，使直线CD1与平面ABCD的夹角为，则截口为点M的轨迹图形，点M的轨迹为椭圆，故D正确．故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.　【解析】圆x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，所以圆心坐标为(0，1)，半径r＝1， 圆心(0，1)到直线y＝x的距离d＝＝，所以＝2＝2＝. 13.　【解析】如图，设正四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面中心分别为M，N， 过点A1作A1H⊥AC，垂足为H，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中， ∵A1B1＝1，∴A1M＝＝， 又A1H⊥AC，MN⊥AC，易知四边形A1HNM是矩形， ∴HN＝A1M＝，A1H＝MN，又AN＝，∴AH＝AN－HN＝， 又AA1＝，∴在Rt△A1AH中，A1H＝＝＝， ∴该四棱台的体积为×(1＋4＋)×＝. 14.　【解析】记石头、剪刀、布分别为a，b，c， ①若只出现一种手势，则有(a，a，a，a)，(b，b，b，b)，(c，c，c，c)共3种结果； ②若只出现两种手势，不妨为a，b，则有(a，b，b，b)，(b，a，b，b)，(b，b，a，b)，(b，b，b，a)， (a，a，b，b)，(a，b，a，b)，(a，b，b，a)，(b，a，a，b)，(b，a，b，a)，(b，b，a，a)， (b，a，a，a)，(a，b，a，a)，(a，a，b，a)，(a，a，a，b)共14种结果，若两种手势为a，c或b，c时，同样各有14种结果，故一共有42种结果； ③若出现三种手势，则必有两个人的手势相同，不妨设相同手势为a，则有(a，a，b，c)，(a，a，c，b)，(a，b，a，c)，(a，c，a，b)，(a，b，c，a)，(a，c，b，a)，(b，a，a，c)，(c，a，a，b)(c，a，b，a)，(b，a，c，a)，(b，c，a，a)，(c，b，a，a)12种结果，若相同手势为b或c时同样各有12种结果，故一共有36种结果． 综上，所有可能的结果有3＋42＋36＝81种，平局有3＋36＝39种，故一次挑战中出现平局的概率为＝. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】(1)因为(2c－a)cos B＝bcos A， 由正弦定理可得(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，1分 即2sin Ccos B＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)， 因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．2分 所以2sin Ccos B＝sin C．3分 因为C∈(0，π)，sin C＞0，所以cos B＝，4分 因为B∈(0，π)，所以B＝.5分 (2)因为S△ABC＝acsin B＝8，6分 所以ac＝32.7分 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac·cos B，8分 由b＝6，可得(a＋c)2＝b2＋3ac＝132，10分 所以a＋c＝2，12分 所以△ABC的周长为2＋6.13分 16．【解析】(1)设事件A1＝“甲答对3道题目”，A2＝“甲答对2道题目”， B1＝“乙答对3道题目”，B2＝“乙答对2道题目”，1分 根据独立事件的性质，可得P(A1)＝××＝，P(A2)＝3×××＝， P(B1)＝××＝，P(B2)＝3×＝，5分 设事件A为“甲、乙两人共答对5道题目”， 则A＝(A1B2)∪(A2B1)， ∵A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立， ∴P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝，6分 ∴甲、乙两人共答对5道题目的概率为.7分 (2)设事件C＝“甲通过面试”，D＝“乙通过面试”，C与D相互独立，8分 P(C)＝1－P()＝1－××＝， P(D)＝1－P()＝1－××＝，12分 设事件E＝“甲、乙两人只有一人通过面试”， 则E＝(C)∪(D)，因为C与D互斥，13分 C与，与D分别相互独立， ∴P(E)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝P(C)P()＋P()P(D) ＝×＋×＝，14分 ∴甲、乙两人只有一人通过面试的概率为.15分 17．【解析】(1)设焦距为2c，由题知2分 又a2＝b2＋c2，e＝，所以a＝2，b＝1，c＝，4分 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分 (2)设直线l：y＝x＋m，将y＝x＋m代入＋y2＝1，得x2＋2mx＋2m2－2＝0.6分 因为点M在第一象限，所以－1＜m＜1，7分 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，8分 所以|MN|＝·＝·＝·，10分 由题知A(2，0)，B(0，1)，设点A，B到直线l的距离分别为d1，d2， 所以d1＝＝，11分 d2＝＝，12分 所以d1＋d2＝，13分 则四边形AMBN的面积S＝S△AMN＋S△BMN＝|MN|·(d1＋d2)＝×××＝2，14分 当m＝0时，S取得最大值，最大值为2.15分 18．【解析】(1)证明：四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，1分 又BC⊥AC，AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，3分 又BC平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PAC.4分 (2)(ⅰ)在四边形ABCD中，∵BC⊥AC，BC＝2，AB＝4， 故AC＝＝2，cos∠BAC＝， 又AB∥DC，故在△ACD中，由余弦定理及∠BAC＝∠ACD， 得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝3，故AD＝，5分 则AC2＝CD2＋AD2，所以AD⊥CD， 结合AB∥DC，则AD⊥AB，6分 由(1)知BC⊥平面PAC，PC平面PAC，故BC⊥PC， ∵P，A，B，C在同一个球面上，且∠PAB，∠PCB为直角， 即可得PB的中点到A，C，P，B的距离均相等， ∴PB为球O的直径，则球心O为PB的中点.7分 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(4，0，0)，C(3，，0)，P(0，0，4)，D(0，，0)，O(2，0，2)， ∴＝(2，－，2)，＝(4，0，－4)，＝(－1，，0)，8分 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得n＝，9分 则cos〈n，〉＝＝＝，10分 所以DO与平面PBC所成角的正弦值为.11分 (ⅱ)∵O，N分别为PB，PC的中点， ∴N， ∴＝(2，0，2)，＝，12分 设＝λ＝(0，λ，－4λ)，由(ⅰ)知＝(0，0，4)， ∵＝＋＝＋λ＝(0，λ，4(1－λ))，14分 又H，A，O，N四点共面，∴存在实数a，b，使得＝a＋b，15分 即(0，λ，4(1－λ))＝a(2，0，2)＋b＝， ∴16分 解得λ＝， 所以线段PD上存在靠近点D的五等分点H，使得H，A，O，N四点共面.17分 19．【解析】(1)f＝sin2k＋cos2k＝cos2k＋sin2k，k∈N*.2分 f＝sin2k＋cos2k，k∈N*.3分 所以f＝f.4分 (2)当k＝2时， f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin2(2x)，5分 又sin2(2x)∈[0，1]，所以f(x)min＝1－×1＝；6分 当k＝3时， f(x)＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x) ＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝1－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)，8分 又sin2(2x)∈[0，1]，所以f(x)min＝1－＝.9分 (3)猜想：当k∈N*时，f(x)min＝.10分 证明：令t＝sin2x，则f(x)＝h(t)＝tk＋(1－t)k，t∈[0，1]，11分 显然h(t)＝h(1－t)，即函数h(t)图象关于直线t＝对称，12分 令0≤t1＜t2≤， 则h(t1)－h(t2)＝t＋(1－t1)k－t－(1－t2)k＝(t－t)＋[(1－t1)k－(1－t2)k] ＝(t1－t2)(t＋tt2＋…＋t1t＋t)＋[(1－t1)－(1－t2)][(1－t1)k－1＋(1－t1)k－2(1－t2)＋…＋(1－t2)k－1] ＝(t1－t2)[t－(1－t1)k－1＋tt2－(1－t1)k－2(1－t2)＋…＋t－(1－t2)k－1]，14分 由0≤t1＜t2≤，得t1＜1－t1，t2≤1－t2， 所以对任意i∈N(i＜k)，都有t＜(1－t1)i，t≤(1－t2)k－1－i， 所以tt＜(1－t1)i(1－t2)k－1－i，15分 得t－(1－t1)k－1＋tt2－(1－t1)k－2(1－t2)＋…＋t－(1－t2)k－1＜0， 则h(t1)－h(t2)＞0，即函数h(t)在上单调递减，在上单调递增，16分 所以h(t)min＝h＝，即f(x)min＝，k∈N*，当且仅当sin2x＝，即x＝＋，n∈Z时，取到最小值， 所以f(x)min＝，k∈N*.17分 学科网（北京）股份有限公司 $