湖北省鄂州市第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）数学试题

鄂州市第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）试题 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 L已知集合M={a,a2},N={1,2},且M∩N={1},则MUN= A.{1,2} B.{-1,1,2 C.{-2,1,2 D.{-2,-1,1,2} 2.在复平面内，复数(4一3)(2一)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为 A② B.2 C.万 D.22 4.在△ABC中，已知sin2C+√2 sin Bsin C=-(cosA+cosB)(cosA-cosB),则A= A晋 B号 c n要 5.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民 族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气 中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为 A君 B号 c号 n号 6.在帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视 风风速.视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行 风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.表中给出了部分风力等级、名称与风 速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向 量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s),则真风为 等级 风速大小/(m/s) 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4-5.4 微风 4 5.57.9 和风 5 8.010.1 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【高三数学第1页（共4页）】 7.若对任意实数a,函数f(x)=sin(ur+)(u>0)在[a,a十4]上最少有三个不同的零点，则 如的最小值为 A.π c D.i 8.设a∈R,则a2=3"是“a于=3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则 A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA:D C.CC1平面AA:D D.AD∥A,B 10.设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过点F的直线交C于点A,B,过点F且垂直于AB的直 3 线交1：x=一2于点E,过点A作准线1的垂线，垂足为D,则 A.IADI=AFI B.IAEI=ABI CIAB|>≥6 D.IAEI·IBEI≥18 11.已知函数fx)=sinx+sin,xo是f(x)的一个零点，下列结论正确的是 A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最大值为2 C若x>1,则n的最小值为十会于国 D若xo<1,则x。的最大值为二元十y+国 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线y=2x+5是曲线y=e十x+a的切线，则a=▲ 13.若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68.则该等比数列的公比为▲ 14.在平面直角坐标系Oxy中，斜率为2的直线与圆x十y2=1交于A,B两点，且射线OA, OB所对应的象限角分别为a,3,则sin(a十3)=▲ 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{a.一2n十1}是等比数列，且a1=2,a,=34. (1)求数列{a.}的通项公式： (2)求数列{a.}的前n项和. 16.(15分) 已知椭圆C学+ =1>6>0)的离心率为号，短轴长为2,5。 (1)求C的方程： (2)若直线1：y=r十：与C交于M,N两点，0为坐标原点，△OMN的面积为专，求1 的值 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BCAD,AB⊥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD. (2)PA=AB=√2，AD=1+√5，BC=2,P,B,C,D在同一个球面上，设该球面所在球的球 心为O ①证明：O在平面ABCD上 ②求直线AC与直线PO所成角的余弦值 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数fx)=n (1)求f(x)的极值 (2)已知函数gx)=fx)+f(）-a. ①若g(x)没有零点，求a的取值范围： ②若g(x)有两个不同的零点x1,x2,证明：x1十x2>2. 19.(17分) 一个不透明的袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球（大小、质地均相同），每次从袋中 随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球的编号相同时，停止摸 球.设停止摸球时已摸球的次数为X,第k次摸到的小球编号为Y: (1)求P(X=2)与P(X=3): (2)设P(X=n)=am,求a2十aa+…+a,十4am+1与a2-aa十a,-…+(-1)"ami (3)当X=n时，Sn为随机变量，若Y1十Y2十…+Y.是奇数，则S.=1,若Y,十Y2十…+Y. 是偶数，则S。=0,求P(S.=0). 【高三数学第4页（共4页）】鄂州市第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）试题 数学参考答案 1.B因为M∩N={1},所以1∈M,且a≠a2,得a=-1,则M={-1,1},MUN={-1, 1,2. 2.D因为(4一3)(2一i)=5一10i,所以其在复平面内对应的点位于第四象限. 3.D设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题知，b=√7a,于是a2+b2=c2= a2+7a2=8a2,则c=22a,故e==2反. 4.D sin2C+/2sin Bsin C=-(cos A+cos B)(cos A-cos B)=cos2B-cos2A=sin2A- B,则2十E=-.因为sA十城d-号所以A=要 2bc 5.B记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为a,b,c,d,e,则样本空间2={(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(e,e),(d,e) 记事件A表示“其中一个节气是立春”，则A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)},所以P(A)= 急-号 6.A由题意及图得，视风风速对应的向量为n=(0,2)一(3,3)=（一3，一1）， 视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速对应的向量和船行风速对应的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为n1,船行风速对应的向量为n2, 则n=n1十n2,n2=(一1，一3) ∴.n1=n-n2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),|n11=√(-2)2+22=2√2≈2.828， ∴由表得真风为轻风。 7B设f)的最小正周期为T,则(a+4)-a>≥r.因为T-石，所以>征，解得w>受 8.B若a3=3”,则3loga=alog3,即1oga-号=0.令函数f(x)=logx-亏，则f(x)= 3油当(o品时，fre0当e(品+m时，fe)o.fe在(o) 上单调递增，在(3十)上单调递减.f(x)=f(品)=1-1og(n3)-3令函数 g)1-l®士则g)-当：eoh3》时gc0,所以gc在0 h3)上单调递增，gn3)>g1)=0,即fx)=1-1ogn3)-3>0.因为f1)<0, 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 f9)<0,所以fx)在(1，品)和（品39）上各有-个零点，所以1ga-号=0有2个解， 即a=”有2个解，显然其中1个解为a=3.若a=3,则号1og,a=合1g3,即1oa- 因为函数y=10gx与函数y=三的图象只有一个交点，所以方程1oga=三只有一个解， a 即a寺=3只有一个解，易得a=3.故a3=3”是a主=3”的必要不充分条件 9.BC对于A,在正三棱柱ABC-A,B,C1中，AA1⊥平面ABC.又ADC平 面ABC,所以AA1⊥AD.假设AD⊥A1C,则AD⊥平面ACC1A1,因为A ACC平面ACC1A1,所以AD⊥AC,这与∠CAD=30°矛盾，则AD⊥ A,C不成立，A错误.对于B,在正三棱柱ABC-AB,C1中，AA1⊥平面 ABC.又BCC平面ABC,所以AA1⊥BC.因为△ABC是正三角形，D为 BC的中点，所以AD⊥BC.又AA1∩AD=A,AA1C平面AA1D,ADC平面AA,D,所以 BC⊥平面AA,D,B正确.对于C,在正三棱柱ABC-A,BC1中，CC1∥AA1,又AA,C平面 AA,D,CC1庄平面AA1D,所以CC1∥平面AA,D,C正确.对于D,在正三棱柱 ABC-A,B,C1中，A1B1∥AB,假设AD∥A1B1,则AD∥AB,这与AD∩AB=A矛盾，所以 ADA1B1不成立，D错误 10.ACD对于A,由抛物线C:y2=6.x, 得其准线方程为x=一号，焦点为F(受，0)。 由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|,故A正确. 对于B,过点B作准线I的垂线，垂足为P, 由题意可知AD⊥I,EF⊥AB,则∠ADE=∠AFE=90°， 又|AD|=|AF|,IAE|=lAE1,所以△ADE≌△AFE, 所以∠AED=∠AEF,同理可得∠BEP=∠BEF, 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=18O°， 所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°， 显然AB为△ABE的斜边，则|AE<|AB|,故B错误 对于C,易知直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x=my十受A(),B =my+2'得y-6my一9=0， 3 由 y2=6x, 易知△>0，则y1+y2=6m,y1y2=-9. 3 3 又x1=m1+222=my+ 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 所以|AB|=x1十x2+3=m(y1+y2)十3+3=6m2+6>6, 当且仅当m=0时，等号成立，故C正确. 对于D,在Rt△ABE中，|AB|≥6，|EF|≥p=3,且两个不等式可同时取等号， 则|AE1·|BE|=|AB|·|EF|≥6×3=18，故D正确， 1l.ACDf(x)的定义域为(-oo,0)U(0,十o∞)，f(-x)=sin(-x)+sin(-）=-(sinx 十sin)=-fx),fx)是奇函数，A正确 sinx≤1，sin上<1，若f(x)的最大值为2.则mx=1,sn=1同时成立，即x=受十 2kx,是-受+2必：x,k1,k:∈乙，而这两个等式不可能同时成立，所以了x)的最大值不可能 2 为2，B错误 由了)=血x十s如是=0，可得血x=-s血是-im(}士动，所以x-士十2kx,k∈ Z或x+士=+2k,k∈Z.即x=+x+2张k∈Z或x+=2张：k∈乙 若x=是+x+2kx,k∈Z.则x2-(x+2xx-1=0,x,=+2张m+2m+中<0. 2 x,=+2kx十/+2+>0 当π十2kπ>0时，x2>1,要使得x:越小，则π十2kπ越小，此时π十2kπ的最小值为π，x2的 最小值为十V京+4 当π十2kπ<0时，x2<1(证明略)，要使得x2越大，则π十2kπ越大，此时π十2kπ的最大值 为一元，西？的最大值为二x十y+4 2 若x+上=2x,k∈乙则当2k<0时，方程没有正根当2kx≥2x时，方程有两个正根，方 程变形得x2-2k元x+1=0,x3=k-√(kπ)一1<1，x4=kπ十√(kπ)2-1>1. x3=kπ-√(kr)2-1= r十√你，2x越大，x十欣)越大越小，则x 的最大值为π一√2一1 2kπ越大，x4越大，则x4的最小值为x十√π2一1 综上若>1，则。的最小值为+中，若。<1，则。的最大值为二十y中 C,D均正确. 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 12.4由y=e十x十a,得y'=e十1.设直线y=2x十5与曲线y=e十x十a相切的切点为 eo+1=2, (xoyo),则y。=2x。+5, 解得a=4. yo=e"+xo+a, 13.2设该等比数列为{am},Sn是其前n项和，{an}的公比为g(q>0),且S,=4,Ss=68. 当q=1时，S4=4a1=4,即a1=1,但Ss=8a1=8≠68，显然不成立，舍去： 当1时8-9=4S== 两式相除得号=17,1-2+2-17. 1-q 则1十g=17,因为q>0,所以q=2. 14-号 由题可设A(cosa,sina),B(cosB,sinB),因为直线AB的斜率为2，所以 0二号=2由a=生+号，9=_-，可得m。-如月=2m. cos a-cos B 2 2 2 2 oasa-os=-2n,m则g二g sin 1 cos a-cos B a十3 =2,则tana十里 2 tan 2tan a z,故sin(a十)= 2 .4 1+tan ate 5 2 15.解：(1)由a1=2,a4=34,得a1一2十1=1，a4一8十1=27.…2分 因为a。一2十1)是等比数列，设{a.一2m十1)的公比为g,所以g2==27,…3分 27 得q=3,…4分 则a.-2列十1=1X3"-1,… 5分 则an=3w-1十2n-1.…6分 (2)记{a.}的前n项和为Sn, 则S.=3°+1+31+3++3"-1+2n-1 7分 =3°+31+…+3"-1+1+3+…+2n-1… 8分 =3°1-3")+1+2n-1)n_3”+22-1 1-3 2 2 13分 =② 2 16.解：(1)由题意可得 …2分 2b=2√5， a2=b2+c2 解得a2=6,b2=3, 3分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 所以C的方程为+兰=1. 3 4分 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). + =1, 由63 得3x2+41x+212-6=0, …6分 ly=x+t, △=1612-12(212-6)=72-82>0，解得-3<1<3.…7分 t=-x=29 3 444t440044t0……00e00… 8分 (方法-)△OMN的面积S=2川x1一x2……10分 =2G+g-4g=bW2-82 6 …12分 整理得14-912+8=0，得t2=8或2=1， 14分 则1=士2√2或1=士1.… …15分 (方法二)MN=E/,+-=4V9子 3 …10分 原点O到1的距离d=四 11分 △OMN的面积S=MN1d=②ly9-立=4 3 8*48*4*4444*4**”12分 整理得1一912+8=0，得t2=8或t2=1,则t=士2√2或t=士1.…15分 17.(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以AP⊥AB.… …1分 因为APC平面PAD,ADC平面PAD,AB⊥AD,AP∩AD=A,所以AB⊥平面PAD …3分 因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.… …4分 (2)①证明：因为P,B,C,D在同一个球面上，所以球心到四个点的距离相等 在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出BC的垂直平分线，与BC交于点E,与AD交于点O1,作CG⊥AD于点G,如图1 所示.………5分 由几何知识得O,E=AB=2,BE=CE=AO,=G0,=乞BC=1, O D=AD-AO=V3, B01=C01=√12+(W2)2=3, 所以O1D=BO1=CO1,所以点O1是△BCD的外心.·7分 图 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 在Rt△AO1P中，AP⊥AD,AP=√2， 由勾股定理得PO1=√AP2+AO=√(W2)2+12=√5， 则PO1=BO1=CO1=O1D=√3， 所以点O1即为点P,B,C,D所在球的球心O,…9分 此时点O在线段AD上，ADC平面ABCD,所以点O在平面ABCD上.…10分 ②解：建立空间直角坐标系，如图2所示。…11分 在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB,AP⊥AD,AB⊥AD,BC∥ AD,PA=AB=√2，AD=1十√5，BC=2,…12分 则A(0,0,0),C(W2,2,0),0(0,1,0),P(0,0,2),故AC= (2,2,0),P0=(0,1,-2).… 13分 B 设直线AC与直线PO所成的角为0， 图2 则cos0= IAC.POI 10+2×1+0 …15分 IAC1IP01√W/2)2+22+0XW0+12+(-2)3 18.1)解：f(x)=1-2x …1分 当x∈(0We)时，f'(x)>0,当x∈(We,十o∞)时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0√e)上单调递增，在(We,十∞)上单调递减， 2分 f(x)≤fWE)=2元 …3分 f(x)有极大值，且极大值为2e,无极小值. …4分 (2①解：g'x)=1-21n工-2xlnr-. x3 令函数hr)=-2n工-2xlnx-,则h'(x)= 2(x4-3)lnx+3x4+5 …5分 当x∈(0,1]时，x'-3<0,lnx≤0，所以2(x'-3)lnx>≥0,2(x'-3)lnx+3x'+5>0.… …6分 当x∈1,3)时，-2<x-3<0,0<1nx<4ln3, 所以2(r-3)lnx>2×(-2)×(21h3)=-h3,2(x-3)nx+3x+5>-h3+5>0. …7分 当x∈(3，+o∞)时，x-30,lnx>0,所以2x4-3nx≥0,2(x-3)lnx+3x+5>0. 综上，当x∈(0，十o∞)时，2(x4-3)lnx十3x4+5>0,即h'(x)<0,…8分 所以h(x)在(0，十o∞)上单调递减.… …9分 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 因为h(1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)>0,当x∈(1，+o∞)时，h(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减，…10分 g(x)≤g(1)=-a.… …11分 因为g(x)没有零点，所以一a<0,解得a>0,所以a的取值范围为(0，十o∞).…12分 ②证明：若g(x)有两个不同的零点x1,x2,则a<0 不妨设01<1<：则>1，g)=g,)=0. …13分 因为gx)=g(),所以gx)=g() …14分 因为gx)在1，十o∞)上单调递减g(）=g(x),所以士=x2…15分 所以x1十x2=1+1>2. …17分 19.解：1)P(X=2)=1×4 …1分 PX=3)=1xx-0 2分 (2)(方法一)因为X≥2，所以n≥2，则P(X≥n+1)=1-a2-a3--am. …3分 若X=n+1.则X≥n十1且X.=Y+,所以a+1=1-a:-a3--a,)×子， 即a2十ag十…十an十4a+=l,…5分 所以a2十a,十…十a.十a+1十4a+2=1,所以a+1十4a+e-4a=0,即a+2=a+i 3 …7分 由1可知a,=是所以当≥3时a,=是×()=}×()一 又因为a=,所以a,=×(）,… 8分 所以a:-a+a4-+(-10ra.=子×[(-)+(-)++(-)] …9分 1-(-)1-(-) …10分 1-(-) 7 (仿法=pX==a=1××x子×=片×（》a≥2.…5分 (n-2)个 +-++4(》门+-×2 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 7分 所以a,-a,+a,-+(-10ra,=×[(-)+(-)++(-)-] 9分 1-(-)1-(-) …10分 1-(-) (3)当X≥n≥3时，设随机变量Tm满足：若Y1+Y2十…+Y.-2是奇数，则T.=1,若Y,十 Y2十…十Y.-2是偶数，则T.=0.设P(T.=0)=bn 当0=3时，工，=0即Y为偶数，可得6，=号 当n=4时，T=0即Y+出是偶数，可得6，=×兮+号×号-号 …11分 当n≥5时，T.=0可分成两种情况：当Tm-2=0时，Y.-3与Y-2同为奇数或同为偶数；当 T-2=1时，Y.-3与Y-一奇一偶。 所以6，=6-×+1-6-x(1-）=号-6即6，-=(6.2》.… …13分 当≥3且n为奇数时6，-2-(-)宁(6，-），即6.=2： 当n≥8且n为偶数时6，-名-(-)于(6，-》，即6，=号+号×(-)号.… …15分 当n=2时，Y1=Y2,P(Sn=0)=1. 当n≥3时，P(Sm=0)=P(T.=0)=b. 综上可得，当≥2且n为侧数时，P(S.=0)=+×(-)了：当≥2且n为奇数时， P(S.=0)=2 …17分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】