13.1.2 直角三角形的判定 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1.2直角三角形的判定 学习目标 1. 理解并掌握直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）。 2. 能够运用直角三角形的判定定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3. 了解勾股数的概念，并能识别常见的勾股数。 4. 能够综合运用直角三角形的判定方法解决实际问题。 知识点讲解 1. 勾股定理回顾： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：如果直角三角形的两条直角边分别为 (a)，(b)，斜边为 (c)，那么。 2. 直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）： 如果一个三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形，且边长为 (c) 的边所对的角是直角。 几何语言描述：在中，若，则是直角三角形，。 3. 勾股数： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：(3, 4, 5)；(5, 12, 13)；(6, 8, 10)；(7, 24, 25)；(8, 15, 17) 等。 注意：勾股数的倍数也是勾股数。例如，(3, 4, 5) 的 2 倍 (6, 8, 10) 也是勾股数。 例题解析 例 1判断下列各组数能否作为直角三角形的三边长？ (1) 5，12，13 (2) 7，24，25 (3) 8，15，17 (4) 4，5，6 例 2已知一个三角形的三边长分别为 (x-1)，(x)，(x+1)，且 (x > 1)，试判断这个三角形是否为直角三角形。 例 3已知三角形的三边长分别为 (12)，(16)，(20)，请问这个三角形是直角三角形吗？如果是，哪个角是直角？ 例 4若一个三角形的三边长分别为，(2mn)，（其中 (m)，(n) 为正整数，且 (m > n)），试判断这个三角形的形状。 解析： 首先，比较三边的大小。因为 (m)，(n) 为正整数且 (m > n)，所以是最大边。 计算另外两边的平方和： 展开： 展开： 相加得： 计算最大边的平方： 因为，所以这个三角形是直角三角形。 巩固练习 选择题 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是 A. 9，12，15 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. 7，24，25 2. 若一个三角形的三边长分别为 6，8，(x)，则 (x) 的值不可能是 A. 10 B.. 9 D. 14 3. 下列说法中，正确的是 A. 凡是三角形的三边长满足的三角形都是直角三角形 B. 直角三角形三边的长都是勾股数 C. 三边长度分别为 1，1，的三角形不是直角三角形 D. 勾股数是指能构成直角三角形三条边的三个整数 4. 已知三角形的三边长为 (a)，(b)，(c)，且满足，则该三角形是 A. 以 (a) 为斜边的直角三角形 B. 以 (b) 为斜边的直角三角形 C. 以 (c) 为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 5. 下列数组中，是勾股数的是 A. 1，1，. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. 8，15，16 填空题 1. 若一个三角形的三边长分别为 3k，4k，5k（k > 0），则这个三角形是________三角形。 2. 三角形三边长分别为 7，24，25，则这个三角形的面积为________。 3. 若的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，则是________三角形。 4. 一个三角形的两边长分别为 5 和 12，若第三边的长为整数，则第三边的长的最大值为________，此时这个三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 5. 已知 (m)，(n) 为正整数，且 (m > n)，若，，，当 ， 时，，，，以 (a)，(b)，(c) 为边的三角形是________三角形。 解答题 1. 已知 (a)，(b)，(c) 是一个三角形的三边长，且满足，试判断这个三角形的形状。 2. 已知三角形的三边长分别为，(2n + 1)，（(n) 为正整数），试判断此三角形是否为直角三角形。 3. 一个三角形的三边长分别为，，，请判断这个三角形是否为直角三角形，并说明理由。 4. 已知在中，，，，点 (P) 是内一点，且 ，，，求的度数（提示：可将绕点 (B) 顺时针旋转得到）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1.2直角三角形的判定 学习目标 1. 理解并掌握直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）。 2. 能够运用直角三角形的判定定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3. 了解勾股数的概念，并能识别常见的勾股数。 4. 能够综合运用直角三角形的判定方法解决实际问题。 知识点讲解 1. 勾股定理回顾： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：如果直角三角形的两条直角边分别为 (a)，(b)，斜边为 (c)，那么。 2. 直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）： 如果一个三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形，且边长为 (c) 的边所对的角是直角。 几何语言描述：在中，若，则是直角三角形，。 3. 勾股数： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：(3, 4, 5)；(5, 12, 13)；(6, 8, 10)；(7, 24, 25)；(8, 15, 17) 等。 注意：勾股数的倍数也是勾股数。例如，(3, 4, 5) 的 2 倍 (6, 8, 10) 也是勾股数。 例题解析 例 1判断下列各组数能否作为直角三角形的三边长？ (1) 5，12，13 (2) 7，24，25 (3) 8，15，17 (4) 4，5，6 解析： (1) 计算和。 因为，所以这组数能作为直角三角形的三边长。 (2) 计算和。 因为，所以这组数能作为直角三角形的三边长。 (3) 计算和。 因为，所以这组数能作为直角三角形的三边长。 (4) 计算和。 因为，即，所以这组数不能作为直角三角形的三边长。 例 2已知一个三角形的三边长分别为 (x-1)，(x)，(x+1)，且 (x > 1)，试判断这个三角形是否为直角三角形。 解析： 首先，确定三边的大小关系。因为 (x > 1)，所以 (x+1 > x > x-1)，即最长边为 (x+1)。 根据勾股定理的逆定理，若此三角形为直角三角形，则应有。 展开等式左边： 展开等式右边： 令左右两边相等： 移项化简： 解得 或 。 因为 (x > 1)，所以 。 当 时，三边长分别为 (3)，(4)，(5)，满足，是直角三角形。 因此，当 时，这个三角形是直角三角形；当 (x > 1) 且时，不是直角三角形。 例 3已知三角形的三边长分别为 (12)，(16)，(20)，请问这个三角形是直角三角形吗？如果是，哪个角是直角？ 解析： 首先，找出最长边，(20) 是最长边。 计算两条较短边的平方和： 计算最长边的平方： 因为，所以根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。 最长边 (20) 所对的角是直角。 例 4若一个三角形的三边长分别为，(2mn)，（其中 (m)，(n) 为正整数，且 (m > n)），试判断这个三角形的形状。 解析： 首先，比较三边的大小。因为 (m)，(n) 为正整数且 (m > n)，所以是最大边。 计算另外两边的平方和： 展开： 展开： 相加得： 计算最大边的平方： 因为，所以这个三角形是直角三角形。 巩固练习 选择题 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是 A. 9，12，15 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. 7，24，25 2. 若一个三角形的三边长分别为 6，8，(x)，则 (x) 的值不可能是 A. 10 B.. 9 D. 14 3. 下列说法中，正确的是 A. 凡是三角形的三边长满足的三角形都是直角三角形 B. 直角三角形三边的长都是勾股数 C. 三边长度分别为 1，1，的三角形不是直角三角形 D. 勾股数是指能构成直角三角形三条边的三个整数 4. 已知三角形的三边长为 (a)，(b)，(c)，且满足，则该三角形是 A. 以 (a) 为斜边的直角三角形 B. 以 (b) 为斜边的直角三角形 C. 以 (c) 为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 5. 下列数组中，是勾股数的是 A. 1，1，. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. 8，15，16 填空题 1. 若一个三角形的三边长分别为 3k，4k，5k（k > 0），则这个三角形是________三角形。 2. 三角形三边长分别为 7，24，25，则这个三角形的面积为________。 3. 若的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，则是________三角形。 4. 一个三角形的两边长分别为 5 和 12，若第三边的长为整数，则第三边的长的最大值为________，此时这个三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 5. 已知 (m)，(n) 为正整数，且 (m > n)，若，，，当 ， 时，，，，以 (a)，(b)，(c) 为边的三角形是________三角形。 解答题 1. 已知 (a)，(b)，(c) 是一个三角形的三边长，且满足，试判断这个三角形的形状。 2. 已知三角形的三边长分别为，(2n + 1)，（(n) 为正整数），试判断此三角形是否为直角三角形。 3. 一个三角形的三边长分别为，，，请判断这个三角形是否为直角三角形，并说明理由。 4. 已知在中，，，，点 (P) 是内一点，且 ，，，求的度数（提示：可将绕点 (B) 顺时针旋转得到）。 巩固练习答案 选择题答案 1. C 解析：A.，能；B.，能；C.，不能；D.，能。故选 C。 2. D 解析：根据三角形三边关系，(8 - 6 < x < 8 + 6)，即 (2 < x < 14)。A. 10 在范围内；B.在范围内；C. 9 在范围内；D. 14 不在范围内（不满足小于 14）。故选 D。 3. D 解析：A. 应为“如果三角形的三边长 (a)，(b)，(c) 满足，那么这个三角形是直角三角形”，缺少“三角形的三边长”前提，错误；B. 直角三角形的边长不一定都是整数，如边长为 1，1，的直角三角形，错误；C.，是直角三角形，错误；D. 勾股数定义：能构成直角三角形三条边的三个整数，正确。故选 D。 4. C 解析：将原式变形：。因为平方和绝对值非负，所以 ，，，即 ，，。，所以 (c) 为斜边。故选 C。 5. C 解析：勾股数必须是正整数。A.不是整数；B. 不是整数；C. 5，12，13 都是正整数且，是勾股数；D.，不是。故选 C。 填空题答案 1. 直角 解析：，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形。 2. 84 解析：因为，所以是直角三角形，两直角边为 7 和 24。面积为。 3. 直角 解析：将原式变形：，即。所以 ，，。，是直角三角形。 4. 16，不是 解析：根据三角形三边关系，第三边 (c) 满足 (12 - 5 < c < 12 + 5)，即 (7 < c < 17)。因为 (c) 为整数，所以 (c) 的最大值为 16。此时三边长为 5，12，16。，，，不是直角三角形。 5. 5，12，13，直角 解析：；；。，是以 (a)，(b)，(c) 为边的直角三角形。 解答题答案 1. 解：由得： 因为 (a)，(b) 为三角形边长，所以 (a > 0)，(b > 0)，因此 。 所以是等腰三角形。 2. 解：最长边为。 计算： 计算： 因为，所以此三角形是直角三角形。 3. 解：这个三角形是直角三角形。理由如下： 因为，而。 所以。 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。 4. 解：将绕点 (B) 顺时针旋转得到，连接 (PP')。 则 ，，，。 在中，，，所以是等腰直角三角形。 因此，。 在中，，，。 因为，即。 所以是直角三角形，。 因此。 所以。 学科网（北京）股份有限公司 $