11.3.1两数和乘以这两个数的 差讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

11.3.1两数和乘以这两个数的差 学习目标 1. 理解平方差公式的推导过程。 2. 掌握平方差公式的结构特征，并能准确识别公式中的“a”与“b”。 3. 能够熟练运用平方差公式进行整式乘法运算。 4. 能运用平方差公式解决简单的实际计算问题。 知识点讲解 平方差公式是多项式乘法运算中的一个重要公式。 1. 公式推导： 2. 公式内容： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 用字母表示为： 3. 结构特征： · 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。 · 右边是左边两个二项式中，相同项的平方减去相反项的平方。 4. 公式中的“a”和“b”： “a”和“b”可以是具体的数字，也可以是单项式、多项式等代数式。例如： · （这里 a=x，b=3） · （这里 a=2m，b=n） · 例题解析 例1：计算 ((x + 5)(x - 5)) 例2：计算 ((3a + 2b)(3a - 2b)) 例3：计算 例4：计算 ((-2x + y)(-2x - y)) 例5：计算 ((a + b + c)(a + b - c)) 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. ((a + b)(-a - b)) B. ((a + b)(b - a)) C. ((a - b)(b - a)) D. ((a - b)(-a + b)) 2. 计算 ((x - 2)(x + 2)) 的结果是（ ） A.... 3. 计算 ((-m - n)(m - n)) 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. _______________. 2. 3. 计算：. 4. 若，则 _______________. 三、解答题 1. 计算：((4a - 1)(4a + 1)) 2. 计算：((-3x + 2y)(-3x - 2y)) 3. 用简便方法计算： 4. 先化简，再求值：，其中 ，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3.1两数和乘以这两个数的差 学习目标 1. 理解平方差公式的推导过程。 2. 掌握平方差公式的结构特征，并能准确识别公式中的“a”与“b”。 3. 能够熟练运用平方差公式进行整式乘法运算。 4. 能运用平方差公式解决简单的实际计算问题。 知识点讲解 平方差公式是多项式乘法运算中的一个重要公式。 1. 公式推导： 2. 公式内容： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 用字母表示为： 3. 结构特征： · 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。 · 右边是左边两个二项式中，相同项的平方减去相反项的平方。 4. 公式中的“a”和“b”： “a”和“b”可以是具体的数字，也可以是单项式、多项式等代数式。例如： · （这里 a=x，b=3） · （这里 a=2m，b=n） · 例题解析 例1：计算 ((x + 5)(x - 5)) 解析： 原式（根据平方差公式，其中 ，） 例2：计算 ((3a + 2b)(3a - 2b)) 解析： 原式（根据平方差公式，其中 ，） 例3：计算 解析： 原式 （将101写成100+1，99写成100-1，构造平方差公式的形式） （根据平方差公式，其中 ，） 例4：计算 ((-2x + y)(-2x - y)) 解析： 原式（根据平方差公式，其中 ，；或看作 ，相同项为 (-2x)，相反项为 (y) 与 (-y)） 例5：计算 ((a + b + c)(a + b - c)) 解析： 原式 （将 ((a + b)) 看作一个整体，作为平方差公式中的 (a)，(c) 作为公式中的 (b)） （根据平方差公式） （再利用完全平方公式展开，此步为后续知识点，此处仅作拓展） 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. ((a + b)(-a - b)) B. ((a + b)(b - a)) C. ((a - b)(b - a)) D. ((a - b)(-a + b)) 2. 计算 ((x - 2)(x + 2)) 的结果是（ ） A.... 3. 计算 ((-m - n)(m - n)) 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. _______________. 2. 3. 计算：. 4. 若，则 _______________. 三、解答题 1. 计算：((4a - 1)(4a + 1)) 2. 计算：((-3x + 2y)(-3x - 2y)) 3. 用简便方法计算： 4. 先化简，再求值：，其中 ，. 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：B 解析：选项A：，不符合。 选项B：，符合平方差公式。 选项C：，不符合。 选项D：，不符合。 故选B。 2. 答案：A 解析：。故选A。 3. 答案：B 解析：。故选B。 4. 答案：C 解析：选项A：，原选项错误。 选项B：，原选项错误。 选项C：，正确。 选项D：((x + y)(x - 2y)) 不符合平方差公式结构，展开为，原选项错误。 故选C。 二、填空题 1. 答案： 解析：。 2. 答案：(5x + y) 解析：因为，所以括号内应填 (5x + y)。 3. 答案：(999996) 解析：。 4. 答案： 解析：，所以，故。 三、解答题 1. 答案： 解析：((4a - 1)(4a + 1)) 2. 答案： 解析：((-3x + 2y)(-3x - 2y)) 3. 答案： 解析： 4. 答案：(2) 解析： 当 ， 时， 原式 学科网（北京）股份有限公司 $