11.1 幂的运算 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

11.1幂的运算 学习目标 1.理解同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则和同底数幂的除法法则。 2.能够熟练运用上述法则进行幂的运算。 3.能够解决与幂的运算相关的简单问题，并注意运算过程中的符号问题。 知识点讲解 一、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：(am.an=a+n(其中(a≠0)，(m以(n)都是正整数) 注意事项： 1.底数(a)可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。 2.当底数互为相反数时，要先化为同底数幂再进行计算。 3.该法则可以推广到多个同底数幂相乘的情况，即(am.an.aP=a+n+p)。 二、幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am=amm(其中(a≠0)，(m小()都是正整数) 注意事项： 1.不要与同底数幂的乘法法则混淆，幂的乘方是指数相乘，同底数幂的乘法是指数相加。 2.该法则也可以准广，《a丹P=a甲。 三、积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)°=a6(其中(a≠0)，b≠0，n)是正整数) 注意事项： 1.积的乘方要对积中的每一个因式都进行乘方，不能漏乘。 2.当底数为多个因式的积时，同样适用，如(abc=a”cn)。 3.数字因数的乘方要注意符号，例如(-a乃，当()为偶数时结果为正，当n)为奇数 时结果为负。 四、同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式：(am÷an=am-n(其中(a≠0)，(m以(n)都是正整数，且(m>n》 注意事项： 1.底数(a)不能为0。 2.当指数相等时，同底数幂相除结果为1，即(am÷am=a0=1)(a≠0)，这就是零指 数幂的规定。 3.当(m<n)时，可以引入负整数指数幂的概念：aP=)(a≠0，(p)是正整数)，此时 (am÷an=am-n=an-m=a)。 例题解析 例题1：计算(103×10 解： 103×104=10+4=107 例题2：计算(（x习) 解： 6xj5=x2x5=x10 例题3：计算(-2ab习 (-2ab33=(-2)3×a3×(b33=-8×a3×b23=-8a3b5 例题4：计算(a6÷a2(a≠0) 解： a6÷a2=a6-2=a4 例题5：计算(-3)2×(-3)3÷(-3) 解： (-32×(-3)÷(-31 =(-3)4÷(-34 =(-3)5÷(-3)4 =(-3) 例题6：计算(xy2)÷(xyx≠0)，y≠0) 解 (xy2÷(x2y月 =x34y24÷(x2X3y1x3 =x12y8÷x6y3 =x12-6y8-3 =X6y5 巩固练习 一、选择题 1.下列计算正确的是() A. (a2+a3=a时) B a2.a3=a6 C. (a3÷a2=a D. (a°=a) 2.计算(-a)2a的结果是() A.(a5) B.(-a5) c.(a) D.(-a) 3.计算(x)÷x网的结果是() A.(x3 B.(x4 C.(x5 D.(x6 4.下列运算正确的是() A. (2a=6a时 B. a2.a3=a6 C. (a8÷a2=a4 D. (a2)3=a) 5.计算(-mn2)的结果是() A.(-言m3n) B.（-mn5) c.（-mns) D. (信m3n) 6.若(am=3,an=2,则(am+n的值是() A.5 B.6 C.8 D.9 7.若(x3=8,则x6的值是() A.16 B.24 C.32 D.64 8.计算(a(a≠0)的结果是() A.0 B.1 c.(a) D.() 9.下列各式中，与(x5相等的是() A.(x2+x3) B.(x2.x3) C.(x10÷x2 D.((x3) 10.计算（(-2)3的结果是() A.-8 B.8 c(-)D.(信) 二、解答题 1.计算：m2.m3.m4。 2.计 :（-a÷a90+0) 3.计算： 2xyj3(-3xw习 4.计算： (-3)+(-2- 5. 计算：(a)2-2a5.a+3a 6. 已知(am=4),an=2,求(am-p的值(a≠0) 2022 7.计算： （-0.125 ×82023 8.计算： ÷x5+x(-区≠0) 9. 计算： (2a26)-(3ab)°+5a62。 10.先化简， 再求值：(a冈-a3.a3+(2a)2,其中a=--1 巩固练习答案与解析 一、 选择题 1.答案：C 解析：A选项(a习与(a)不是同类项，不能合并；B选项应为(a2+3=a5);C选项正确： D选项应为(a23=a6。 2.答案：A 解析：(-)2a3=a2.a3=a2+3=a5。 3.答案：B 解析：(x3)÷x2=x5÷x2=x6-2=x4。 4.答案：D 解析：A选项应为(8a);B选项应为(a5);C选项应为(a);D选项正确。 5.答案：A 解析：(-支mn2习3-（-)3m3.(n3--言m3n6。 6.答案：B 解析：a+n=am,a”=3×2=6。 7.答案：D 解析：x6=(x9)2=82=64。 8.答案：B 解析：根据零指数幂的定义，a0=1(a≠0)。 9.答案：B 解析：A选项不能合并；B选项(x2.3=x5;C选项(x10÷x2=x8;D选项 (x2°=x)。 10.答案：c 解析：（-2)=南=方=一青， 二、解答题 1.解： m2.m3.m4=m2+3+4=m9 2.解： (-a2)÷a4=-a6÷a4=-a6-4=-a2 3.解： 2x3y)3.(-3xy冈=8xy3.(-3xw2=8×(-3)×x6x×y3y2=-24x7y5 4.解： (-3)°+(-2)-=1+(-)-=1-支-=1-1 =0 5.解： (a3)2-2a5.a+3a)2=a6-2a6+9a6=(1-2+9)a6=8a6 6.解： 因为(am=4),an=2 所以(am-n=am÷an=4÷2=2 7.解： （-0.125)202×82023 =(-0.125)2022×g202×8 =(-0.125×8)2022×8 =(-12022×8 =1×8 =8 8.解： (x}÷5+x(-82=x6÷x5+xx2=x-5+x1+2=x+x3 9.解： 2a2b)}2-(3ab)3+5a4b2 =4a462-27a3b3+5a4b2 =(4a462+5a46)-27a63 =9a462-27a3b3 10.解： (a2)°-a3.a3+(2a3)2=a6-a6+4a6=(1-1+4)a6=4a6 当a=-1时， 原式(=4×(-1)°=4×1=411.1幂的运算 学习目标 1.理解同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则和同底数幂的除法法则。 2.能够熟练运用上述法则进行幂的运算。 3.能够解决与幂的运算相关的简单问题，并注意运算过程中的符号问题。 知识点讲解 一、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：(am.an=a+n(其中(a≠0)，(m以(n)都是正整数) 注意事项： 1.底数(a)可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。 2.当底数互为相反数时，要先化为同底数幂再进行计算。 3.该法则可以推广到多个同底数幂相乘的情况，即(am.an.aP=a+n+p)。 二、幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am=amm(其中(a≠0)，(m小()都是正整数) 注意事项： 1.不要与同底数幂的乘法法则混淆，幂的乘方是指数相乘，同底数幂的乘法是指数相加。 2.该法则也可以准广，《a丹P=a甲。 三、积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)°=a6(其中(a≠0)，b≠0，n)是正整数) 注意事项： 1.积的乘方要对积中的每一个因式都进行乘方，不能漏乘。 2.当底数为多个因式的积时，同样适用，如(abc=a”cn)。 3.数字因数的乘方要注意符号，例如(-a乃，当()为偶数时结果为正，当n)为奇数 时结果为负。 四、同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式：(am÷an=am-n(其中(a≠0)，(m以(n)都是正整数，且(m>n》 注意事项： 1.底数(a)不能为0。 2.当指数相等时，同底数幂相除结果为1，即(am÷am=a0=1)(a≠0)，这就是零指 数幂的规定。 3.当(m<n)时，可以引入负整数指数幂的概念：aP=)(a≠0，(p)是正整数)，此时 (am÷an=am-n=an-m=a)。 例题解析 例题1：计算(103×10 解： 103×104=10+4=107 例题2：计算(（x习) 解： 6xj5=x2x5=x10 例题3：计算(-2ab习 (-2ab33=(-2)3×a3×(b33=-8×a3×b23=-8a3b5 例题4：计算(a6÷a2(a≠0) 解： a6÷a2=a6-2=a4 例题5：计算(-3)2×(-3)3÷(-3) 解： (-32×(-3)÷(-31 =(-3)4÷(-34 =(-3)5÷(-3)4 =(-3) 例题6：计算(xy2)÷(xyx≠0)，y≠0) 解 (xy2÷(x2y月 =x34y24÷(x2X3y1x3 =x12y8÷x6y3 =x12-6y8-3 =X6y5 巩固练习 一、选择题 1.下列计算正确的是() A. (a2+a3=a时) B a2.a3=a6 C. (a3÷a2=a D. (a°=a) 2.计算(-a)2a的结果是() A.(a5) B.(-a5) c.(a) D.(-a) 3.计算(x)÷x网的结果是() A.(x3 B.(x4 C.(x5 D.(x6 4.下列运算正确的是() A. (2a=6a时 B. a2.a3=a6 C. (a8÷a2=a4 D. (a2)3=a) 5.计算(-mn2)的结果是() A.(-言m3n) B.（-mn5) c.（-mns) D. (信m3n) 6.若(am=3,an=2,则(am+n的值是() A.5 B.6 C.8 D.9 7.若(x3=8,则x6的值是() A.16 B.24 C.32 D.64 8.计算(a(a≠0)的结果是() A.0 B.1 c.(a) D.() 9.下列各式中，与(x5相等的是() A.(x2+x3) B.(x2.x3) C.(x10÷x2 D.((x3) 10.计算（(-2)3的结果是() A.-8 B.8 c(-)D.(信) 二、解答题 1.计算：m2.m3.m4。 2.计 :（-a÷a90+0) 3.计算： 2xyj3(-3xw习 4.计算： (-3)+(-2- 5. 计算：(a)2-2a5.a+3a 6. 已知(am=4),an=2,求(am-p的值(a≠0) 2022 7.计算： （-0.125 ×82023 8.计算： ÷x5+x(-区≠0) 9. 计算： (2a26)-(3ab)°+5a62。 10.先化简， 再求值：(a冈-a3.a3+(2a)2,其中a=--1 巩固练习答案与解析 一、 选择题 1.答案：C 解析：A选项(a习与(a)不是同类项，不能合并；B选项应为(a2+3=a5);C选项正确： D选项应为(a23=a6。 2.答案：A 解析：(-)2a3=a2.a3=a2+3=a5。 3.答案：B 解析：(x3)÷x2=x5÷x2=x6-2=x4。 4.答案：D 解析：A选项应为(8a);B选项应为(a5);C选项应为(a);D选项正确。 5.答案：A 解析：(-支mn2习3-（-)3m3.(n3--言m3n6。 6.答案：B 解析：a+n=am,a”=3×2=6。 7.答案：D 解析：x6=(x9)2=82=64。 8.答案：B 解析：根据零指数幂的定义，a0=1(a≠0)。 9.答案：B 解析：A选项不能合并；B选项(x2.3=x5;C选项(x10÷x2=x8;D选项 (x2°=x)。 10.答案：c 解析：（-2)=南=方=一青， 二、解答题 1.解： m2.m3.m4=m2+3+4=m9 2.解： (-a2)÷a4=-a6÷a4=-a6-4=-a2 3.解： 2x3y)3.(-3xy冈=8xy3.(-3xw2=8×(-3)×x6x×y3y2=-24x7y5 4.解： (-3)°+(-2)-=1+(-)-=1-支-=1-1 =0 5.解： (a3)2-2a5.a+3a)2=a6-2a6+9a6=(1-2+9)a6=8a6 6.解： 因为(am=4),an=2 所以(am-n=am÷an=4÷2=2 7.解： （-0.125)202×82023 =(-0.125)2022×g202×8 =(-0.125×8)2022×8 =(-12022×8 =1×8 =8 8.解： (x}÷5+x(-82=x6÷x5+xx2=x-5+x1+2=x+x3 9.解： 2a2b)}2-(3ab)3+5a4b2 =4a462-27a3b3+5a4b2 =(4a462+5a46)-27a63 =9a462-27a3b3 10.解： (a2)°-a3.a3+(2a3)2=a6-a6+4a6=(1-1+4)a6=4a6 当a=-1时， 原式(=4×(-1)°=4×1=4