9.2.2总体百分位数的估计 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体百分位数的估计”，涵盖概念理解、计算步骤及应用。以节约用水中阶梯水价标准制定为情境导入，关联前期频率分布知识，通过问题链构建从具体数据到抽象概念的学习支架。 其亮点在于情境驱动与问题链设计，用数学眼光观察现实问题，通过100户用水数据实例培养数学思维，结合频率分布表估计百分位数体现数学语言应用。小结突出数学建模与样本估计总体思想，助力学生提升数据分析能力，方便教师实施情境化教学。

环节一 创设情景 明确问题 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出. 某市政府为了减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，如果希望确定一个比较合理的标准,以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作? 通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：） 环节一 创设情景 明确问题 收集数据 整理数据 分析数据 收集数据 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断. 接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论. 学习目标 1 2 3 理解百分位数的概念，能直观的认识百分位数的含义.（重点） 掌握求百分位数的步骤，会求样本数据的百分位数，会利用频率分布表或频率分布直方图求百分位数.（重点，难点） 在利用样本数据的百分位数估计总体数据的百分位数的过程中，体会样本估计总体的思想方法。 问题1 如果该市政府希望使50%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗? 思考：如何理解使50%的居民用户生活用水费用支出不受影响？ 就是要寻找一个数 ，使全市居民用户月均用水量中不超过 的占50%，大于 的占50%. 50% 50% 下面我们通过样本数据对𝑎的值进行估计. 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 19.4 16.8 17.0 17.9 18.3 20.5 21.6 22.2 24.3 22.4 24.5 25.6 28.0 将100个样本数据按照从小到大的顺序排列如下： 问题1 如果该市政府希望使50%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，居民用户月均用水量标准该如何设定? 这组数据的中位数是6.8， 6.8 6.8 可以建议市政府把月均用水量标准定为6.8t. 称为这组数据的第50百分位数或50%分位数. 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 19.4 16.8 17.0 17.9 18.3 20.5 21.6 22.2 24.3 22.4 24.5 25.6 28.0 将100个样本数据按照从小到大的顺序排列如下： 问题2:如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗? 13.6 13.8 100× 80% = 80 得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8. [13.6,13.8) 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 19.4 16.8 17.0 17.9 18.3 20.5 21.6 22.2 24.3 22.4 24.5 25.6 28.0 将100个样本数据按照从小到大的顺序排列如下： 问题2:如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗? 13.6 13.8 100× 80% = 80 得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8. 一般地，我们取这两个数的平均数， 并称此数为这组数据的第80百分位数 ，或80％分位数. 可以发现，区间[13.6,13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分。 根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右. 由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t. 你认为14t这个标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗? 误差主要来自于抽样的方法和样本的随机性. 如果不一定,那么哪些环节可能会导致结论的差别? 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 19.4 16.8 17.0 17.9 18.3 20.5 21.6 22.2 24.3 22.4 24.5 25.6 28.0 将99个样本数据按照从小到大的顺序排列如下： 问题3:如何确定99户居民用户月均用水量数据的中位数和80%分位数? 这组数据的中位数为第50个数据6.8， 第80百分位数为第80个数据13.6 6.8 13.6 第二组:≤5的数占≥5的数占 第一组:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第二组:1 2 3 4 5 6 7 8 9 中位数:5.5 中位数: 5 思考1:一组数据中，小于中位数的比例与大于中位数的比例一定各占50%吗? 第二组:<5的数占,>5的数占 思考2:一组数据中，小于或等于中位数的比例与大于或等于中位数的比例一定各占50%吗? 结论:一组数据中，至少有50%的数据小于或等于中位数，且至少有50%的数据大于或等于中位数→第50百分位数 环节二 抽象概念，辨析内涵 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中 的数据 这个值，且 的数据 这个值。 第p百分位数 至少有p% 小于或等于 至少有(100-p)% 大于或等于 环节二 抽象概念，辨析内涵 环节二 抽象概念，辨析内涵 练习1：判断下列说法的正误: (1)若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23.（ ） (2)若样本数据的24%分位数是24,则这组数据中至少有76%的数据大于等于24.（ ） 练习2: 1,2,3,4,5,6,6,6,9,10这组数据的第25百分位数是 ；第50百分位数是_____；第75百分位数是_____.第76百分位数是____. x 3 5.5 6 6 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 按照从小到大的顺序排列原始数据 大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 第i项和第i+1项数据的平均数 i不是整数 i是整数 环节二 抽象概念，辨析内涵 第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数. 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数. 25% 第一四分位数 或下四分位数 50% 75% 中位数 第三四分位数 或上四分位数 重要的百分位数 像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数在统计中也经常被使用. 例1 根据9.1.2节问题3中27名女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数. 解: 把27名女生的样本数据按从小到大排序,可得 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 172.0 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 环节三 例题练习， 巩固理解 由25%×27=6.75 则第25百分位数（下四分位数）为第7项数据,即为155.5. 由50%×27=13.5 则第50百分位数(中位数)为第14项数据，即为161. 由75%×27=20.25 则第75百分位数（上四分位数）为第21项数据，即为164. 据此估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164. 思考：在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图，与原始数据相比，他们损失了一些信息．那么该如何根据样本的频率分布表或频率分布直方图估计总体的百分位数呢？ 环节三 例题练习， 巩固理解 典例分析 例2 根据表9.2-1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 例如由表中可以知道在[13.2,16.2)内有9个数据，但不知道这9个数据具体是多少. 此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上. 环节三 例题练习， 巩固理解 假定样本在区间内是均匀分布 解: 由频率分布表可知,月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为 在16.2t以下的居民用户所占比例为 ∴80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.由 可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2 类似地，由 可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95 例2 根据频率分布表,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数 例3 根据下图估计月均用水量的样本数据的80%分位数. 先算各组的频率 0.321 0.129 0.09 0.051 0.03 0.039 0.231 0.021 假定样本在区间内是均匀分布 所以月均用水量在13.2t以下的居民所占比例为：0.231+0.321+0.129+0.09=0.771 月均用水量在16.2t以下的居民所占比例为：0.771+0.09=0.861 所以，第80百分位数一定位于[13.2，16.2） 解得m≈14.2 设第80百分位数为m,则 0.771+（m-13.2）X0.030=0.80 所以，可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2 0.09 计算各小组的累计频率 确定第p百分位数所在的小组区间 按照比例算出不足频率部分对应的区间长度/面积 计算得出第p百分位数 计算的关键：假定样本在区间内是均匀分布的 根据频率分布表或频率分布直方图估计百分位数的方法和步骤 特别地，在频率分布直方图中，第p百分位数左侧的长方形面积之和等于p %. 利用信息技术求百分位数 根据100户居民的月均用水量，利用Excel计算50%，80%分位数. 课本上提供的是一种简单便于计算的方法.实际上，不同的统计软件计算百分位数的方法不尽相同，常见的求百分位数的软件有:Excel、R软件、 SPSS等统计软件，得到的结果也不一定相同. 14.2 13.7 14.2 13.64 14 1.你学到了哪些知识?   2.你是如何获得这些知识的?   3.你有什么感想? 中位数的定义 百分位数的定义 由原始数据求百分位数 类比、从特殊到一般的数学思想 数学建模 由样本数据的百分位数估计总体的百分位数 百分位数的计算步骤 中位数的计算步骤 由分组数据（频率分布表、 频率分布直方图）求百分位数 适用范围：确定定额、制定标准 环节四 小结提升，形成结构 28 环节五 目标检测，检验效果 2.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是 ． 1 .“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的 指标，常用区间 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高. 现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4， 则这组数据的第60百分位数是( ) A.7 B.7.5 C.8 D.9 A 65 环节六 布置作业，应用迁移 （一）必做题 作业1：课本204页练习1，2，3题 （二）选做题 作业2：依据上节课作业中完成的本班同学的体重(或身高)数据的频率分布直方图,估计本年级学生体重(或身高)的第20,50,80百分位数,将结果与其他同学进行比较,分析数据产生差异的原因. 在终极的分析中，一切知识都是历史； 在抽象的意义下，一切科学都是数学； 在理性的基础上，所有的判断都是统计学。 一 C.R. 劳 $