精品解析：上海市洋泾中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

洋泾中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集运算得到答案即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数定义和复数相关概念定义即可直接得解. 【详解】因为复数，所以， 所以. 故答案为： 3. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的第25百分位数为__________.. 【答案】10 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可求解. 【详解】将样本数据从小到大排列为，则， 所以第百分位数为第3个数，即10. 故答案为：10 5. 在的二项展开式中，项的系数是______（结果用数值表示）． 【答案】80 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案. 【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为：，， 当时，展开式中含有，故的系数为 ， 故答案为：80. 6. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，，再利用投影向量的公式：在方向上的投影向量为，直接求解即可. 【详解】，， ，， ， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 7. 若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 8. 若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解. 【详解】由已知得，因为各项均为正数，所以， 又因为，所以， ， 所以等比数列的首项 ，公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 9. 定义：表示点 到曲线上任意一点的距离的最小值．已知 是圆上的动点，圆，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为， 由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 10. 已知点 是双曲线左支上一点，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率. 【详解】 由题：双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，O是的中点， 所以渐近线与平行，所以， ， 所以，又 所以， 所以，离心率. 故答案为： 【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解. 11. 已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，取，结合平面向量基本定理，可得为等腰直角三角形，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即可． 【详解】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当 时，可得的最小值是 故答案为： 12. 对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个. 【答案】18 【解析】 【分析】根据题目所给条件，先根据定义域确定关键的函数值，然后根据计数原理将不能确定的几个函数值进行排列即可得到答案. 【详解】由题意，函数的定义域为和函数的值域均为：，可知自变量和函数值是一一对应的关系； 的定义域为，根据题目给出的“3”函数的新定义：有，即： ，，. 可得：，只能是 ，，，这样在值域当中只剩下是 的倍，故，. 因为函数是“2”函数，根据题意恰有2个根，结合 ，，，，；剩余的不能确定的个函数值中，只需要，不同的分配方法有种. 故答案为： 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知为非零实数，且 ，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C. 14. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称； B. 函数的图象关于直线对称； C. 函数的图象可由 的图象向右平移个单位得到； D. 方程在上有两个不相等的实数根. 【答案】D 【解析】 【分析】代入验证可判断AB；根据平移变换判断C；直接解方程可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以的图象关于直线对称， 即的图象不关于点对称，故A错误； 对于B，当时，，所以的图象关于点对称， 即函数的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C， 的图象向右平移个单位得到 ，故C错误； 对于D，令，则，或， 即，或， 又，则，或， 因此可得方程在上有两个不相等的实数根，故D正确． 故选：D. 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 16. 已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（ ） A. 可能为奇函数 B. 可能在处取最小值 C. 可能是增函数 D. 可能在处取极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数新定义结合函数奇偶性及单调性判断A，C，应用最值及极小值的定义判断B，D. 【详解】对于A：若函数为奇函数，由题意存在，使得， 则，所以，所以，而，不合题意，A选项错误； 对于B：令满足题意，此时在处取最小值，B选项正确； 对于C： 函数，如果是增函数，则当时，存在 ，使得得出，不合题意，C选项错误； 对于D：由题意，若在处取极小值，则在附近左侧， 若存在使得，则至少存在一个，但是，不合题意， 若不存在使得，即，与题意不符，所以D选项错误. 故选：B. 三、解答题（14+14+14+18+18） 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，， ． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 连接交于点， ∵是的中点，是中点， ， 又∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，应用中位线得出 ，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，∴， 令，则 ，， ∴是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为 18. 已知． （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）存在使得成等差数列，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a的取值范围． 【小问1详解】 由过，可得，则 ，解得 （负值舍去）， 因为在上单调递增，， 则，解得，故所求解集为． 【小问2详解】 因为成等差数列，所以， 即有解，化简可得， 则，且， 故在上有解， 令，则 所以 ，又因为，所以． 19. “堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点 在扇形的弧上，点在线段上，且． （1）当米时，求的长； （2）当点 在什么位置时，白玉兰种植区 的面积最大，并求出此时的最大值． 【答案】（1）米 （2）在弧中点位置时， 的面积最大，最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）因为能得出的度数，在 里用余弦定理列出关于的方程，求解方程并根据确定. （2）设，由平行得，在 用正弦定理求出，进而得到 面积表达式.把面积表达式化简为含三角函数的形式，根据三角函数性质求最大值，确定值，得出 的位置. 【小问1详解】 由，故 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 故，即 . 解得，因为，所以 故长为米； 【小问2详解】 由题可设，， 由，故，又， 在 中，由正弦定理得，即， 则， 令 ， 当，即时，有， 所以 ，此时 位于的中点. 所以当 位于的中点时， 的面积最大，最大值为平方米. 20. 如图，已知抛物线 ，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与 ，． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明： ； （3）若直线过点，请判断直线 是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）直线 恒过点． 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式即可求解； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出 的直线得出定点. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以，又， 所以，即点的坐标； 【小问2详解】 由题知，设，， ，代入抛物线可得， ， 又， ， 同理 . 【小问3详解】 因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线 过定点. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意 ，都有．当时，若函数存在最小值 ，则称 为直线的“距离”． （1）若 ，直接写出相应的集合 ； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【答案】（1） （2） （3） 先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 【解析】 【分析】（1）分 、两种情况进行分析，说明，再结合可得出的取值范围，即可得出集合 ； （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分、 两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，可得出，再利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）先推导出，设点为函数图象上的一点，的最小值，令，，结合题中定义推导出，结合的任意性以及函数奇偶性的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为 ，则， 若 ，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. 【小问2详解】 要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格减，无最小值； ②当 时，，由得，由 得 ， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中 ，则， 由得 ，由得 ， 所以，函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考 2025.9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设全集，则____________. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则________． 3. 函数的定义域为________． 4. 样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的第25百分位数为__________.. 5. 在的二项展开式中，项的系数是______（结果用数值表示）． 6. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 7. 若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 8. 若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 9. 定义：表示点 到曲线上任意一点的距离的最小值．已知 是圆上的动点，圆，则的取值范围为________． 10. 已知点 是双曲线左支上一点，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是______ . 11. 已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 12. 对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个. 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知为非零实数，且 ，则下列命题成立的是 A. B. C. D. 14. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称； B. 函数的图象关于直线对称； C. 函数的图象可由 的图象向右平移个单位得到； D. 方程在上有两个不相等的实数根. 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 16. 已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（ ） A. 可能为奇函数 B. 可能在处取最小值 C. 可能是增函数 D. 可能在处取极小值 三、解答题（14+14+14+18+18） 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，， ． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值． 18. 已知． （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）存在使得成等差数列，求a的取值范围. 19. “堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点 在扇形的弧上，点在线段上，且． （1）当米时，求的长； （2）当点 在什么位置时，白玉兰种植区 的面积最大，并求出此时的最大值． 20. 如图，已知抛物线 ，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与 ， ． （1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若，证明： ； （3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意 ，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若 ，直接写出相应的集合 ； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $