15.3.2 等边三角形 第1课时 同步练-2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形 一、单选题 1．如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 4．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　） A． B． C． D． 6．如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知：如图，，，分别为边，上的高线，且． 求证：为等边三角形． 证明：，，◎， （全等的判定方法为★） ⊙ ⊙ ，即为． 则回答错误的是（   ） A．◎代表 B．★代表 C．⊙代表 D．代表等边三角形 二、填空题 9．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 10．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ． 11．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 12．已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 三、解答题 13．如图， 是等边三角形，，点在的延长线上且，求证：． 14．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 15．如图，和均为等边三角形，连接、交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 16．如图，，都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．若，．求的长． 17．如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D B C B B 1．C 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．D 本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 3．B 本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 4．D 本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出． 解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．B 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，则可证明得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．B 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和证明得到，再求出的度数即可得到答案． 解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．B 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定． 根据全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定补全证明过程判断即可． 证明：，，， （全等的判定方法为） ，即为等边三角形． 即◎代表=，★代表，⊙代表，代表等边三角形， 只有选项B符合； 故选：B． 9．/30度 本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由为等边三角形，可得，再由，可得，从而得出，再根据等腰三角形的性质得，最后求解即可． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故答案为：． 11．/80度 本题考查等边三角形性质和等腰三角形性质，三角形内角和．熟练掌握是解题的关键． 根据等边三角形性质，得．，可得，由等腰三角形性质得，由三角形内角和得，即可求解． 解：是等边三角形， ∴．， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 12．/度 本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．证明见解析 本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，由等边三角形的性质可得，平分，进而可得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 证明：∵是等边三角形，， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．见解析 本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 15．(1)见解析 (2) 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴， （2）解：是等边三角形， ， ， ， ． 16．3 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵，都是等边三角形， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 17．见解析 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $