15.1.2 线段的垂直平分线第1课时 同步练-2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1.2 线段的垂直平分线 一、单选题 1．在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 2．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 3．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 4．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 5．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 6．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 二、填空题 7．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 8．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 9．已知命题：“同位角相等”它的逆命题是 10．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 11．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为 ． 三、解答题 12．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 13．风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 14．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 15．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C B C B 1．B 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．A 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 3．C 本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 4．B 本题考查了判断命题真假、写出命题的逆命题，分别写出各选项的逆命题，并根据对顶角的定义、平行线的判定与性质、绝对值的意义判断其真假即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：A、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角；反例：两个直角相等但不是对顶角，故逆命题为假，故不符合题意； B、原命题两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行；根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，故逆命题为真，符合题意； C、原命题若，则的逆命题为若，则；反例：时但，故逆命题为假，故不符合题意； D、原命题若，则的逆命题为若，则；反例：，时但，故逆命题为假，故不符合题意； 故选：B． 5．C 本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 6．B 本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7． 本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， 又∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8． 本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 9．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 10．内错角相等，两直线平行 本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 11． 本题考查线段垂直平分的性质，由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长． 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长． 故答案为：． 12．（1）两直线平行，同旁内角互补．成立；（2）如果两个角相等，那么这两个角是直角．不成立；（3）三条边对应相等的三角形全等．成立；（4）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立 首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断： （1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定定理，命题成立； （2）逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角；两个相等的角不一定是直角，命题不成立； （3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立； （4）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立． （1）两直线平行，同旁内角互补，成立； （2）如果两个角相等，那么它们是直角；不成立； （3）如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立； （4）如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立． 13．见解析 此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 14．(1)见解析 (2) 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． （1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 15．(1)见解析 (2)见解析 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． （1）证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 学科网（北京）股份有限公司 $