北京交通大学附属中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

2025-2026学年第一学期交大附中初三年级10月阶段练习（数学） 姓名： 班级： 一、选择题（本大题共8小题，共16分) 1.下列四个图形中，为中心对称图形的是( l 2.抛物线y=(x-2)+1的顶点坐标是( A.(0,5) B.(1,2) c.（-2,1) D.（2,1) 3.把抛物线y=x2向右平移3个单位，得到的抛物线是() A.y=(x-3)2 B.y=(x+3)2C.y=x2-3 D.y=x2+3 4.在平面直角坐标系x0y中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是() A.(2,-3) B.(-2,3) C.(3,2) D.(-2,-3) 5.在平面直角坐标系x0y中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( ) A.y=x+1 B.y=x2 C.y=(x-4)2 D.y= 6.用配方法解方程x2+4x=1,变形后结果正确的是() A.x-2)2=2 B.x+2)2=2C.(x+2)2=5D.(x-2)2=5 7.把长为2的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积.设较长一段的长 为xm,依题意，可列方程为() A.x2=2(2-x) B.x2=2(2+x)C.(2-x)2=2xD.x2=2-x 8.如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路 线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度y(单位：)与水平距离x(单位：心近似满 足函数关系y=a2+br+c(a≠0).如图记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A(x,y,)、B(x, y2)、C(x,y),根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距 离x满足( 第1页，共6页 A.x<X1 B.<x2 C.x=x2 D.X,<x<X3 二、填空题（本大题共8小题，共16分） 9.已知x=2是关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根，则b的值是 10.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，-2)的抛物线解析式 11.点A(2,y),B(a,y2)在二次函数y=x2-2x+3的图象上.若y<y,写出一个符合条件的a的值 12.若关于x的方程x2-2x一k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 13.如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(-2,0),点B(0,1),将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC, 则点C的坐标为 14.如图，等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE,连接BE,则∠ABE= 15.如图，平面直角坐标系中，C(0,6),K(4,0),A为x轴上一动点，连接AC,将AC绕A点顺时针旋 转90°得到AB,当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为 E B -2 OA K 第13题图 第14题图 第15题图 16.抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A(a,0)和B(b,0)(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D,下 列四个结论： ①抛物线过点(2，m)； ②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形： ③a+b=4: ④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,2),若x1<x2,且x1+x2>2,则1>2. 其中结论正确的序号是 三、解答题（本大题共12小题，共68分。17题共8分，18-25题每小题5分，26题6分，27-28题每小 题7分) 第2页，共6页 17.(本小题8分) 用适当方法解方程： (1)x2=2x+8: (2)2x2-4x+1=0. 18.(本小题5分) 已知m是方程x2-3x+1=0的一个根，求(m-3)2+(m+2)(m-2)的值. 19.(本小题5分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△ADE,AD交BC于 点F.若AE=3,求AF的长. B 20.(本小题5分) 如图，在平面直角坐标系中，己知A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2), 6X 将△4ABC绕着原点顺时针旋转90°得到△AB,C1,点A,B,C的对 5 4 应点分别是点A,B,C. (1)画出△ABC,写出点A的坐标为： -6-5-4-3-2-10■ 123456 2 (2)直接写出△AB,C的面积为 4 5 -6 21.(本小题5分) 已知一个二次函数y=x2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： -3 -2 -1 0 1 0 -3 -4 -3 0 (1)求这个二次函数的表达式： (2)当-3<x<0时，直接写出y的取值范围 (3)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值都小于二次函数y=m+bx+c的值，直接写出n的取 值范围 第3页，共6页 22.(本小题5分) 己知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若m<0,且此方程的两个实数根的差为3，求m的值. 23.(本小题5分) 阅读下面的材料并完成解答. 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载 了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步， 欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方 步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载 了这个问题的几何解法： ①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的 边长为 步： ②中间小正方形的面积为 平方步： ③若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ④由②③可得关于x的方程 进而解得矩形田地的宽为24步. 24.(本小题5分) 在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况.设实验时 间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y克、y2克，其中y,y,与x的几组对应值如下表： y(克) 0 5 10 15 20 24 25 20 V 25 23.5 20 14.5 0 15 10 5 y 25 20 15 10 0510152025x(分) (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x,y2与x之间的关系，且y,与x之间满足某种特殊变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象： ②直接写出y,与x之间的函数表达式是 (②)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量差约为一克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当片=y,时，实验时间约为 分钟（结果保留小数点后一位) 第4页，共6页 25.(本小题5分) 如图，小林和小伟在玩沙包游戏.沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分， 小林和小伟分别站在点O和点A处，测得OA距离为8.若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1m的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中 C；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中C,· y/m C B m 图1 图2 (1)轨迹C中，测得沙包的水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 竖直高度ym 2.5 3 2.5 请根据以上数据，解决问题： ①抛物线C,中，沙包运行的最高点距离地面的高度是 m; ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)己知小林跳起将沙包回传的运动轨迹C2近似满足函数关系式：y=-三x2+bx+2.小伟在x轴上方1m 7 的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则b的取值范围是 26.(本小题6分) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ac2-4ar+1(a≠0). (1)求抛物线的对称轴： (2)当a<0时，对于任意的正数t,若M(2-t,y),N(2+3t,y2)是抛物线上的两点，则yy2(填 “>”“<”“=”): (③)已知直线：)一方+上两点4月，其中点A的横华标为1，点B的纵坐标为)若抛物线与找段A☑ 15 恰有一个公共点，结合函数图象，求α的取值范围. 第5页，共6页 27.(本小题7分) 已知线段AB和点C,将线段AC绕点A逆时针旋转α(0°<a<90°)，得到线段AD,将线段BC绕 点B顺时针旋转180°-Q,得到线段BE,连接DE,F为DE的中点，连接AF,BF. (1)如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AB的度数： (2)如图2，点C在线段AB的上方，写出一个a的度数，使得AF=V3BF成立，并证明. B 图1 图2 28.(本小题7分) 给出如下定义：对于线段PQ,以点P为中心，把点Q逆时针旋转60°得到点R,点R叫做线段 PQ关于点P的“完美点” 例如等边△ABC中，点C就是线段AB关于点A的“完美点”， P60 在平面直角坐标系xOy中. (1)己知点A(0,2),在A(N3,1),A,(（√3,1)，A1,V3),A,(1,-√3)中， 是线段OA关于 点O的“完美点”： (2)直线y=x+2上存在线段BB',若点B'恰好是线段BO关于点B的“完美点”，求线段BB的 长： (3)若OC-8,OE=4,点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”.当 线段DF分别取得最大值和最小值时，直接写出线段CE的长 第6页，共6页 2025-2026学年第一学期交大附中初三年级10月阶段练习（数学） 答案 选择题（本题共16分，每小题2分) 题号 1 4 5 6 8 答案 D A D B c A B 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.1; 10.y=x2-2（答案不唯一)； 11.3(答案不唯一)； 12.k>-1; 13.(2,2): 14.20°： 15.(5,-1): 16.①②④ 三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题 每题7分) 17.解：(1)x2-2x-8=0, (x-4)(x+2)=0, x-4=0或x+2=0, 解得：x1=4,x2=-2: (2)解：2x2-4x+1=0, 2x2-4x=-1, 2-2x=-2 配方得：父2-2x+1=-+1, x-=2 两边同时开方得：x一1=士 2 解得：x1=22 2 18.解：m是方程x2-3x+1=0的一个根， ∴.m2-3m+1=0. .m2-3m=-1 .原式=m2-6m+9+m2-4 =2m2-3m+5 =3. 19.解：，△ABC绕点A顺时针旋转25得到△ADE, ∴.∠FAB=25°，AC=AE. AE=3, ∴.AC=3. ∠B=20°， ∴.∠AFC-=∠FAB+∠B=45°. :∠C=90°， .：△AC℉是等腰直角三角形. :在R7△A0F中，AF=VAC2+CF2=3V2 20.(1)解：A(1,2),图略 (2)84g=3x4}×2×4-×1x3-x1x3=5. 2 2 2 21.(1)解：由题意可得二次函数的顶点坐标为(-1，-4)， 设二次函数的解析式为：y=a(x+1)2-4, 把点(0-3)代入y=a(x+1)2-4,-3=(0+1)2a-4, 得a=1, 故抛物线解析式为y=(x+1)2-4,即y=x2+2x-3: (2)-4≤y<0 (3)n≤-1 22.(1)证明：一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0, 4=(2-m2-4(1-m)=m2-4m+4-4+4m=m2. m2≥0， .420. 该方程总有两个实数根. (2)解：一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0, 解方程，得x1=-1,x2=m-1. .m<0, -1>m-1. :该方程的两个实数根的差为3， .-1-(m-1)=3. ∴.m=-3. 23.解：①60 ②144 ③(60-2x)2 ④(60-2x)2=144 24.解：(1)①描点并连线如图所示： (克) ya=水11 20 Xo=23.89 10 0 10 25份) ②y2=-x+25: (2)①4.5； (答案不唯一) ②22.5. (答案不唯一) 25.(1)解：①3 ②设抛物线C的解析式为y=(x-4)2+3, 把(0,1)代入得1=16a+3, 解得a=、 8 设抛物线C,的解析式为y=-x-4)2+3: 8 (2)解：·小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙 包， ∴此时，点B的坐标范围是(7,1)~(9，)」 当经过(，D时，1=×49+7b+2,解得：b=。 7 7 当经过QW时.1=81+96+2，解得：b- 63 74 -63 26.(1)x=2 (2)> (3)①当a>0时， 抛物线过点(0,1)，(0,1)关于x=2的对称点为(4,1) 1 ∴.当α>0时，由图象可知，抛物线与线段AB恒有一个公共点. .当a>0时，抛物线与线段AB恒有一个公共点. ②当a<0时， 把(1,2)代入 a-4at1≤2 -3a≤1 a≥、1 3 综上所述：当a>0或-】≤a<0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点 3 27.(1)(1)解：补全图1，如图. 90. (2)60. 证明：延长AF到点G,使得GF=AF,连接BG,连接GE并延长，与AB的延长线于点H.