2.5.1 直线与圆的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，通过回顾初中公共点个数判断方法，追问引出几何直观与定量刻画，类比两直线位置关系研究流程，用坐标法将几何问题转化为代数问题，搭建从定性到定量的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与代数运算，通过例1两种方法判断位置关系及求弦长，例2分类讨论切线方程，总结坐标法“三部曲”，结合台风影响实际问题。体现数学眼光的几何直观、数学思维的推理能力，帮助学生发展直观想象与逻辑推理，教师可借助结构化流程提升教学效率。

2.5.1 直线与圆的位置关系 第二章 直线和圆的方程 (第1课时) 1 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 “鹰眼”系统 2 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 直线与圆的位置关系 3 任 务 一 寻找直线与圆的位置关系 直线与圆有哪些位置关系? 直线和圆没有公共点,相离 直线和圆有一个公共点,相切 直线和圆有两个公共点,相交 在初中,如何判断直线与圆的位置关系? 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 1 2 切线 割线 直线与圆的位置关系 直线与圆公共点的个数 相离 0 相切 1 相交 2 追问:还有其他判断直线与圆的位置关系的方法吗? r d d r d r 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 直线与圆的位置关系 圆心到直线距离与半径比较 相离 相切 相交 几 何 直观 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 直线是点的集合 直线与圆的位置关系 点与圆的位置关系 相离 直线与圆没有公共点 直线上所有点到圆心的距离>半径 圆心到直线上所有点的最短距离>半径 圆心到直线的距离> 所有、任意用最值来限制 定性描述 定量刻画 为什么要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系? 3 任 务 二 定量刻画直线与圆的位置关系 研究直线与圆的方法是什么 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 4 几何问题 代数问题 代数运算的结果 几何结论 坐标法 转化 化归 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 教科书P89页 联立直线方程 直线与圆的位置关系 联立直线与圆的方程 方程组解的情况 方程组解的情况 两直线的位置关系 类比两直线的位置关系的研究方法,如何通过代数方法,研究直线与圆的位置关系? 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 回顾:如何用方程研究两条直线的位置关系 5 11 例1:已知直线l:和圆心为C的圆 (1)判断直线 l与圆C的位置关系; (2)如果相交,求直线 被圆C所截得的弦长. 分析: 几何—代数 联立、解方程组 代数—几何 位置关系 公共点个数 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 ② 消去y,得 ① 解法1(代数法) 例1:已知直线l:和圆心为C的圆 (1)判断直线 l与圆C的位置关系; 所以直线l与圆C 相交,有两个公共点 由 ,可知方程有两组实数解. 坐标法的重要体现,具有普适性 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 下面我们具体计算一下!(1)式用x表示y,代入(2)式消去y,题目仅要求判断位置 关系,我们不必解出方程的解,根的判别式足矣.因为判别式大于0,方程有两组实数解,所以直线l与圆C相交,有两个公共点. 这是(方法一). 13 解法2 (几何法) (1)判断直线 l与圆C的位置关系; 所以直线 l与圆C 相交,有两个公共点 位置关系 d 与 r的比较 圆C的方程可化为: 因此圆心C的坐为(0,1),半径为 所以圆心(0,1)到直线l的距离为: 例1:已知直线l:和圆心为C的圆 充分利用图形的几何性质,主体任然是坐标法 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 下面我们具体计算一下!(1)式用x表示y,代入(2)式消去y,题目仅要求判断位置 关系,我们不必解出方程的解,根的判别式足矣.因为判别式大于0,方程有两组实数解,所以直线l与圆C相交,有两个公共点. 这是(方法一). 14 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 判断直线与圆位置关系的方法有哪些? 实数解的个数 圆心,半径 直线与圆的位置关系 代数问题 代数方法 判断直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判断方法 几何法:设圆心到直线的距离为d=_ _ _ _ 代数法:由 消元得到一元二次方程,可得方程的判别式 _ _ _ 2 1 0 d<r d=r d>r >0 =0 <0 直线与圆的位置关系的判断 引入新知 | 探究新知 | 应用新知 | 课堂小结 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 16 例1:已知直线l:和圆心为C的圆 (2)如果相交,求直线被圆C所截得的弦长. 解方程 解法1 把分别代入方程 得: 得: 所以,直线与圆C的两个交点是: 因此直线被圆C所截得弦长为: 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 (2)如果相交,求直线被圆C所截得的弦长. 因此直线被圆C所截得弦长为: x O y 6 2 1 B A C • 如图,由垂径定理,得: 例1:已知直线l:和圆心为C的圆 解法2 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 (1)几何法:用弦心距d,半径r及半弦构成直角三角形的三边. x y O A B d r (3)代数法(弦长公式法):不算出两交点,设而不求 (2)代数法:计算出两交点 直线与圆相交时弦长的求法 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 19 例1:已知直线l:和圆心为C的圆 (1)判断直线 l与圆C的位置关系; (2)如果相交,求直线 被圆C所截得的弦长. 解法一:直线与圆的方程联立,通过方程组实数解的个数判断位置关系; 利用两点间距离公式求弦长 解法二:圆心到直线的距离与半径大小进行比较判断位置关系; 直角三角形中,利用勾股定理求弦长 思考:例1中两种解法的差异是什么? 适当的利用已知图形的几何性质,有助于简化运算 思考:直线与曲线,曲线与曲线的位置关系也能用这两种方法解决吗? 思考:与初中的方法比较,你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点? 更准确、具有普适性 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 例2 过点P(2, 1)作圆O: 的切线l, 求切线l的方程. P (2,1) 追问1:过一点作圆的切线,能作几条? 过圆外一点可以作圆的两条切线 追问2:如何刻画直线与圆相切? 公共点的个数;圆心到直线的距离 追问3:直线方程选择什么形式? 点斜式;两点式 点+斜率 代数法1 几何法2 点斜式 d = r 斜率是否存在? 例2 过点P(2, 1)作圆O: 的切线l, 求切线l的方程. 分析: P (2,1) 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 22 解1:(代数法) 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2+y2=1的切线l, 求切线l的方程. • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 ①当切线l的斜率不存在时,,不合题意 ②当切线l的斜率存在时,设切线的斜率为 例2 过点P(2, 1)作圆O: x2+y2=1的切线l, 求切线l的方程. • -1 x O y 1 1 2 • P(2,1) r 解2:(几何法) 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 ①当切线l的斜率不存在时,,不合题意 ②当切线l的斜率存在时,设切线的斜率为 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 你能比较两种方法的差异吗? 直线与 圆相切 直线方程 思路1 思路2 适当的利用已知图形的几何性质,有助于简化运算 以形启算 待定系数 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 P (2,1) 点+点 两点式 联立方程, ? 思考:如果选择两点式构造直线方程,那应该得到什么样的方程组? 查阅资料谈谈你对切线的认识! 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 直线与圆 位置关系 相离 相切 相交 动手操作 图形观察 直观想象 建立直角坐标系 数学抽象 几何要素 代数化 逻辑推理 数学运算 方程组的解 d与r大小比较 求弦长 求过一点的切线问题 判断 相切相交 数 形 实际应用 数学建模 转化与化归 本节课有何收获? 数形结合 引入新知 | 探究新知 | 典例分析 | 课堂小结 坐标法解决平面几何问题的“三部曲” 第一步: 建立恰当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素 第二步: 通过代数运算,解决代数问题 第三步: 把代数运算的结果“翻译”成几何结论 几何问题 代数问题 代数结果 转化 运算 翻译 课后作业 一、复习巩固:教材93练习1、2、3 二、综合运用: 1、已知圆的方程为x2+y2=8,斜率为的直线,过定点 (1)直线与圆相切,求的值。 (2)直线与圆相离时,求的取值范围。 (3)若直线点,求直线被圆截得的弦长。 (4)若直线与圆相交,截得的弦长为,求直线方程。 三、拓广探索: (1)谈谈你对切线的认识 查阅资料: 思考延伸: (2)请同学们类比学习过的图形之间的位置关系,思考圆与圆的位置关系如何判断? 实际应用 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 通过本节课内容的学习,如何解决实际问题? 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=kx1+b,y2=kx2+b. 则|AB|=eq \r( x1-x2 2+ y1-y2 2)= eq \r( x1-x2 2+ kx1+b-kx2-b 2) = eq \r(1+k2) eq \r( x1-x2 2)=eq \r(1+k2) $