第3章 函数的概念与性质（复习课件）数学湘教版2019必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、表示方法及单调性、奇偶性等基本性质，通过单元知识框架图将映射、函数三要素、三种表示方法与核心性质串联，结合考点串讲分点解析定义域、值域求解等关键内容，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于采用“题型剖析-方法总结-针对训练”的复习策略，如通过定义法证明单调性培养逻辑推理能力，图像法判断函数图像发展几何直观，变式训练分层设计满足不同学生需求。这种设计既助学生巩固知识，又为教师提供高效备课资源，提升复习针对性。

单元复习课件 第3章函数的概念与性质 湘教版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.明确函数的三要素，掌握简单函数的定义域和函数值的求解方法。熟练掌握解析法、列表法、图象法三种基本表示法.掌握求解析式的常用方法，并能运用这些方法解决问题. 3.运用逻辑推理能力证明函数性质，分析函数变化规律.通过实例识别函数图像特点，运用函数解决实际问题. 2. 通过逻辑推理，掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等核心性质的定义与判定方法.学会利用定义证明函数单调性，掌握作差变形等关键技巧 . 单元学习目标 函数 函数的基本性质 函数的概念 函数的表示方法 单调性 奇偶性 解析法 列表法 图像法 映射 单元知识图谱 一、函数的有关概念 1.函数的定义 设，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数. 函数的记法 ， 2.定义域 叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 3.值域 函数值的集合叫做函数的值域 考点串讲 二、函数的表示方法 1.解析法 一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 2.图象法 一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势． 3.列表法 一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 （一）函数的三种表示方法 考点串讲 二、函数的表示方法 考点串讲 二、函数的表示方法 （二）分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 考点串讲 三、函数的基本性质 （一）函数的单调性 1.增减函数的定义 设函数的定义域为： (1)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．如左图，自左向右图像是上升的. (2)如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．如右图，自左向右图像是下降的. 考点串讲 2.函数的单调区间 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间定义域. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 三、函数的基本性质 考点串讲 3.函数的最值 一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足： (1)对于任意，都有. (2)存在，使得.那么，称是函数的最大值． 如果存在实数满足： (1)对于任意，都有. (2)存在，使得.那么，称是函数的最小值． 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点， 它们不一定只有一个． 三、函数的基本性质 考点串讲 4.函数的奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．其实质是函数上任一点关于轴的对称点也在图象上． (2)奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．其实质是函数上任一点关于原点的对称点也在的图象上． 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数 三、函数的基本性质 考点串讲 5.函数的奇偶性的性质 (1)奇函数在区间和上有相同的单调性． (2)偶函数在区间和上有相反的单调性． 常见结论 1.如果一个奇函数在处有定义，那么一定有. 如果函数是偶函数，那么. 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.若是奇函数，则; 若是偶函数，则. 三、函数的基本性质 考点串讲 一、函数的关系的判断 例1　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 题型剖析 一、函数的关系的判断 方法总结 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断： (1)A，必须是非空数集； (2)A中任何一个元素在中必须有元素与其对应； (3)A中任何一个元素在中的对应元素必须唯一． 题型剖析 变式1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}， B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}， 解：A选项，x＝0时，集合B中没有元素与之对应； B选项，当x＝1时，绝对值|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确； D选项，当x为负数时，B中没有元素与之对应． C 针对训练 二、给出图形判断是否为函数图像 例2　下列图形中不是函数图象的是(　　) 解析　A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义． A 题型剖析 方法总结 判断一个图象是否为函数图象的方法，作任何一条垂直于轴的直线，不与已知图象有两个或两个以上的交点的，就是函数图象． 二、给出图形判断是否为函数图像 题型剖析 变式 下列图形中，不能确定y是x的函数的是(　　) 解析　任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系． D 针对训练 三、求已知函数定义域 例3　求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4). 解析：(1)函数的定义域为R. (2)由得，所以函数的定义域为. (3)由于0的零次幂无意义， 故，即. 又，即， 所以且.所以函数的定义域为. (4)要使函数有意义，需 解得，且x≠0， 所以函数的定义域为 题型剖析 求函数定义域的常用依据 (1)若是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若是偶次根式，则被开方数大于或等于零； (3)若是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 题型剖析 变式 函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 【解析】要使有意义，则必须解得且 ， 故所求函数的定义域为 . C 三、求已知函数定义域 针对训练 四、求已知函数值域 例4：求下列函数的值域 （1）, ； （2）, ； （3） 【解析】（1）由，分别代入求值，可得函数的值域为 . （2） ,由 ,再结合函数的图象，可得函数的值域为 . （3） ，因为，所以，所以 . 题型剖析 （4） ; （5） ； （6） ； 【解析】（4）设，则，且 ，所，由 ，再结合函数的图象，可得函数的值域为 . （5）因为，所以 ，当且仅当，即 时，等号成立. 因为，所以 ， （6）令 ，则，当且仅当，即 时，等号成立，所以，，故函数的值域为 . 四、求已知函数值域 题型剖析 求函数值域常见方法 （1）观察法.利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观 察函数的值域.如函数的值域为}. （2）配方法.求形如的函数的值域可用配方法， 但要注意>的取值范围. （3）分离常数法.形如 的函数常用分离常数法求值域.转化 过程为，其值域是 }. （4）换元法.形如 的函数常用换元法求值域，即先令 ,求出,并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于 的二次函数，最 后用配方法求值域. （5）基本不等式法.若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满 足基本不等式的应用条件,则可利用基本不等式求最值，进而即可得到函数的值域. （6）判别式法.一般地，求形如,中至少有一个不为零 的函数的值 域，常把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式 ， 求出 的取值范围. 四、求已知函数值域 题型剖析 变式.函数 的值域为________. 【解析】函数 ， 令 ,当时，可得. 当时，可得 , 当时，可得，当且仅当时取等号,则 ; 当时，可得，当且仅当 时取等号,则 ． 故函数的值域为 ． 四、求已知函数值域 针对训练 五、求函数解析式 例5（1）已知一次函数满足，则 的解析式为_ ________________. （2）已知二次函数满足，, ，则该二次函数的解析式为______________. 【解析】（1）设 ,则 , 于是有解得或 所以或 . （2）设该二次函数的解析式为 ，由题意得 解得 故 . 或 题型剖析 待定系数法求函数解析式 已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数，具体步骤如下： 1.设 设出所求函数含有待定系数的解析式 2.列 把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组 3.解 解方程或方程组，得到待定系数的值 4.代 将所求待定系数的值代回所设解析式 五、求函数解析式 题型剖析 变式.已知二次函数满足 ，，且 的最大值是8，则此二次函数的解析式为_____________________． 【解析】由题意得 ， 则可得图象的对称轴方程为 ， 又 的最大值是8， 所以可设二次函数 ， 又函数过点，则有，得 ， 则 ． 五、求函数解析式 针对训练 六、函数单调性的判断和单调区间求解 例6 判断函数 的单调性. 【解析】因为，且函数的定义域为 ，又函数和在区间上均单调递增，所以 在区间 上单调递增. 同理可得在区间 上也单调递增.所以函数在区间和 上为增函数. 题型剖析 判断函数单调性和单调区间方法 1.定义法 取值 任取,且 作差 变形 通过因式分解、配方、通分、分母(分子)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形 定号 确定的正负,当正负不确定时,需进行分类讨论 2.图像法 凡能作出函数图象的单调性问题，都可应用图象法.图象法主要应用于常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的单调性问题. 六、函数单调性的判断和单调区间求解 题型剖析 判断函数单调性和单调区间方法 3.利用单调函数的运算性质判断函数单调性 当函数解析式通过变形、转化之后，是由几个基本函数的解析式构成的，则可分析 这几个基本函数的单调性，看是否符合单调函数运算性质的规律，若符合，可直接 得出结论，否则，不能用这种方法判断函数的单调性. 六、函数单调性的判断和单调区间求解 题型剖析 变式.已知函数,,试求 的单调区间. 六、函数单调性的判断和单调区间求解 【解析】令,则在 ,0］上单调递增，在上单调递减，且 . 在 ,1］上单调递减，在 上单调递增. 令,则 .由上述分析可得出下表： 由上表易知，函数的单调递减区间是,，单调递增区间是 , . 增 增 减 减 减 增 增 减 减 增 减 增 针对训练 七、求函数的最值 例7 函数 的最小值为________. 【解析】 , 令， ，则函数可转化为， .令,则由在 上单调递增可知， ，则 . 故函数的最小值为 . 题型剖析 求函数最值的方法 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来 求函数最值 .求函数最值的常用方法有： （1）配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的 取值范围； （2）换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围； （3）数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出； （4）利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上 函数的最值. 七、求函数的最值 题型剖析 七、求函数的最值 变式.已知函数在 上的最大值为3，则实数 的值为___. 【解析】，显然 . 当时，函数在 上单调递减，则，解得 ； 当时，函数在 上单调递增，则，解得 （舍去）. 综上， ． 针对训练 八、对勾函数 例8 函数，其中 ，记在区间上的最小值为，则函数 的最大值为 . 【解析】 . ①当，即时， 是增函数， 在区间上的最小值为 , .②当，即时，, . ③当，即时， 是减函数， 在区间上的最小值为 , . 故当时， 取得最大值，最大值为2. 2 题型剖析 八、对勾函数 对勾函数性质 （1）函数>的定义域为. （2）函数>在和上单调递减；在>和上单调递增. （3）函数 的图象如图所示. 题型剖析 八、对勾函数 变式.已知,，函数 ． （1）若，求 ； （2）若当时，求的最小值. 【解析】（1）由题意知所以解得 所以 ．因为 ， 设，因为 ， 所以 ， （2）因为 ，令， ，当时在 上单调递增，所以 , 当时在上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 当时在上单调递减，所以 ， 所以 针对训练 例9 判断下列函数的奇偶性： （1） ； （2） 【解析】（1） 函数的定义域为且， 易忽略定义域，得 ,为偶函数 定义域不关于原点对称， 该函数既不是奇函数也不是偶函数. （2）函数的定义域为 ，关于原点对称. ， 函数 是奇函数. 九、函数奇偶性的判断 题型剖析 （3） （4）. 【解析】（3）当时， 为偶函数. 当时，，取，得 ， ，即,, 函数 既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当且时，函数 既不是奇函数也不是偶函数；当时，函数 为偶函数. （4）的定义域为 ，关于原点对称. , , 为奇函数. 九、函数奇偶性的判断 题型剖析 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法： （2）验证法：当定义域关于原点对称时，验证 是否成立 . （3）图象法： 九、函数奇偶性的判断 题型剖析 变式.已知, ，下列结论正确的是( ) A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是偶函数 D. 是奇函数 【解析】对于A， , ，,由于,,所以 既不是奇函数也不是偶函数. 对于B，, , ,由于，，所以 既不是奇函数也不是偶函数. 对于C，,，定义域不关于原点对称，故 不具有奇偶性. 对于D，,， ,由于，所以 是奇函数. 九、函数奇偶性的判断 D 针对训练 十、函数奇偶性的应用 例10 已知 是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是,且它们在 上的图象如图所示， 则不等式 的解集是 . 或或 由题知，是偶函数， 是奇函数. 根据奇、偶函数图象的对称性画出, 在 上的图象如图3.2.2-3所示.由图可知， 或 ， 或 ,或,或 .或可求得其解集是或 或 . 题型剖析 变式. 奇函数 在 的图象如图所示，则下列结论正确的有( ) A.当时， B.函数在 上单调递减 C. D.当时，方程 有6个根 AB 【解析】对于A，由函数的图象可知，当时，，因为 为奇函数，则当时， ，A正确. 对于B，在上单调递减，由奇函数的性质可知，函数在 上单调递减，B正确. 对于C，由函数的图象可知， ，由奇函数的性质可知，，则有 ，C错误. 对于D，在区间上，的图象与轴有2个交点，那么在区间上， 的 图象与轴也有2个交点.此外，的图象还经过原点，故函数的图象在 时 与 轴有5个交点，即时方程有5个根，D错误．故选 ． 十、函数奇偶性的应用 针对训练 十一、函数的性质的综合应用 例11 函数是奇函数，且当时，函数 单调递增，若，则不等式 的解集为______________________. 【解析】因为是奇函数，且,在 上单调递增，所以,且在 上单调递增.所以不等式 可化为 或 即或 ,解得或 . 所以原不等式的解集是或 }. 或} 题型剖析 有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主要有比较大小、解不等式等，关键是利用 奇、偶函数的对称性，将不在同一单调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性来处理，从而使问题得以解决. 函数周期性的概念：对于函数，如果存在非零常数，使得当 取定义域内 的每一个值时，都有定义，并且，则称函数 为周期函 数，称为这个函数的一个周期， 的最小正数取值称为函数的最小正周期. 十一、函数的性质的综合应用 题型剖析 变式.设，，是定义域为 的三个函数，对于下面两个说法：，， 均是增函数，则，，中至少有一个增函数；②若， ，均是以为周期的函数，则，，均是以 为周期的函数.下列判断正确的是( ) A.①和②均正确 B.①和②均不正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确 D 【解析】①不正确．可举反例： 满足, , 均为增函数，但,, 都不是增函数，故①不正确. ②正确.， ， ，前两式作差可得 ，结合第三式可得 ， ，同理可得 ，因此②正确． 针对训练 1.函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题． 2.单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向． 3.函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题． 4.转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域． 5.分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨． 6.数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质． 课堂总结 感谢聆听! $