精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2025-2026学年高三上学期第二次月考（10月）数学试题

柘荣一中2026届高三第二次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 为了得到函数图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（　　） A. B. C. D. 8. 若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 10. 已知关于x不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若直线与曲线，相交于不同两点，，曲线在，点处切线交于点，设的斜率为，的斜率为，的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 不存在，使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则______，______. 14. 晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． （1）求的值； （2）已知，求的解析式． 16. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，． 17. 击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表： 1 2 3 4 5 2 2 3 3 4 （Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数； 参考公式： （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望； （Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，为线段上的动点（含端点），若． （1）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围； （2）设四棱锥外接球球心为， （ⅰ）求球的半径； （ⅱ）当为线段中点时，求到平面距离． 19. 函数． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，且在上有解，求的取值范围； （3）令，若在上的所有极值之和为，试比较与0的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柘荣一中2026届高三第二次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：, 故选：A. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】把化简为后可得平移方法. 【详解】因为即为， 故只需把函数的图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A对B错； 对于C，把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故C错误； 对于D，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，故D错误； 故选：A. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标易得，即可判断各项的正误. 【详解】由，易知，则，显然、、不成立. 故选：C 5. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知， 所以，， 即. 故选：C 6. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式计算可得． 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 7. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 8. 若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照分类列举出所有的分拆，即得答案. 【详解】若，则 ； 若 则 或 ； 若，则或 ； 若，则或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若则 或 或 或 或 ，或或 或 ； 所以集合的不同分拆种数为27. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 若是奇函数，当时，，则时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分别判断“”能否推出“”和“”能否推出“”，结合充分条件和必要条件的定义判断结论，对于B，求两函数的定义域化简函数解析式，结合函数相等的条件判断结论，对于C：设，将己知函数转化为二次函数，根据二次函数性质求值域即可判断，对于D，结合奇函数性质求x<0时的解析式，即可判断． 详解】对于A，当时，满足，但，此时， 所以由不能推出，所以“”不是“”的充分条件． 当时，即，则有或， 所以或或， 所以由不能推出，“”不是“”的必要条件， 因此，“”是“”既不充分也不必要条件，A正确． 对于B，函数，其定义域为， 当时，；当时，． 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，B错误． 对于C，令，则． 那么可转化为， 当时，y取得最大值，． 所以函数的值域为，C正确． 对于D，因为是奇函数，所以， 又当时，， 所以当时，可得， ，D正确， 故选：ACD． 10. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 11. 若直线与曲线，相交于不同两点，，曲线在，点处切线交于点，设的斜率为，的斜率为，的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 不存在，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：联立直线和曲线，得到，构造函数，则有两个不同的零点，利用导数法求出的最小值，使得最小值小于零得解；对于选项B：先求出和处的切线方程，再联立这两个切线方程，求出的就是，从而得解；对于选项C：利用导数和斜率公式求出，，，通过计算求出，通过假设成立，代入，，的值，得到，设，得到，代入，得到，设，求得，利用导数法求出成立，得到假设成立，从而说明C选项正确；对于选项D：先假设存在，使得，则有，解得，又，，代入，得到，再按和分情况讨论得到矛盾，从而说明D选项正确. 【详解】对于选项A：直线与曲线， 解方程组，解得， 设，则有两个不同的零点. ，当时，，是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 直线与曲线只有一个交点，不符合题意.当时，的解为，的解为， 是上的单调递增函数，是上的单调递减函数， 的极小值也是最小值为， 有两个零点，，即， 又，.故选项A错误. 对于选项B：，， 在， 在处的切线方程为， 即，同理，在处的切线方程为，联立两切线方程，两式相减得， 即，这个就是，则. 因为，所以，而，则，故选项B正确. 对于选项C：，，， ，，，，， ，，， 假设成立，不等式转化为， 不妨设，则，，， 设，则，将代入， 得，整理得， 设，， 设，，在上是单调递增函数，，， 在上是单调递增函数， ，成立， 假设成立，故选项C正确. 对于选项D：直线与曲线，相交于不同两点，， 不妨设，假设存在，使得，则，解得， ，，， ，，，，，若，则显然不成立； 若，，，， 又，与矛盾， 假设存在，使得不成立，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 【答案】0.4 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性易得. 【详解】因为，所以，又， 由正态曲线的对称性，可得. 故答案为：0.4. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用已知条件结合赋值法及累加法得出得，再应用偶函数性质得出函数值即可. 【详解】因为，恒成立， 令，得， 因为为偶函数，所以，所以， 在中， 令，则恒成立，即， 所以， 所以，，，…，， 以上各式两边分别相加，得， 所以，所以， 所以. 故答案为：； 14. 晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径______. 【答案】 【解析】 【分析】设A原子的半径为r，由题意可确定其范围，求出所有原子（8个原子与1个原子）的体积之和的表达式，利用导数可求解答案. 【详解】由题意知正方体的棱长为，故该正方体的体对角线长为， 设A原子的半径为r，B原子的半径为R， 依题意有，则， 8个A原子与1个B原子的体积之和为， 令，则， 由，得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 即当时，取得最小值， 即当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时， 原子A的半径为． 故答案：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． （1）求的值； （2）已知，求的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用三角函数的定义，得，，，再利诱导公式，即可求出结果. （2）利用三角函数平方关系化简得，即可得解. 【小问1详解】 由题知， ，且是第二象限角，得， ； 【小问2详解】 由于， 所以 则. 16. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，． 【答案】（1）； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可； （2）求导分析的单调性，求出最小值，要证，即证，即证，令，证明即可. 【小问1详解】 由题可知函数的定义域为， 当时，，则， 所以，， 曲线在点处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 ， 因为，令,则或（舍）， 所以当，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要证，可证， 即证，对该不等式整理并化简：， 令， 则， 所以当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 所以， 所以，故，即成立. 17. 击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表： 1 2 3 4 5 2 2 3 3 4 （Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数； 参考公式： （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望； （Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求． 【答案】（Ⅰ）从第8组开始女性人数不低于男性人数；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题中表格结合参考公式即可求解；（Ⅱ）先写出的所有可能取值，再求出对应的概率，即可求解；（Ⅲ）根据对立事件列出关系式，再利用等比数列的定义和通项公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）由题可得， ， ． 则， ， ∴， 当时，， ∴预测从第8组开始女性人数不低于男性人数． （Ⅱ）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 ∴. （Ⅲ）在得分为分的基础上再传一次，则得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，事件与为对立事件． ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，为线段上的动点（含端点），若． （1）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围； （2）设四棱锥的外接球球心为， （ⅰ）求球的半径； （ⅱ）当为线段中点时，求到平面的距离． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设点E的坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得平面PAD与平面PEC的夹角的取值范围. （2）（ⅰ）根据球的性质设出球心的坐标，利用距离坐标公式列方程求得的坐标，即可求解半径； （ⅱ）先求出，然后利用公式求出球心到截面的距离即可. 【小问1详解】 因为平面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以以O为原点，以过O且与直线CD平行的直线为y轴，建立如图空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则， 取平面的法向量， 又平面与平面的夹角为， 所以， 因为， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为四棱锥的外接球球心为，满足， 所以点在平面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心，故设， 因为，所以，解得， 则，所以球的半径为； （ⅱ）由（ⅰ）知，，则， 由为线段中点，所以，此时平面法向量， 所以M到平面的距离为 19. 函数． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，且在上有解，求的取值范围； （3）令，若在上的所有极值之和为，试比较与0的大小关系． 【答案】（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2）； （3）当时，，当时，. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，求导可得，根据导数即可求解； （2）分离参数可得在区间上有解，令，求导得，令，求导得，得，求得函数的最小值，要使在区间上有解，即； （3）由题意可得，求导得，令，求导结合正切函数图象可知在区间内有两解 ，，则，令，，，且，结合余弦函数单调性可得，计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知， 求导得， 当时，， 当，则， 解得，即， 当则，解得，即， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 【小问2详解】 ， 由题意得在上有解， 即在区间上有解， 令，，则， 令，则， 当时，，所以， 因为，所以，即函数在区间上单调递减， 所以函数的最小值为， 要使在区间上有解，只需，即， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 ，求导得， 则在上的极值点满足，即， 令，则，当时，， 所以函数在区间上单调递增，即， 所以在区间无解， 根据正切函数图象可知内有两解， 设，， 则， 令，，，且， 则， 因为在区间上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $