精选母题第3讲：6种形式的整式加减问题-2025-2026学年苏科版七年级上学期数学精选母题系列

2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第3讲：6种形式的整式加减问题 母题1——整式的直接加减问题 化简： (1)； (2)． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减混合运算； （1）去括号，合并同类项，即可求解； （2）去括号，合并同类项，即可求解； 掌握整式加减运算步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ……………………避坑指南：使用交换律时，要将该项的符号一起交换 ； （2）解：原式 ………………避坑指南：注意括号前的负号，括号内的项要变号 ． 1．整式化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）利用合并同类项法则运算求解，即可解题； （2）利用去括号和合并同类项法则运算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4. 合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 母题2——含大写字母整式加减 一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”求得的结果为，已知， (1)计算的代数式． (2)求正确结果的代数式． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，是解题的关键： （1）将错就错，求出的代数式即可； （2）根据整式的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴……避坑指南：知道和为，要求A,可用和减去,即可得到 ； （2）∵，， ∴ ． 1． ， ，求的值． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 2．已知．求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，先理解题意，再整理，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】，， ． 3. 已知：，，求的值． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的化简．对式子去括号，合并同类项，将整式化为最简形式，然后把A、B代入，继续合并同类项，化简即可． 【详解】解： 4. 小明同学平时做题很马虎，一次做作业时把求两个代数式A与B的和时，把看成，得到的结果是．已知代数式．你能求出的正确答案吗? 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减， 根据整式的加减，结合题意求出A，再根据整式的加减法法则求出答案即可. 【详解】解：∵小明将看成得到的结果是，， ∴， 解得， ∴. 母题3：整式加减无关型问题 已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ …避坑指南：注意去括号时，括号前是减号，括号内要变号 . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 1．已知：， (1)若时，求． (2)若的值与x的值无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把代入后去括号合并同类项即可； （2）先去括号合并同类项，再令求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解： ， ∵的值与x的值无关， ∴，解得． 2．已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值； (2)若是二次三项式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，整式的无关型计算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）先化简，再根据的值与的取值无关，建立等式求解，即可解题； （2）先化简，再根据多项式的定义，即可解题． 【详解】（1）解：∵ ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：； （2）解：∵ ∵是二次三项式， ∴， 解得：． 3．数学老师在上课时出了这样一道题： 先化简，再求值：，其中，． 同学们思考时，小丽认为本题中，是多余的条件；小强马上反对，认为这不可能，多项式中含有和，不给出，的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 【答案】同意小丽的观点．理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题需要先对多项式进行化简，然后观察化简后的结果是否含有x和y，以此来判断，是否为多余条件，进而确定同意哪位同学的观点． 【详解】解：同意小丽的观点．理由如下： 原式， ， ， ， ∴结果与和的值无关， ∴本题中，是多余的条件， 综上所述，同意小丽的观点． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则，通过化简判断结果是否与字母取值有关是解题的关键． 4．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 母题4：含绝对值的整式加减 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0， ______0， ______0，； (2)化简：． ▋▎名师点拨 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式…避坑指南：去掉绝对值符号前，一定要判断绝对值内的代数式是正还是负，然后再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号 ． 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0； (2) ； (3)化简：． 【答案】(1)<；<；>；< (2) (3) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、有理数的加减法、绝对值等知识点，根据有理数在数轴上的位置确定其取值范围是解题的关键． （1）根据有理数a，b，c在数轴上的取值范围，进而确定各代数式的正负即可解答； （2）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可； （3）判断的符号，然后再取绝对值、合并同类项即可． 【详解】（1）解：由有理数a，b，c在数轴上的位置，可得：， ∴，，，． 故答案为：，，，． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 2．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)当，，时，求（）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及代数式的化简求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先根据数轴判断出、、的大小关系以及、、的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，进行化简； （2）将数值代入化简后的式子求值即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， 则，，， 故 ； （2）解：当，，时，原式． 3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， (1)判断正、负，用“”“”填空 0； 0； 0； (2)试化简：． 【答案】(1)，，； (2)． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及整式的加减运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴上、、的位置关系，判断、、的正负； （2）先根据数轴确定绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子． 【详解】（1）解：由数轴可知， 所以，，． 故答案依次为：，，； （2）解：因为， 所以，，，． 所以 ． 4．在数轴上的位置如图所示， (1)比较大小：a___0，___0，____0； (2)化简． 【答案】(1)<,<,< (2) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】此题考查利用数轴比较数的大小，绝对值的性质， （1）由数轴得，，即可判断式子的符号； （2）先判断各式子的符号，再根据绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴，，， 故答案为：<，<，<； （2）∵，， ∴， ∴ ． 母题5：新定义整式加减问题 定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴， ，， 故答案为：3，； （2）解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即，…名师点拨：根据相反数的意义，可以知道 ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 1．定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 【答案】A与B是“关于1的单位数”．理由见解析 【知识点】整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 利用整式的加减运算法则得出，进而得出答案． 【详解】解：A与B是“关于1的单位数”．理由如下： ， ， ， 所以A与B是“关于1的单位数”． 2．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 【答案】(1)5， (2)a与b是关于8的友好数； (3)1 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算得到，即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算得到，再整体代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴ ， ∴a与b是关于8的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于8的友好数， ∴，即：， ∴ ． 3．定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键． （1）根据“卓越多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“卓越多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， ②多项式的系数和为， 该多项式不是“卓越多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， 故答案为：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“卓越多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”． 4．定义新运算：例如：． (1)计算：，并写出其结果的次数和项数； (2)若与互为相反数，求（1）中结果的值． 母题6：用整式加减比较大小 已知关于、的多项式、，其中，（、为有理数）． (1)求（用含、的代数式表示）； (2)请比较与的大小． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． （1）将代数式A代入中，去括号合并同类项即可得到B关于a、b的代数式； （2）作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴； （2）解： …名师点拨：比较两个数或者两个代数式的大小关系，通常采用作差法，通过差与0的大小关系得出结论 ， ∴． 1．若，，比较和的大小关系. 【答案】 【知识点】有理数大小比较、整式的加减运算 【分析】本题考查整式减法运算的运用，熟练掌握整式减法法则是解题的关键． 利用作差法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 所以． 2．阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）利用作差法得到，再根据即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由即可得到答案； （3）利用作差法得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 3．要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了． 已知，，． 请你按照上面文字提供的信息回答下列问题： (1)试比较A与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题整式的加减运算，掌握作差法是解题的关键： （1）求出的符号，即可得出结果； （2）求出的符号，即可得出结果． 【详解】（1）解： ∴ （2） ∴． 4．类似于运算符号“+、－、×、÷”，新定义一种运算符号“”，规定：． (1)若，求的值； (2)若，请计算的值； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)2016 (3)，理由见解析 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了整式的加减运算和解一元一次方程，解答关键是按照新定义的规则进行计算． （1）按照新定义，列方程求解即可； （2）按照新定义，求出，再按照新定义计算得到，利用整体代换方法求值即可； （3）按照新定义分别计算m和n，再通过比差法比较m，n大小． 【详解】（1）由题意得： ， ∴； （2）由题意得： ， 即 ∴． ； （3） ，    ∴ ∴ ． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第3讲：6种形式的整式加减问题 母题1——整式的直接加减问题 化简： (1)； (2)． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减混合运算； （1）去括号，合并同类项，即可求解； （2）去括号，合并同类项，即可求解； 掌握整式加减运算步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ……………………避坑指南：使用交换律时，要将该项的符号一起交换 ； （2）解：原式 ………………避坑指南：注意括号前的负号，括号内的项要变号 ． 1．整式化简： (1)； (2)． 2．计算： (1) ； (2)． 3. 计算： (1)； (2)． 4. 合并同类项： (1)； (2)． 母题2——含大写字母整式加减 一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”求得的结果为，已知， (1)计算的代数式． (2)求正确结果的代数式． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，是解题的关键： （1）将错就错，求出的代数式即可； （2）根据整式的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴……避坑指南：知道和为，要求A,可用和减去,即可得到 ； （2）∵，， ∴ ． 1． ， ，求的值． 2．已知．求． 3. 已知：，，求的值． 4. 小明同学平时做题很马虎，一次做作业时把求两个代数式A与B的和时，把看成，得到的结果是．已知代数式．你能求出的正确答案吗? 母题3：整式加减无关型问题 已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ …避坑指南：注意去括号时，括号前是减号，括号内要变号 . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 1．已知：， (1)若时，求． (2)若的值与x的值无关，求m的值． 2．已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值； (2)若是二次三项式，求的取值范围． 3．数学老师在上课时出了这样一道题： 先化简，再求值：，其中，． 同学们思考时，小丽认为本题中，是多余的条件；小强马上反对，认为这不可能，多项式中含有和，不给出，的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 4．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (3)直接写出的结果． 母题4：含绝对值的整式加减 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0， ______0， ______0，； (2)化简：． ▋▎名师点拨 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、合并同类项 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式…避坑指南：去掉绝对值符号前，一定要判断绝对值内的代数式是正还是负，然后再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号 ． 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“＝”填空：b 0， 0， 0， 0 ； (2) ； (3)化简：． 2．有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)当，，时，求（）中代数式的值． 3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， (1)判断正、负，用“”“”填空 0； 0； 0； (2)试化简：． 4．在数轴上的位置如图所示， (1)比较大小：a___0， ___0， ____0； (2)化简． 母题5：新定义整式加减问题 定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴， ，， 故答案为：3，； （2）解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即，…名师点拨：根据相反数的意义，可以知道 ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 1．定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 2．定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 3．定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 4．定义新运算：例如：． (1)计算：，并写出其结果的次数和项数； (2)若与互为相反数，求（1）中结果的值． 母题6：用整式加减比较大小 已知关于、的多项式、，其中，（、为有理数）． (1)求（用含、的代数式表示）； (2)请比较与的大小． ▋▎名师点拨 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． （1）将代数式A代入中，去括号合并同类项即可得到B关于a、b的代数式； （2）作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴； （2）解： …名师点拨：比较两个数或者两个代数式的大小关系，通常采用作差法，通过差与0的大小关系得出结论 ， ∴． 1．若，，比较和的大小关系. 2．阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 3．要比较m，n的大小，可以先求出m与n的差，再看这个差是正数、负数还是零．若，则；若，则；若，则．由此可见，要判断两个式子值的大小，只要考虑它们的差就可以了． 已知，，． 请你按照上面文字提供的信息回答下列问题： (1)试比较A与的大小； (2)试比较与的大小． 4．类似于运算符号“+、－、×、÷”，新定义一种运算符号“”，规定：． (1)若，求的值； (2)若，请计算的值； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $