14.3 角的平分线 第1课时教案2025-2026学年 人教版八年级 数学上册

该教案聚焦角的平分线的尺规作图及性质定理，以小明制作风筝的生活化情境导入，联系三角形全等知识，承上启下，为后续学习三角形内心等构建知识支架。 特色在于通过折纸、测量等活动引导学生自主探究性质，以问题链驱动推理，培养几何直观与推理意识，实践作业让学生在校园测量验证定理发展应用意识。助力学生提升动手与逻辑能力，为教师提供分层练习与清晰流程，提升教学效率。

第十四章 全等三角形 14.3《角的平分线》 第1课时   一、教材分析 角平分线的性质定理是在学生学习了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质等知识的基础上进行的深入探究. 它是几何图形性质研究的重要内容，为后续学习三角形的内心、证明线段相等等几何问题提供了重要的方法和依据，在教材知识体系中起到了承上启下的作用.   二、学情分析 学生已经掌握了角平分线的基本概念以及三角形全等的相关知识，具备了一定的几何推理能力和逻辑思维能力，但对于如何从实际图形中抽象出数学模型，以及如何运用定理进行严谨的证明和灵活的应用，可能还存在一定困难. 需要教师在教学过程中通过引导、启发、实践操作等方式帮助学生逐步理解和掌握.   三、教学目标 1.会用尺规作一个角的平分线，理解尺规作角的平分线的方法和原理； 2.通过观察、测量等方法，探索并证明角的平分线的性质； 3.通过具体练习，能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题； 4.通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力，激发学生应用数学的热情.   四、教学重难点 重点：会用尺规作一个角的平分线，理解尺规作角的平分线的方法和原理； 难点: 通过观察、测量等方法，探索并证明角的平分线的性质.   五、教学过程 · 情境导入 小明参加风筝比赛，他想制作一个造型独特的风筝，这个风筝需要有两条对称的边，并且两条边所夹的角要被一条线平分，这样风筝才能更加平衡和美观. 小明经过思考，制作了一个特殊结构的风筝骨架，他根据AB = AD，BC=DC的原理，不用度量，就知道连接AC后，AC就是这个角的平分线.最终，他制作的风筝不仅飞得又高又稳，而且外观还十分漂亮，在风筝比赛中获得了大奖. 同学们，你们想知道小明为什么不用度量就能确定AC是角平分线吗?这背后其实蕴含着角的平分线的知识，让我们一起去探索其中的奥秘吧! 师生活动： 教师提问，选取学生代表进行回答，学生可动手尝试，活跃气氛，教师最后以提问的方式引发学生思考，从而过渡到新课的内容. 设计意图：利用趣味性强的故事吸引学生的注意力，激发学习本节可内容的兴趣，从日常生活的常识，提炼出里面的数学思想，培养学生的数学思维能力和归纳总结的能. · 探究新知 活动一：探究角的平分线的尺规作图 问题1：你能通过折纸的方法做一个角的平分线吗？ 师生活动：学生在教师的安排下按活动操作，独立思考问题并回答. 答： 追问：折痕 OC平分∠AOB 吗?为什么呢? 答：折叠是轴对称变换，折叠后∠AOC与∠COD完全重合，即∠AOC=∠COD.两个能完全重合的角大小相等，这表明OC将∠AOB分成了两个相等的角，所以折痕OC平分∠AOB. 设计意图：根据折叠的性质我们知道∠AOC能和∠COD完全重合，所以折痕OC平分∠AOB，由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法. 问题2：请在折纸上标上如下字母：如图，OC 是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点. 当 OM 与ON 满足什么关系时，PM=PN? 师生活动：教师提出问题，学生按照教师的要求进行折纸操作，观察并猜想如果OM=ON， 就有PM=PN. 答：在△OPM 和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON. 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN(SAS)， 就有PM=PN. 设计意图：启发学生通过构造全等三角形得到相等的边. 问题3：如图，M，N 分别是∠AOB的边OA，OB 上的点，OM=ON.点P在∠AOB 的内部.当 PM 与PN 满足什么关系时，点P在∠AOB的平分线上? 师生活动：学生分组进行讨论和尝试，教师巡视各小组，观察学生的探究情况，适时给予引导和提示，如引利用三角形全等找出答案. 每个小组推选一名代表，将小组的探究成果进行展示和汇报，其他小组可以提出疑问和不同的观点，进行交流和讨论. 答：连 接OP，在△OPM 和△OPN中， OP=OP，OM=ON. 如果PM=PN，那么△OPM≌△OPN(SSS)， 就有∠POM=∠PON. 即P在∠AOB的平分线上. 设计意图：让学生运用全等三角形的知识和自己发现的条件解决问题，体会数学思想的严谨. 问题4：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗? 师生活动:学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论. 答：①先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； ②在角的内部作出与这两点距离相等的点； ③以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 问题5：你能写出已知和求证，并用尺规作出一个角的角平分线吗？ 师生活动:学生写出已知和求证，师生分别在黑板上和练习本上画出∠AOB，学生尝试根据刚刚发现的条件，利用直尺和圆规作一个角的平分线. 答：已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求. 问题6：为什么以大于 MN的长为半径作弧? 因为小于MN的长为半径作弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径作弧时唯一交点位置模糊，难以精确标记. 设计意图：明确几何作图的基本思路和方法，师生交流，并引导学生动手作图，加深学生对于作已知角的平分线的理解，加强作图能力. 问题7：为什么OC为∠AOB的平分线？如何证明我们的作法是正确的呢? 师生活动：组织学生进行讨论，并选小组代表发言，其他小组补充.学生总结，老师补充. 答：由作图可得OM=ON，MC=NC，由这两个条件证明射线OC平分∠AOB即可. 证明：连接CM，CN. 由作图可得OM=ON，MC=NC， 则在△OCM和△OCN中， ∴△OCM ≌ △OCN(SSS) ∴∠MOC=∠NOC， 即射线OC平分∠AOB. 设计意图：以问题链的形式，使学生理解、掌握尺规作角平分线的方法，并运用全等三角形进行证明，分析证明中的题设和结论，为下一步的性质证明作准备. 问题8：已知：平角∠AOB.如何作平角∠AOB的角平分线? 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 设计意图：平角作为特殊度数的角，作平角的平分线的方法事实上就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法，这里作为推广题，为后面垂直平分线的知识积累作图能力. 活动二：探究角的平分线的性质 问题9：请同学们把一个角沿角平分线折叠，任意剪一刀后再展开，有什么发现? 师生活动:学生按照教师的要求进行折纸操作，教师引导学生思考有哪些特殊的情况. 答： 问题10：角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形. OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 操作测量：在OC上任取三点P1，P2，P3，分别作OA，OB的垂线,交OA于D1，D2，D3，交OB于E1，E2，E3，测量这六条线段的长，将数据填入表中，你有什么发现？ 师生活动:学生在教师的安排下按活动操作，独立思考问题并回答，教师顺势提问：通过以上测量你发现了角平分线的什么性质?学生总结猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，教师引导学生验证. 答： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 追问：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证). 答：题设：一个点在一个角的平分线上. 结论：这个点到这个角两边的距离相等. 设计意图:通过活动操作让学生发现角平分线的客观结论，并提出猜想，提升参与感的同时也更能让学生接受;在教师的引导下把猜想验证总结成数学语言的证明，提高学生的数学思维能力和归纳总结的能力. 问题11：你能画出图形，并用几何语言描述吗? 几何语言： 已知：如图，OC 是AOB 的平分线，点P在OC上，PD⟂OA，PE⟂OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 问题12：你能利用三角形全等证明这个猜想吗? 师生活动:教师引导学生将猜想转化为数学符号语言，然后让学生分组讨论证明思路，巡视并适时给予提示.学生在小组内交流讨论，尝试利用三角形全等的知识进行证明.部分小组代表发言，阐述证明思路.教师补充完善在黑板上规范板书证明过程. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD 和△OPE 具备“角角边”的条件. 证明： ∵OC是AOB 的平分线，∴AOC=BOC. ∵PD⟂OA， PE⟂OB， ∴PDO=PEO=90°. 在△OPD 和△OPE中， ∴△OPD≌△OPE (AAS). ∴PD=PE. 问题13：要证明一个几何命题时，有哪些步骤呢？ ①一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 ②明确命题中的已知和求证； ③根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ④经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言：. ∵OP是AOB的平分线，PD⟂OA， PE⟂OB· ∴PD = PE. 注意：(1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 三个条件缺一不可. 设计意图:使学生经历探索角的平分钱的性质定理的过程，并利用三角形全等证明角的平分线的性质定理，归纳证明几何命题的一般步骤. 通过小组合作探究证明方法，培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力，让学生经历从猜想-证明-得出结论的完整过程，体会数学的严谨性. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题. 学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问. 例1 如图，在Rt△ABC中，C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5. P为AB上一动点，求DP的最小值. 分析：由尺规作图可知：AE是CAB的平分线，由垂线段最短可知：当DP⟂AB时，DP最小. 解：过点D作DF⟂AB于点F. 由尺规作图痕迹可知，AE为BAC的平分线， ∵C=90°，∴DF=CD=5. ∴当点P与点F重合时，PD取得最小值， 故DP的最小值为5. 归纳：利用角的平分线的性质解决问题时，若已知条件中存在一条垂线段，通过作辅助线作出另一条垂线段；若已知条件中不存在垂线段，通过作辅助线作出两条垂线段. 例2 如图，BD是ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⟂AD，PN⟂CD，垂足分别是M，N. 求证：PM=PN. 分析：根据角平分线的定义可得ABD=CBD，然后利用SAS证明△ABD≌△CBD; 根据全等三角形对应角相等可得ADB=CDB，然后根据角平分线的性质证明即可. 证明：∵BD是ABC的平分线， ∴ABD=CBD 在△ABD和△CBD中 ∴△ABD≌△CBD(SAS) ∴ADB=CDB，∴BD是ADC的平分线， ∵点P在BD上，PM⟂AD，PN⟂CD， ∴PM= PN 归纳：当题目中要证相等的一组线段分别与一个角的两边垂直，且它们的公共点在这个角的平分线上时，可利用角平分线的性质定理直接得证，所有证明条件的收集都应围绕这个“两垂直，一平分”进行展开. 设计意图：通过例题的讲解，让学生熟悉角平分线的作法步骤，学会运用角平分线的性质定理解决几何证明问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，规范学生的解题步骤和书写格式. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在 AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 分析：作出AOB 的角平分线，与 MN 相交于点P，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可获得答案. 解：作法：如图. (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. (2)分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的 内部相交于点Q. (3)作射线OQ，射线OQ与直线MN相交于点 P. P 点即为所求. 2.如图，OC是AOB的平分线，点 P 在 OC 上，PD⟂OA，PE⟂OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF=EG，连接 PF，PG. 求证：PF=PG. 解：∵OC是AOB的平分线，PD⟂OA，PE⟂OB， ∴PD=PE，PDF=PEG=90°. 在△PDF和△PEG中 ∴△PDF≌△PEG(SAS). ∴PF=PG. 师生活动：学生独立完成练习，教师巡视，了解学生的掌握情况，对有困难的学生进行个别辅导.完成后，教师进行讲解和总结. 设计意图：通过不同类型的练习题，进一步巩固学生对角平分线性质定理的理解和应用，考查学生对角的平分线作法步骤的掌握，提高学生的解题能力和思维灵活性. 【限时训练】 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　) A.PC＝PD B. OC＝OD C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝PC 答：D. 2.如图，在△ABC中，∠A=60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 . 答：120° 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 分析：由DE⊥AB，DE＝2，AB＝4，得S△ADB＝4. ∴S△ACD＝S△ABC-S△ADB＝3. 过点D作DF⊥AC，根据角平分线性质求出DF=DE＝2. 最后利用△ACD的面积公式列式计算即可得解. 答：D. 4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 5. 如图，∠AOB=90°，OM 是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA，OB 交于点 C 和点 D. 求证：PC=PD. 分析：①过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°； ②由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF； ③利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，则∠PCE=∠PDF， ④根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD. 证明：如图，过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴∠PEC=∠PFD=90°. ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE=PF. ∵∠AOB=90°，∠CPD=90° ∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180° 而∠PDO+∠PDF=180°. ∴∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中 ∴△PCE≌△PDF(AAS)，∴PC=PD. 设计意图：布置分层作业，满足不同层次学生的学习需求，巩固本节课的知识，同时培养学生的观察能力和应用意识. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.用尺规作角的平分线的方法是什么？ 3.角平分线的性质定理是什么？ 4.如何添加辅助线帮助解题？ 设计意图：学生畅谈本节课的收获，教师适时引导并总结.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 验证角平分线性质定理 任务：1.选取角：在校园或户外选取一个较大的角(如建筑夹角等)，标记为∠AOB，利用量角器作出∠AOB的平分线OC. 2.测距离：在OC上选点P，过P向OA、OB作垂线，用卷尺测垂足距离PD，PE. 3.验证：记录PD，PE数据，验证是否相等，重复选点测量. 成果：实验报告(包含测量数据表格、测量过程照片、对定理验证的结论、拓展探究的思考) 学科网（北京）股份有限公司 $